1.2 子集、全集、补集【七大考点+七大题型】讲义-2025-2026学年高一数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（苏教版2019必修第一册）

1.2 子集、全集、补集 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点一：子集、真子集、集合相等 定义 符号表示 图形表示 子集 如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A是集合B的子集 A⊆B (或B⊇A) 真子集 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集 A⫋B (或B⫌A) 集合相等 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等 A＝B 知识点二：空集 1．定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. 2．规定：空集是任何集合的子集．考点 三：全集与补集 知识点三：．全集 (1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)记法：全集通常记作U. 知识点四：．补集 自然语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 图形语言 【题型归纳】 题型一：子集、真子集的个数问题 【例1】．（24-25高一上·云南昆明）设集合，则集合A的子集个数为（   ） A．4 B．16 C．8 D．9 【答案】B 【分析】根据条件，先化简集合A，再利用子集个数的计算公式，即可求解. 【详解】由， 则集合A的子集个数为. 故选：B. 【跟踪训练1】．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知集合，则A的真子集共有（   ） A．6个 B．7个 C．12个 D．14个 【答案】B 【分析】根据题意，求得集合，进而求得的真子集的个数，得到答案. 【详解】由集合， 所以集合的真子集的个数为个. 故选：B. 【跟踪训练2】（24-25高一上·江苏盐城·阶段练习）已知集合，则A子集的个数为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】D 【分析】结合题意 ，由集合中元素的特性解出集合，再求子集数即可； 【详解】由已知可得， 所以，所以， 所以A子集的个数为个， 故选：D. 题型二：判断集合的包含关系 【例2】．（24-25高一上·江苏淮安·阶段练习）已知集合，则（    ） A． B． C．B D． 【答案】C 【分析】根据已知条件，结合集合的包含关系，即可求解． 【详解】集合，， 则B. 故选：C． 【跟踪训练1】（2024·江苏南通·三模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通分，根据数字特征即可判断两集合之间关系. 【详解】， ， 因为表示所有的奇数，而表示所有的整数，则， 故选：A. 【跟踪训练2】（22-23高一上·江苏扬州·阶段练习）已知集合，则间的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用集合间的包含关系直接判断即可. 【详解】由，， 则. 故选：B 题型三：与空集有关的问题 【例3】（24-25高一上·全国）下列四个集合中是空集的是（  ） A． B． C．，或 D． 【答案】B 【分析】根据空集的定义进行判断可得答案. 【详解】对于A，不是空集，故A错误；     对于B，无解，所以集合是空集，故B正确； 对于C，集合，或不是空集，故C错误； 对于D，集合不是空集，故D错误. 故选：B. 【跟踪训练1】（22-23高一上·湖北咸宁·阶段练习）给出下列说法： ①空集没有子集； ②任何集合至少有两个子集； ③空集是任何集合的真子集； ④若，则． 其中正确的说法有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】根据空集的定义和子集和真子集的定义即可得出结论. 【详解】由于任何一个集合都是它本身的子集，空集的子集还是空集，故①不正确； 由于空集的子集还是空集，所以空集的子集只有一个，故②不正确； 由于空集的子集还是空集，但不是真子集，故③不正确； 由于，则或，故④不正确； 综上，正确的说法有0个. 故选：A. 【跟踪训练2】（23-24高一上·新疆喀什·期中）已知a是实数，若集合是任何集合的子集，则a的取值范围值是 . 【答案】 【分析】根据题意分析可知方程无解，结合判别式分析求解. 【详解】由题意可知：集合是空集，即方程无解， 则，解得， 所以a的取值范围值是. 故答案为：. 题型四：根据集合包含关系求参数 【例4】（24-25高一上·广东湛江·期中）已知集合，，若，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据集合的包含关系，利用数轴分析，即可求得结果. 【详解】因为，，，所以利用数轴分析法，可知. . 故答案为：. 【跟踪训练1】（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）已知集合，，且，则实数的取值范围为 ． 【答案】或a=6 【分析】解出集合，根据可知，需分和两种情况讨论. 【详解】由，则． 因为，所以为方程的解集． ①若，则，所以或或， 当时，有两个相等实根，即不合题意， 同理，不合题意， 当时，符合题意． ②若，成立，则，即． 综上，实数的取值范围是【答案】或a=6. 故答案为：【答案】或a=6 【跟踪训练2】（24-25高一上·江苏连云港）已知，，，则的取值集合是 . 【答案】 【分析】求出集合A，分和讨论即可得解. 【详解】解得， 当时，，满足； 当时，， 因为，所以或，解得或. 综上，的取值集合为. 故答案为： 题型五：根据集合相等关系求参数 【例5】（24-25高一上·重庆·期中）已知数集，，若，则 . 【答案】1 【分析】根据题意分两种情况讨论即可. 【详解】易知，所以或， 若，即，此时，，符合题意； 若，此时，，，舍； 综上，. 故答案为：1 【跟踪训练1】（24-25高一上·江苏连云港·期中）若集合，则 . 【答案】1 【分析】利用集合相等，分和两种情况求解. 【详解】当时，，即，则； 当时，，解得，此时，即，则， 综上：. 故答案为：1 【跟踪训练2】（24-25高一上·江苏苏州）已知集合，若，则的值是 . 【答案】或 【分析】根据集合相等则集合中的元素相等即可求解. 【详解】解：， ，或， 解得：或， 故或. 故答案为：或. 题型六：根据补集运算求集合 【例6】（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出集合，再利用补集的定义求解. 【详解】依题意，，所以. 故选：D 【跟踪训练1】（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知全集，则（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】利用补集的定义直接求解得答案. 【详解】全集，则或. 故选：B 【跟踪训练2】（23-24高一上·云南德宏·期末）设全集，集合满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据补集的知识求得正确答案. 【详解】依题意，，， 所以，所以A选项正确，BCD选项错误. 故选：A 题型七：根据补集运算求参数问题 【例7】（22-23高一上·江苏连云港·阶段练习）设全集，集合，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合及其补集情况分情况讨论即可. 【详解】由已知得， 所以或， 解得， 故选：D. 【跟踪训练1】（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）设全集，则集合 ． 【答案】 【分析】依题意可得，即可求出，从而求出，即可得解. 【详解】因为，所以，则，解得， 所以， 又，所以. 故答案为： 【跟踪训练2】（22-23高一上·江苏连云港）设，若，则实数 . 【答案】3 【分析】由题意易知，由此即可解出答案. 【详解】因为，， 所以， 所以， 所以， 解得， 故答案为：3. 题型八：子集、真子集和补集的综合性问题 【例8】（23-24高一上·湖南益阳·期末）已知全集，集合，． (1)求； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据补集的概念直接求补集即可. （2）根据集合之间的关系，可求参数的取值范围. 【详解】（1）因为全集，集合， 所以或． （2）因为，所以，故实数a的取值范围是． 【跟踪训练1】（2023高一·江苏·专题练习）已知集合，. (1)若，求实数m的取值范围； (2)若，求A的非空真子集个数. 【答案】(1) (2)62. 【分析】（1）依题意有，分和两种情况讨论，由包含关系求实数m的取值范围； （2）当时，A中共有6个元素，即可求出A的非空真子集的个数； 【详解】（1）， ①若，则，解得； ②若，则，可得. 由可得，解得，此时. 综上所述，实数m的取值范围是. （2），共有个元素， 所以A的非空真子集的个数为． 【跟踪训练2】（2024高一上·全国·专题练习）已知集合． (1)若，为常数，求实数m的取值范围． (2)若，为常数，求实数m的取值范围． (3)若为常数，是否存在实数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）由集合的包含关系，分和两种情况，列不等式求实数m的取值范围； （2）由集合的包含关系，列不等式求实数m的取值范围； （3）由集合的相等关系，列方程组求实数m的值. 【详解】（1）①若，满足，则，解得． ②若，满足，则解得． 由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为． （2）若，数轴表示如下： 依题意有即 此时m的取值范围是． （3）假设存在满足题意的实数m．若， 则必有且，此时无解，即不存在使得的实数m． 【高分演练】 一、单选题 1．（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出集合后，根据集合间的关系逐项判断即可. 【详解】， 是以空集为元素的集合，不是集合的子集，故A错误； ，故B错误；，故C错误；，故D正确. 故选：D. 2．（2021·河北石家庄·二模）已知集合，若，则（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【分析】利用集合相等列出方程组，结合集合的互异性求解. 【详解】集合，由， 得，解得，此时集合中与矛盾； 或，解得，此时，符合题意， 所以. 故选：D 3．（24-25高一上·江苏常州·期中）满足⫋的集合A的个数为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据集合之间的关系直接得出结果. 【详解】集合A可以是，共3个. 故选：B. 4．（24-25高一上·江苏盐城·期中）下列各式中，正确的个数是（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据元素与集合的关系和集合与集合的关系判断各命题. 【详解】因为，故①错； 因为，故②对； 因为，故③对； 因为且，故④错； 因为，故⑤错； 因为，又且，故⑥错； 所以正确的个数为个，故B正确. 故选：B. 5．（24-25高一上·江苏扬州·期中）已知为常数，集合，集合，且，则的所有取值构成的集合元素个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出集合，由，分与讨论，分别求解的值即可. 【详解】集合，化简求值可得， 当时，，此时集合无解，即 当时，时，即解之得， ，即解之可得， 所以根据集合元素的性质可得元素个数为个. 故选：C 6．（24-25高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知集合，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由集合的子集个数确定元素个数，进而求出值. 【详解】由集合A有且仅有2个子集，得集合有且只有1个元素，即方程有唯一解， 当时，方程有唯一解，符合题意，则， 当时，一元二次方程有相等实根，，解得， ，方程的根为；，方程的根为，符合题意，因此， 所以a的取值是. 故选：D 7．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知集合，，若，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由集合的包含关系得不等式组，解不等式组即可． 【详解】由题意，因为，则. 故选：C． 8．（24-25高一上·江苏泰州·阶段练习）下列关系中：①，②，③，④正确的个数为（） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据元素与集合、集合与集合的关系判断即可. 【详解】①正确,0是集合的元素; ②正确,空集是任何集合的子集; ③正确,是含有一个元素的集合,是的元素; ④正确,表示直线上的点的集合，表示直线和上的点的集合，所以. 所以正确的个数为4个， 故选：D. 9．（23-24高一上·河南商丘·期末）已知全集，集合满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据补集概念进行求解. 【详解】因为，又，所以． 故选：B． 10．（23-24高一上·江苏南通）设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】因为，由集合相等的定义即可列出方程求出的值，但要注意集合元素具有互异性，所以求出的值之后还要回代到具体集合中验证是否满足元素之间互异. 【详解】由题意集合，， 又因为，且全集， 所以，解得， 但当时，集合违背了元素之间的互异性， 而当时，集合，，满足题意, 综上所述：. 故选：A. 二、多选题 11．（22-23高一上·河北衡水·阶段练习）若全集，集合满足，则的值可能为（    ） A． B． C． D．0 【答案】AB 【分析】根据集合中元素的性质以及补集概念求解即可. 【详解】因为，所以根据元素互异性可知，所以， 显然， 则或. 故选：AB 12．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）下列结论错误的是（    ） A．任何一个集合至少有两个子集 B．空集是任何集合的真子集 C．若且，则 D．若且，则 【答案】ABD 【分析】AB选项，根据空集的性质判断；CD选项，根据子集的定义判断. 【详解】空集只有一个子集，故A错； 空集时任何非空集合的真子集，故B错； 因为，所以集合中所有元素都属于集合，则，故C正确； 例如，，，满足且，此时，故D错. 故选：ABD. 13．（23-24高一上·陕西西安）已知集合，若，则实数a的值可以是（    ）． A． B． C．0 D． 【答案】BCD 【分析】根据题意，求得，再分和，求得集合，结合，即可求解. 【详解】由方程，解得或，即， 当时，则方程无实数解，此时，满足，符合题意； 当时，由，可得 此时， 要使得，可得或，解得或. 综上可得，实数的值为或或. 故选：BCD. 14．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知集合，非空集合，下列条件能够使得的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用因式分解求三次方程的根化简集合，再利用集合关系即可判断. 【详解】对于A，方程，因式分解得， 解得或，所以，满足，故A正确； 对于B，方程，因式分解得， 解得，所以，满足，故B正确； 对于C，方程，因式分解得， 解得或，所以，不满足，故C错误； 对于D，方程，因式分解得， 解得，所以，满足，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题 15．（2023高一·江苏·专题练习）集合与 （填“是”或“不是”）相等集合． 【答案】是 【分析】解出集合，利用集合相等的概念可得出结果. 【详解】因为，所以或． 又，所以． 故答案为：是. 16．（24-25高三上·广东湛江·期末）已知集合，，且，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】根据子集定义分或两种情况计算求参即可. 【详解】因为集合，，且， 所以或， 即时，不合题意； 当时，解得（舍）或， 当时，集合，，满足，所以， 故答案为：. 17．（24-25高一上·四川成都·期中）满足的集合有 个. 【答案】8 【分析】根据给定条件，结合子集的概念求解即可. 【详解】满足条件的集合为： ，，，，，，，， 共8个. 故答案为：8. 18．（23-24高一上·湖北·阶段练习）已知集合，，若，则实数的取值集合为 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程化简集合，即可根据子集关系求解. 【详解】因为集合，， 所以：当时，，满足，因此为所求； 当时，，由得或，解得或． 综上所述，实数的取值集合为． 故答案为：． 四、解答题 19．（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）已知集合. (1)写出集合M的子集、真子集; (2)求集合N的子集数、真子集数和非空真子集数; (3)猜想:含n个元素的集合的所有子集的个数是多少?真子集的个数及非空真子集的个数呢? 【答案】(1)；； (2)8个子集，7个真子集，6个非空真子集； (3)个子集，个真子集，个非空真子集. 【分析】利用子集、真子集、非空真子集的定义计算即可. 【详解】（1）由题意可知，所以其子集为：，真子集为； （2）由题意可知， 所以其子集为：，共个， 真子集为：，共个， 非空真子集为：，共个； （3）由（1），（2）可猜想含有n个元素的集合其子集个数为个，真子集个数为个， 非空真子集个数为个. 20．（23-24高一上·重庆合川·阶段练习）已知集合或，，求实数的取值范围. 【答案】. 【分析】讨论集合B是否为空集，根据列出不等关系求解. 【详解】①当，即，满足题设； ②当时，即，画数轴如图所示.，      由知，或，即或. 又，所以或. 综上，所求的取值范围是. 21．（24-25高一上·云南红河·阶段练习）已知 (1)若，分别求的值.； (2)若，用列举法表示集合. 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）求出方程，进而求出. （2）利用集合的包含关系求出，进而求出集合. 【详解】（1）由，得或， 而，则是方程的二根， 所以. （2）由（1）知，，由，得或或， 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则. 22．（23-24高一上·陕西延安·阶段练习）集合 (1)若是空集，求的取值范围 (2)若中只有一个元素，求的值并把这个元素写出来 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）讨论当时和当时两种情况，当时，，从而可得答案. （2）讨论当时和当时两种情况，列出方程，即可得解； 【详解】（1）当时，原方程可化为，得，不符合题意； 当即时解集为空集， 所以的取值范围是. （2）当时，原方程可化为，得，符合题意； 当时，方程为一元二次方程，由题意得，，得. 所以当或时，集合A中只有一个元素． 23．（21-22高一上·全国）已知. (1)若，求a的值； (2)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2)或或. 【分析】（1）先求出集合，再利用条件，根据集合与集合间的包含关系，即可求出值； （2）对集合进行分类讨论：和，再利用集合与集合间的包含关系，即可求出的范围； 【详解】（1）由方程，解得或 所以，又，， 所以，即方程的两根为或， 利用韦达定理得到：，即； （2）由已知得，又， 所以时，则，即，解得或； 当时， 若B中仅有一个元素，则，即，解得， 当时，，满足条件；当时，，不满足条件； 若B中有两个元素，则，利用韦达定理得到，，解得，满足条件. 综上，实数a的取值范围是或或. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2 子集、全集、补集 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点一：子集、真子集、集合相等 定义 符号表示 图形表示 子集 如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A是集合B的子集 A⊆B (或B⊇A) 真子集 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集 A⫋B (或B⫌A) 集合相等 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等 A＝B 知识点二：空集 1．定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. 2．规定：空集是任何集合的子集．考点 三：全集与补集 知识点三：．全集 (1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)记法：全集通常记作U. 知识点四：．补集 自然语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 图形语言 【题型归纳】 题型一：子集、真子集的个数问题 【例1】．（24-25高一上·云南昆明）设集合，则集合A的子集个数为（   ） A．4 B．16 C．8 D．9 【跟踪训练1】．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知集合，则A的真子集共有（   ） A．6个 B．7个 C．12个 D．14个 【跟踪训练2】（24-25高一上·江苏盐城·阶段练习）已知集合，则A子集的个数为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 题型二：判断集合的包含关系 【例2】．（24-25高一上·江苏淮安·阶段练习）已知集合，则（    ） A． B． C．B D． 【跟踪训练1】（2024·江苏南通·三模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】（22-23高一上·江苏扬州·阶段练习）已知集合，则间的关系是（    ） A． B． C． D． 题型三：与空集有关的问题 【例3】（24-25高一上·全国）下列四个集合中是空集的是（  ） A． B． C．，或 D． 【跟踪训练1】（22-23高一上·湖北咸宁·阶段练习）给出下列说法： ①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集； ④若，则．其中正确的说法有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【跟踪训练2】（23-24高一上·新疆喀什·期中）已知a是实数，若集合是任何集合的子集，则a的取值范围值是 . 题型四：根据集合包含关系求参数 【例4】（24-25高一上·广东湛江·期中）已知集合，，若，则实数的取值范围为 . 【跟踪训练1】（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）已知集合，，且，则实数的取值范围为 ． 【跟踪训练2】（24-25高一上·江苏连云港）已知，，，则的取值集合是 . 题型五：根据集合相等关系求参数 【例5】（24-25高一上·重庆·期中）已知数集，，若，则 . 【跟踪训练1】（24-25高一上·江苏连云港·期中）若集合，则 . 【跟踪训练2】（24-25高一上·江苏苏州）已知集合，若，则的值是 . 题型六：根据补集运算求集合 【例6】（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知全集，则（    ） A． B．或 C． D．或 【跟踪训练2】（23-24高一上·云南德宏·期末）设全集，集合满足，则（    ） A． B． C． D． 题型七：根据补集运算求参数问题 【例7】（22-23高一上·江苏连云港·阶段练习）设全集，集合，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）设全集，则集合 ． 【跟踪训练2】（22-23高一上·江苏连云港）设，若，则实数 . 题型八：子集、真子集和补集的综合性问题 【例8】（23-24高一上·湖南益阳·期末）已知全集，集合，． (1)求； (2)若，求实数a的取值范围． 【跟踪训练1】（2023高一·江苏·专题练习）已知集合，. (1)若，求实数m的取值范围； (2)若，求A的非空真子集个数. 【跟踪训练2】（2024高一上·全国·专题练习）已知集合． (1)若，为常数，求实数m的取值范围． (2)若，为常数，求实数m的取值范围． (3)若为常数，是否存在实数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【高分演练】 一、单选题 1．（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2021·河北石家庄·二模）已知集合，若，则（    ） A． B．2 C． D．1 3．（24-25高一上·江苏常州·期中）满足⫋的集合A的个数为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（24-25高一上·江苏盐城·期中）下列各式中，正确的个数是（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥. A．1 B．2 C．3 D．4 5．（24-25高一上·江苏扬州·期中）已知为常数，集合，集合，且，则的所有取值构成的集合元素个数为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知集合，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值是（　　） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知集合，，若，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·江苏泰州·阶段练习）下列关系中：①，②，③，④正确的个数为（） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（23-24高一上·河南商丘·期末）已知全集，集合满足，则（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·江苏南通）设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 11．（22-23高一上·河北衡水·阶段练习）若全集，集合满足，则的值可能为（    ） A． B． C． D．0 12．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）下列结论错误的是（    ） A．任何一个集合至少有两个子集 B．空集是任何集合的真子集 C．若且，则 D．若且，则 13．（23-24高一上·陕西西安）已知集合，若，则实数a的值可以是（    ）． A． B． C．0 D． 14．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知集合，非空集合，下列条件能够使得的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 15．（2023高一·江苏·专题练习）集合与 （填“是”或“不是”）相等集合． 16．（24-25高三上·广东湛江·期末）已知集合，，且，则实数的值为 ． 17．（24-25高一上·四川成都·期中）满足的集合有 个. 18．（23-24高一上·湖北·阶段练习）已知集合，，若，则实数的取值集合为 ． 四、解答题 19．（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）已知集合. (1)写出集合M的子集、真子集; (2)求集合N的子集数、真子集数和非空真子集数; (3)猜想:含n个元素的集合的所有子集的个数是多少?真子集的个数及非空真子集的个数呢? 20． （23-24高一上·重庆合川·阶段练习）已知集合或，，求实数的取值范围. 21．（24-25高一上·云南红河·阶段练习）已知 (1)若，分别求的值.； (2)若，用列举法表示集合. 22．（23-24高一上·陕西延安·阶段练习）集合 (1)若是空集，求的取值范围 (2)若中只有一个元素，求的值并把这个元素写出来 23．（21-22高一上·全国）已知. (1)若，求a的值； (2)若，求实数a的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $