1.1集合的概念与表示【七大考点+七大题型】讲义-2025-2026学年高一数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（苏教版2019必修第一册）

1.1集合的概念与表示 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点一：元素与集合的概念 1．元素：一般地，把研究对象统称为元素(element)，常用小写的拉丁字母a，b，c…表示． 2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合(set)，(简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C…表示． 3．集合相等：指构成两个集合的元素是一样的． 4．集合中元素的特性：给定的集合，它的元素必须是确定的、互不相同的． 知识点二：元素与集合的关系 1．属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A. 2．不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A. 知识点三：常见的数集及表示符号 数集 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*或N＋ Z Q R 知识点四：集合的表示 （1）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法． （2）描述法：一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法． 【题型归纳】 题型一：集合的概念 【例1】．（23-24高一上·全国·单元测试）下列各组对象不能构成集合的是（　　） A．参加卡塔尔世界杯比赛的全体球员 B．小于的正整数 C．数学必修第一册课本上的难题 D．所有有理数 【答案】C 【分析】根据集合的概念，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，参加的全体球员，是确定的，没有重复的，所以能构成集合； 对于B中，小于的正整数，是确定的，没有重复的，所以能构成集合； 对于C中，多难的题才算是难题，有一定的不确定性，不符合集合中元素的确定性，故不能构成集合； 对于D中，所有有理数，所研究的有理数，是确定的，没有重复的，所以能构成集合，故选C. 故选：C. 【跟踪训练1】．（23-24高一上·天津南开·期中）下列给出的对象能构成集合的有（    ） ①某校2023年入学的全体高一年级新生；②的所有近似值； ③某个班级中学习成绩较好的所有学生；④不等式的所有正整数解 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据集合的定义判断即可. 【详解】对于①：某校2023年入学的全体高一年级新生，对象确定，能构成集合，故①正确； 对于②：的所有近似值，根据精确度不一样得到的近似值不一样，对象不确定，故不能构成集合，故②错误； 对于③：某个班级中学习成绩较好是相对的，故这些学生对象不确定，不能构成集合，故③错误； 对于④：不等式的所有正整数解有、、，能构成集合，故④正确； 故选：B 【跟踪训练2】．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）下列说法中，能构成集合的是（    ） A．无限接近0的实数 B．中国最美乡村 C．高一（2）班成绩优秀的学生 D．2022年度国内GDP超过1万亿的地级市 【答案】D 【分析】根据集合元素的确定性逐项判断. 【详解】对于选项A：“无限接近”没有判定标准，不满足确定性，故A错误； 对于选项B：“最美乡村”没有判定标准，不满足确定性，故B错误； 对于选项C：“优秀的学生”没有判定标准，不满足确定性，故C错误； 对于选项D：“2022年度国内GDP超过1万亿的地级市”有统一的判定标准，满足确定性，故D正确； 故选：D. 题型二：元素与集合的关系 【例2】．（24-25高一上·江苏淮安·阶段练习）下列四个选项哪个是正确的（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合与元素的关系，结合N，Z，R，Q所表示的集合进行求解即可. 【详解】因为N表示自然数集，Z表示整数集，R表示实数集，Q表示有理数集， 所以只有选项D正确. 故选：D 【跟踪训练1】．（24-25高一上·云南大理·阶段练习）给出下列关系：①；②；③；④其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题意，由元素与集合的关系，逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于①，为实数，而表示实数集，所以，即①正确； 对于②，2为整数，而表示整数集合，所以，即②正确； 对于③，为正自然数，而表示正自然数集，所以，所以③错误； 对于④，因为为无理数，表示有理数集，所以，即④错误. 故选：B. 【跟踪训练2】．（23-24高一上·湖北孝感）下列关系中，（1）；（2）；（3）；（4）；（5），正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据实数集、有理数集、正整数集、自然数集的字母表示的符号逐一判断即可. 【详解】，所以①正确；，所以②正确；，所以③错误；，所以④错误；，所以⑤正确. 故选：C 题型三：集合的互异性求参数问题 【例3】．．（24-25高一上·江苏泰州·阶段练习）已知集合，若，则实数的值为（   ） A． B．1 C．或 D．无解 【答案】A 【分析】由题意得或，解方程，由集合元素的互异性即可求. 【详解】因为， 所以或， 当即时，，不符合集合元素的互异性， 故不符合题意，舍； 当即（舍）或时，，符合题意， 故的值为. 故选：A 【跟踪训练1】．．（22-23高一上·天津滨海新·阶段练习）已知集合，若，则实数a的值为（    ） A． B． C．或 D．5 【答案】B 【分析】根据题意可得或解方程，再利用集合元素的互异性即得. 【详解】因为，， 当时，解得，此时，不满足集合的互异性， 故（舍去）， 当，解得（舍去）或，此时，满足题意， 故实数的值为. 故选：B. 【跟踪训练2】（22-23高一上·江苏苏州·阶段练习）已知含有两个元素的集合，其中． (1)实数m不能取哪些数？ (2)若，求实数m的值． 【答案】(1)不能取0和4； (2)． 【分析】（1）根据集合元素的互异性，列式算出答案； （2）若4为集合A的元素，结合（1）的结论可知，从而算出实数m的值． 【详解】（1）根据题意，可得，解得且， 因此，实数m不能取0和4； （2）由（1）的结论，可知m≠4， 若，则，解得（不符合题意）， 因此，实数m的值是． 题型四：列举法表示集合 【例4】．（2023高一·江苏·专题练习）用列举法表示下列给定的集合： (1)大于1且小于6的整数组成的集合A； (2)方程的实数根组成的集合B； (3)一次函数与的图象的交点组成的集合C. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】利用集合的描述法与列举法求解即可. 【详解】（1）因为大于1且小于6的整数包括2，3，4，5，所以. （2）因为方程的实数根为，所以. （3）联立，解得， 所以一次函数与的交点为，所以. 【跟踪训练1】（2023高一·江苏·专题练习）集合A＝用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据自然数集与整数集的概念分析集合中的元素即可. 【详解】因为，， 所以或2或4或8， 即或4或2或， 即. 故选：D. 【跟踪训练2】．（2024高一上·全国·专题练习）用列举法表示下列集合： (1)大于1且小于6的整数； (2)； (3)． (4)． (5)由＋ （a， b∈R）所确定的实数组成的集合. 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）写出大于1且小于6的整数即可；（2）求出方程的根即可；（3）解不等式即可求解；（4）写出符合条件的坐标即可；（5）分类讨论即可. 【详解】（1）大于1且小于6的整数组成的集合为； （2） （3） （4） （5）由题意， 当时，＋； 当时，＋； 当时，＋； 当时，＋， 故由＋ （a， b∈R）所确定的实数组成的集合为. 题型五：用描述法表示集合 【例5】．．（23-24高一上·江苏）用描述法表示下列集合 （1）所有正偶数组成的集合 ； （2）被9除余2的数组成的集合 ． 【答案】 【分析】（1）（2）根据描述写出所有正偶数、被9除余2的数，即可得对应集合. 【详解】（1）令，则所有正偶数为，故所有正偶数组成的集合为； （2）令，则被9除余2的数为，故被9除余2的数组成的集合为. 故答案为：；. 【跟踪训练1】．（2022高一上·全国·专题练习）用描述法表示下列集合： (1)不等式的解组成的集合； (2)被除余的正整数的集合； (3)； (4)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先确定集合中的代表元素是数x；再确定集合中代表元素满足的条件即可解答. （2）先确定集合中的代表元素是数x；再确定集合中代表元素满足的条件即可解答. （3）先确定集合中的代表元素是数x；再确定集合中代表元素满足的条件即可解答. （4）先确定集合中的代表元素是点；再确定集合中代表元素满足的条件即可解答. 【详解】（1）因为不等式的解组成的集合为， 则集合中的元素是数. 设代表元素为x， 则x满足， 所以，即． （2）设被3除余2的数为x， 则． 又因为元素为正整数， 故． 所以被3除余2的正整数的集合 （3）设偶数为x， 则． 但元素是2，4，6，8，10， 所以． 所以． （4）因为平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，即， 故第二象限内的点的集合为． 【跟踪训练2】．（2024高一上·全国）用描述法表示下列集合： (1)不等式的解集； (2)平面直角坐标系中第二象限的点组成的集合； (3)二次函数图象上的点组成的集合． (4)平面直角坐标系中第四象限内的点组成的集合； (5)集合. (6)所有被3整除的整数组成的集合； (7)方程的所有实数解组成的集合. 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 【分析】用描述法表示各集合. 【详解】（1）不等式的解集用描述法表示为. （2）根据点坐标的符号，集合用描述法表示为. （3）集合用描述法表示为. （4）根据点坐标的符号，集合用描述法表示为. （5）集合用描述法表示为. （6）集合用描述法表示为. （7）方程的解集用描述法表示为. 题型六：同一集合的判断 【例6】（2024高一上·全国·专题练习）下列四组中表示同一集合的为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据集合元素的性质逐一判断即可. 【详解】选项A：两个集合中元素对应的坐标不同，A错误； 选项B：集合中的元素具有无序性，两个集合是同一集合，B正确； 选项C：两个集合研究的对象不同，一个是点集，一个是数集，C错误； 选项D：是以0为元素的集合，是数字0，D错误. 故选：B 【跟踪训练1】（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）下列关于集合相等的说法正确的有（    ） ①； ②； ③； ④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据集合的描述法，转化为集合的列举法，或者化简描述法集合，逐一判断即可. 【详解】因为，所以①正确； 因为，，所以②不正确； 因为，，故③正确； ，故④错误. 故选：C 【跟踪训练1】（23-24高一上·河北·阶段练习）已知集合，则下列与相等的集合个数为（    ） ①②③④ A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】解方程组可化简①，由偶次根式有意义可计算②，分别研究n为奇数、n为偶数可计算③，由定义可得④，依次判断即可求得结果. 【详解】对于①，； 对于②，中解得，故； 对于③，当n为奇数时，；当n为偶数时，， 所以； 对于④，. 所以与M相等的集合个数有2个. 故选：C. 题型七：集合的概念与表示综合问题 【例7】（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知集合． (1)若中只有一个元素，求的值，并求集合； (2)若中至少有一个元素，求的取值范围． 【答案】(1)的值为或者，当时，；当时， (2) 【分析】（1）分和两种情况讨论，当时，解出即可； （2）方程无解时，且，解出不等式，结合（1）中的结论，即可求得. 【详解】（1）当，集合， 当时，，解得，此时， 综上可知，的值为或者，当时，；当时，. （2）当集合中有两个元素时，方程有两个不相等的实数根， 则且，解得且， 又当中只有一个元素时，或， 故中至少有一个元素时，的范围为， 所以的取值范围为. 【跟踪训练1】．（25-26高一上·全国）用适当的方法表示下列集合： (1)方程的解集； (2)平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合； (3)被5除余3的正整数组成的集合； (4)二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合． 【答案】(1) (2) (3)， (4) 【分析】（1）求得方程的解，然后用列举法书写； （2）根据第一、三象限点的特点，用描述法书写； （3）写出满足条件的正整数用描述法书写； （4）直接用描述法书写. 【详解】（1）方程的解集为 （2）用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合为. （3）用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合为，. （4）用描述法表示二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合为． 【跟踪训练2】（24-25高一上·江苏镇江·阶段练习）已知集合. (1)当时，中只有一个元素，求的值； (2)当时，中至多有一个元素，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）借助根与系数的关系计算即可得； （2）分及进行讨论，若，可计算出结果，若，则需借助根与系数的关系计算. 【详解】（1）当时，， 由中只有一个元素，则有，解得； （2）当时，， 由中至多有一个元素，故中可能没有元素或个元素， 当时，，符合要求； 当时，对有： ，解得； 综上所述：或. 【跟踪训练3】（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）选择适当方法表示下列集合: (1)由不超过5的所有自然数组成的集合A； (2)不等式的解集组成集合； (3)平面直角坐标系中第二象限的点组成集合; (4)二次函数的图象上所有的点组成的集合. 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用列举法表示集合即可； （2）利用描述法表示集合即可； （3）利用描述法表示集合即可； （4）利用描述法表示集合即可. 【详解】（1）利用列举法表示集合; （2）利用描述法表示集合； （3）利用描述法表示集合； （4）利用描述法表示集合. 【高分演练】 一、单选题 1．（24-25高一上·江苏盐城·阶段练习）下列对象能构成集合的是（    ） A．不等式的解集B．著名的数学家C．非常接近的数 D．面积非常小的三角形 【答案】A 【分析】根据集合具有确定性，无序性，互异性逐一判断即可； 【详解】对于A，不等式的解集为空集，可以构成集合，故A正确； 对于B，著名的数学家没有确定性，不能构成集合，故B错误； 对于C，非常接近0的数没有确定性，不能构成集合，故C错误； 对于D，面积非常小的三角形没有确定性，不成构成集合，故D错误； 故选：A 2．（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的元素是自然数，是无理数，从而得出，进而得出正确的选项． 【详解】，， ． 故选：D. 3．（24-25高一上·四川眉山·阶段练习）若集合中只有一个元素，则实数a的值为（    ） A．0 B．0或1 C．1 D．0或 【答案】B 【分析】分类讨论方程根的个数即可. 【详解】当时，； 当时，则，解之得，此时， 所以或1． 故选：B． 4．（2024·广东·模拟预测）若，则m可能取值的集合为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用元素与集合的关系列式计算并验证即得. 【详解】由，得，则， 由，得，此时，符合题意； 或，此时，符合题意；或，则，此时，符合题意， 所以m可能取值的集合为. 故选：B 6．（23-24高一上·上海·期末）数集，，，若，，则（    ） A． B． C． D．A，，都有可能 【答案】A 【分析】根据可知：集合A为奇数集，结合B为偶数集，结合元素与集合之间的关系分析判断. 【详解】由题意可知：集合A为奇数集，集合B为偶数集， 即a为奇数，b为偶数，则为奇数， 所以BD错误，A正确； 例如，令，即， 解得，所以，故C错误； 故选：A. 7．（2024高一上·全国·专题练习）下列说法中正确的是（    ） A．1与表示同一个集合 B．由1，2，3组成的集合可表示为或 C．方程的所有解的集合可表示为 D．集合可以用列举法表示 【答案】B 【分析】根据集合的相关概念以及表示方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断选择. 【详解】对于A，1不能表示一个集合，故错误； 对于B，因为集合中的元素具有无序性，故正确； 对于C，因为集合的元素具有互异性，而中有相同的元素，故错误； 对于D，因为集合中有无数个元素，无法用列举法表示，故错误. 故选：B. 8．（22-23高一上·新疆乌鲁木齐·期中）给出四个结论： ①是由4个元素组成的集合； ②集合表示仅由一个“1”组成的集合； ③与是两个不同的集合； ④集合大于3的无理数是一个有限集． 其中正确的是（    ） A．①④ B．②④ C．②③ D．② 【答案】D 【分析】根据集合元素的特征逐一判断各选项. 【详解】对于①，集合不满足集合元素的互异性，故①错误； 对于②，集合仅有1个元素，故②正确； 对于③，集合与元素相同，是两个相同的集合，故③错误； 对于④，集合大于3的无理数是无限集，故④错误. 故选：D. 二、多选题 9．（24-25高一上·江苏宿迁·阶段练习）下面四个说法中正确的是（    ） A．10以内的质数组成的集合是 B．由2，3组成的集合可表示为或 C．方程的所有解组成的集合是 D．0与表示同一个集合 【答案】AB 【分析】结合集合的表示及元素与集合的基本关系分别检验各选项即可判断. 【详解】对于A，10以内的质数为，组成的集合是，故A正确； 对于B，由集合中元素的无序性知和表示同一集合，故B正确； 对于C，由集合中元素的互异性可知不存在集合，故C错误； 对于D，由集合的表示方法知0不是集合，故D错误. 故选：AB. 10．（23-24高一上·江苏常州·阶段练习）下列各组中表示不同集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ABD 【分析】根据集合相等的概念依次分析各选项即可得答案. 【详解】选项A中，是数集，是点集，二者不是同一集合,故； 选项B中，与表示不同的点，故； 选项C中，，，故； 选项D中，是二次函数的所有组成的集合，而集合是二次函数图象上所有点组成的集合，故. 故选：ABD. 11．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）已知集合，则满足中有8个元素的的值可能为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】AC 【分析】根据题意依次讨论当为时，集合中的元素个数. 【详解】当时，满足的有，即集合中有8个元素，符合题意，故A正确； 当时，满足的有，即集合中有4个元素，不符合题意，故B错误； 当时，满足的有，即集合中有8个元素，符合题意，故C正确； 当时，满足的有，即集合中有6个元素，不符合题意，故D错误. 故选：AC. 12．（23-24高一上·广西贵港）非空集合具有如下性质：①若，则；②若，则．下列判断中，正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【分析】根据元素与集合的关系进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由性质①，若，则没有意义，所以， ，则，所以B选项正确. 由性质②，若，而，则，与上述分析矛盾， 所以，A选项正确. 若，则；若，则，所以C选项正确. 由，得，则，所以D选项错误. 故选：ABC 13．（23-24高一·江苏·假期作业）下列说法错误的是　　 A．在直角坐标平面内，第一、三象限的点的集合为 B．方程的解集为 C．集合与是同一个集合 D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据集合的定义与表示逐项分析判断． 【详解】对于：因为等价于或， 如果，则点在第一象限，如果，则点在第三象限， 所以在直角坐标平面内，第一、三象限的点的集合为，故正确； 对于：由于方程的解集等价于，解得， 故解集为，故错误； 对于C：集合表示的函数值的取值范围，是数集， 集合表示抛物线的图象，是点集，所以两个集合不相同，故C错误； 对于：因为，则，故错误， 故选：BCD． 三、填空题 14．（2023高一·全国）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】由题意可得或或，分别求解后再验证即可. 【详解】解：因为， 当，即时，此时，不满足元素的互异性； 当，即时，此时，满足题意； 当，即时，此时无解； 综上，. 故答案为： 15．（24-25高一上·重庆·期中）已知集合，则 . 【答案】1 【分析】根据集合相等结合集合的互异性可得，，即可得结果. 【详解】因为，可知， 可得，则，解得， 若，则，不合题意； 若，则，符合题意； 综上所述：，. 所以. 故答案为：1. 16．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）解集用描述法表示为，解集用列举法表示为 ． 【答案】 【分析】先解二元一次方程组，然后根据列举法求得正确答案. 【详解】由解得， 所以列举法表示为. 故答案为： 17．（24-25高一上·安徽·阶段练习）已知集合中只有一个元素，则的所有可能取值组成的集合为 . 【答案】 【分析】分和两种情况讨论，当时，即可得解. 【详解】集合表示关于的方程的解集， 因为集合中只有一个元素， 当，即，解得，此时，符合题意； 当，则，解得或， 当时，时，符合题意； 综上可得的所有可能取值组成的集合为. 故答案为： 四、解答题 18．（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）用适当的方法表示下列集合： (1)大于1且不大于17的质数组成的集合； (2)所有奇数组成的集合； (3)平面直角坐标系中，抛物线上的点组成的集合； (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）结合质数的概念以及列举法即可求解. （2）由奇数的概念以及描述法即可求解. （3）由描述法即可求解. （4）用列举法即可求解. 【详解】（1）大于1且不大于17的质数组成的集合. （2）所有奇数组成的集合. （3）平面直角坐标系中，抛物线上的点组成的集合. （4）. 19．（23-24高一上·全国）用描述法表示下列集合． (1)所有不在第一、三象限的点组成的集合； (2)所有被3除余1的整数组成的集合； (3)使有意义的实数x组成的集合． (4)方程的解集． 【答案】(1) (2) (3)且 (4) 【分析】（1）根据点的特点得出解集； （2）根据被3除余1的整数可表示为得出解集； （3）解不等式即可； （4）解方程得出解集. 【详解】（1）∵不在第一、三象限的点分布在第二、四象限或坐标轴上， ∴所有不在第一、三象限的点组成的集合为． （2）∵被3除余1的整数可表示为，∴所有被3除余1的整数组成的集合为 ． （3）要使有意义．则．解得且． ∴使有意义的实数x组成的集合为且． （4）由，解得．∴方程的解集为． 20．（21-22高一·江苏·课后作业）已知集合中有三个元素：，，，集合中也有三个元素：0，1，． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值． 【答案】(1)的值为0或 (2)的值为 【分析】（1）若，则或，再结合集合中元素的互异性，能求出的值． （2）当取0，1，时，都有，集合中的元素都有互异性，由此能求出实数的值． 【详解】（1）集合中有三个元素：，，，， 或， 解得或， 当时，，，，成立； 当时，，，，成立． 的值为0或． （2）集合中也有三个元素：0，1，，， 当取0，1，时，都有， 集合中的元素都有互异性，，， ． 实数的值为． 21．（21-22高一上·江苏淮安·阶段练习）已知集合，且． （1）判断是否为中元素 （2）设，求证： （3）证明：若，则是偶数； 【答案】（1）不 是集合中元素；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【分析】（1）根据集合元素的属性判断； （2）根据，由化简，由集合元素的属性判断； （3）根据，由化简判断. 【详解】（1）因为， 此时：，不满足， 所以不是集合中元素. （2）因为，则， ， ， 因为都是整数， 所以. （3）因为， 所以， ， 因为，所以为偶数即为偶数. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1集合的概念与表示 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点一：元素与集合的概念 1．元素：一般地，把研究对象统称为元素(element)，常用小写的拉丁字母a，b，c…表示． 2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合(set)，(简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C…表示． 3．集合相等：指构成两个集合的元素是一样的． 4．集合中元素的特性：给定的集合，它的元素必须是确定的、互不相同的． 知识点二：元素与集合的关系 1．属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A. 2．不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A. 知识点三：常见的数集及表示符号 数集 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*或N＋ Z Q R 知识点四：集合的表示 （1）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法． （2）描述法：一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法． 【题型归纳】 题型一：集合的概念 【例1】．（23-24高一上·全国·单元测试）下列各组对象不能构成集合的是（　　） A．参加卡塔尔世界杯比赛的全体球员 B．小于的正整数 C．数学必修第一册课本上的难题 D．所有有理数 【跟踪训练1】．（23-24高一上·天津南开·期中）下列给出的对象能构成集合的有（    ） ①某校2023年入学的全体高一年级新生；②的所有近似值； ③某个班级中学习成绩较好的所有学生；④不等式的所有正整数解 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪训练2】．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）下列说法中，能构成集合的是（    ） A．无限接近0的实数 B．中国最美乡村 C．高一（2）班成绩优秀的学生 D．2022年度国内GDP超过1万亿的地级市 题型二：元素与集合的关系 【例2】．（24-25高一上·江苏淮安·阶段练习）下列四个选项哪个是正确的（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】．（24-25高一上·云南大理·阶段练习）给出下列关系：①；②；③；④其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【跟踪训练2】．（23-24高一上·湖北孝感）下列关系中，（1）；（2）；（3）；（4）；（5），正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型三：集合的互异性求参数问题 【例3】．．（24-25高一上·江苏泰州·阶段练习）已知集合，若，则实数的值为（   ） A． B．1 C．或 D．无解 【跟踪训练1】．．（22-23高一上·天津滨海新·阶段练习）已知集合，若，则实数a的值为（    ） A． B． C．或 D．5 【跟踪训练2】（22-23高一上·江苏苏州·阶段练习）已知含有两个元素的集合，其中． (1)实数m不能取哪些数？ (2)若，求实数m的值． 题型四：列举法表示集合 【例4】．（2023高一·江苏·专题练习）用列举法表示下列给定的集合： (1)大于1且小于6的整数组成的集合A； (2)方程的实数根组成的集合B； (3)一次函数与的图象的交点组成的集合C. 【跟踪训练1】（2023高一·江苏·专题练习）集合A＝用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】．（2024高一上·全国·专题练习）用列举法表示下列集合： (1)大于1且小于6的整数； (2)； (3)． (4)． (5)由＋ （a， b∈R）所确定的实数组成的集合. 题型五：用描述法表示集合 【例5】．．（23-24高一上·江苏）用描述法表示下列集合 （1）所有正偶数组成的集合 ； （2）被9除余2的数组成的集合 ． 【跟踪训练1】．（2022高一上·全国·专题练习）用描述法表示下列集合： (1)不等式的解组成的集合； (2)被除余的正整数的集合； (3)； (4)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合． 【跟踪训练2】．（2024高一上·全国）用描述法表示下列集合： (1)不等式的解集； (2)平面直角坐标系中第二象限的点组成的集合； (3)二次函数图象上的点组成的集合． (4)平面直角坐标系中第四象限内的点组成的集合； (5)集合. (6)所有被3整除的整数组成的集合； (7)方程的所有实数解组成的集合. 题型六：同一集合的判断 【例6】（2024高一上·全国·专题练习）下列四组中表示同一集合的为（    ） A．， B．， C．， D．， 【跟踪训练1】（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）下列关于集合相等的说法正确的有（    ） ①； ②； ③； ④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【跟踪训练1】（23-24高一上·河北·阶段练习）已知集合，则下列与相等的集合个数为（    ） ①②③④ A．0 B．1 C．2 D．3 题型七：集合的概念与表示综合问题 【例7】（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知集合． (1)若中只有一个元素，求的值，并求集合； (2)若中至少有一个元素，求的取值范围． 【跟踪训练1】．（25-26高一上·全国）用适当的方法表示下列集合： (1)方程的解集； (2)平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合； (3)被5除余3的正整数组成的集合； (4)二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合． 【跟踪训练2】（24-25高一上·江苏镇江·阶段练习）已知集合. (1)当时，中只有一个元素，求的值； (2)当时，中至多有一个元素，求的取值范围. 【跟踪训练3】（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）选择适当方法表示下列集合: (1)由不超过5的所有自然数组成的集合A； (2)不等式的解集组成集合； (3)平面直角坐标系中第二象限的点组成集合; (4)二次函数的图象上所有的点组成的集合. 【高分演练】 一、单选题 1．（24-25高一上·江苏盐城·阶段练习）下列对象能构成集合的是（    ） A．不等式的解集B．著名的数学家C．非常接近的数 D．面积非常小的三角形 2．（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·四川眉山·阶段练习）若集合中只有一个元素，则实数a的值为（    ） A．0 B．0或1 C．1 D．0或 4．（2024·广东·模拟预测）若，则m可能取值的集合为（ ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·上海·期末）数集，，，若，，则（    ） A． B． C． D．A，，都有可能 7．（2024高一上·全国·专题练习）下列说法中正确的是（    ） A．1与表示同一个集合 B．由1，2，3组成的集合可表示为或 C．方程的所有解的集合可表示为 D．集合可以用列举法表示 8．（22-23高一上·新疆乌鲁木齐·期中）给出四个结论： ①是由4个元素组成的集合； ②集合表示仅由一个“1”组成的集合； ③与是两个不同的集合； ④集合大于3的无理数是一个有限集． 其中正确的是（    ） A．①④ B．②④ C．②③ D．② 二、多选题 9．（24-25高一上·江苏宿迁·阶段练习）下面四个说法中正确的是（    ） A．10以内的质数组成的集合是 B．由2，3组成的集合可表示为或 C．方程的所有解组成的集合是 D．0与表示同一个集合 10．（23-24高一上·江苏常州·阶段练习）下列各组中表示不同集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 11．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）已知集合，则满足中有8个元素的的值可能为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 12．（23-24高一上·广西贵港）非空集合具有如下性质：①若，则；②若，则．下列判断中，正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 13．（23-24高一·江苏）下列说法错误的是　　 A．在直角坐标平面内，第一、三象限的点的集合为 B．方程的解集为 C．集合与是同一个集合 D．若，则 三、填空题 14．（2023高一·全国）若，则的值为 ． 15．（24-25高一上·重庆·期中）已知集合，则 . 16．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）解集用描述法表示为，解集用列举法表示为 ． 17．（24-25高一上·安徽·阶段练习）已知集合中只有一个元素，则的所有可能取值组成的集合为 . 四、解答题 18．（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）用适当的方法表示下列集合： (1)大于1且不大于17的质数组成的集合； (2)所有奇数组成的集合； (3)平面直角坐标系中，抛物线上的点组成的集合； (4)； 19．（23-24高一上·全国）用描述法表示下列集合． (1)所有不在第一、三象限的点组成的集合； (2)所有被3除余1的整数组成的集合； (3)使有意义的实数x组成的集合． (4)方程的解集． 20．（21-22高一·江苏·课后作业）已知集合中有三个元素：，，，集合中也有三个元素：0，1，． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值． 21．（21-22高一上·江苏淮安）已知集合，且． （1）判断是否为中元素 （2）设，求证： （3）证明：若，则是偶数； 2 学科网（北京）股份有限公司 $