11.5 第3课时 运用两数和（差）的平方分解因式（Word教案）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（华东师大版2024）

第3课时 运用两数和（差）的平方分解因式 1．理解完全平方公式，弄清完全平方公式的形式和特点；(重点) 2．掌握运用完全平方公式分解因式的方法，能正确运用完全平方公式把多项式分解因式．(难点) 一、问题引入 1．分解因式： (1)x2－4y2；　　　　　 (2)3x2－3y2； (3)x4－1；　　　　　　 (4)(x＋3y)2－(x－3y)2. 2．根据学习用平方差公式分解因式的经验和方法，你能将形如“a2＋2ab＋b2、a2－2ab＋b2”的式子分解因式吗？ 二、合作探究 探究点一：运用两数和（差）的平方分解因式 【类型一】 判定能否利用完全平方公式分解因式 下列多项式能用完全平方公式分解因式的有(　　) (1)a2＋ab＋b2；(2)a2－a＋；(3)9a2－24ab＋4b2；(4)－a2＋8a－16. A．1个 　 B．2个 C．3个 D．4个 解析：(1)a2＋ab＋b2，乘积项不是两数的2倍，不能运用完全平方公式；(2)a2－a＋＝(a－)2；(3)9a2－24ab＋4b2，乘积项是这两数的4倍，不能用完全平方公式；(4)－a2＋8a－16＝－(a2－8a＋16)＝－(a－4)2.所以(2)(4)能用完全平方公式分解．故选B. 方法总结：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍． 【类型二】 运用完全平方公式分解因式 因式分解： (1) x2+14x+49； (2)－4x2+12xy－9y2；(3) 解析：(1)直接运用完全平方公式分解因式；(2)先变形为－(4x2－12xy+9y2)，再根据完全平方公式分解因式；(3)将b+c看作一个整体，然后根据完全平方公式分解因式. 解：(1)原式＝(x+7)2. (2)原式＝－(4x2－12xy+9y2)＝－(2x－3y)2. (3)原式＝[a－(b+c)]2＝(a－b－c)2. 【类型三】结合完全平方公式，两步分解因式 因式分解： (1)－3a2x2＋24a2x－48a2； (2)a4－2a2b2+b4； (3)(a2＋4)2－16a2. 解析：(1)有公因式，因此要先提取公因式－3a2，再把另一个因式(x2－8x＋16)用完全平方公式分解；(2)先用完全平方公式，再用平方差公式；(3)先用平方差公式，再用完全平方公式分解． 解：(1)原式＝－3a2(x2－8x＋16)＝－3a2(x－4)2. (2)原式＝(a2－b2)2＝(a＋b)2(a－b)2. (3)原式＝(a2＋4)2－(4a)2＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a)＝(a＋2)2(a－2)2. 方法总结：分解因式的步骤是一提、二用、三查，即有公因式的首先提公因式，没有公因式的用公式，最后检查每一个多项式的因式，看能否继续分解． 探究点二：两数和（差）的平方分解因式的应用 【类型一】 运用因式分解进行简便运算 利用因式分解计算： (1)342＋34×32＋162； (2)38.92－2×38.9×48.9＋48.92. 解析：利用完全平方公式转化为(a±b)2的形式后计算即可． 解：(1)342＋34×32＋162＝(34＋16)2＝2500. (2)38.92－2×38.9×48.9＋48.92＝(38.9－48.9)2＝100. 方法总结：此题主要考查了运用公式法分解因式，正确掌握完全平方公式是解题关键． 【类型二】 利用因式分解判定三角形的形状 已知a，b，c分别是△ABC三边的长，且a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由． 解析：首先利用完全平方公式分组进行因式分解，进一步分析探讨三边关系得出结论即可． 解：由a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，得a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0，即(a－b)2＋(b－c)2＝0，∴a－b＝0，b－c＝0，∴a＝b＝c，∴△ABC是等边三角形． 方法总结：通过配方将原式转化为非负数的和的形式，然后利用非负数性质解答，这是解决此类问题一般的思路． 【类型三】 整体代入求值 已知a＋b＝5，ab＝10，求a3b＋a2b2＋ab3的值． 解析：将a3b＋a2b2＋ab3分解为ab与(a＋b)2的乘积，因此可以运用整体代入的数学思想来解答． 解：a3b＋a2b2＋ab3＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2.当a＋b＝5，ab＝10时，原式＝ ×10×52＝125. 方法总结：解答此类问题的关键是对原式进行变形，将原式转化为含已知代数式的形式，然后整体代入． 【类型四】 利用因式分解解决面积与代数恒等式问题 在已有的学习中我们知道，用两种不同的方法计算同一个几何图形的面积，可以得到一些代数恒等式．例如：如图1可以得到（a+b）2=a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题： （1）根据图2，写出一个代数恒等式： ； （2）如图3，现有a×a,b×b的正方形纸片和a×b的矩形纸片各若干块，试选用这些纸片，拼出一个面积为2a2+5ab+2b2的矩形（每种纸片至少用一次，每两个纸片之间既不重叠，也无空隙），并标出此矩形的长和宽. 解析：由图中大矩形的面积=中间的各图片的面积的和，就可得出（1）中代数式；（2）中面积为2a2+5ab+2b2，那么最小的正方形使用2次，较大的正方形使用2次，边长为a,b的长方形使用5次，依此即可求解. 解：（1）根据图2，写出一个代数恒等式：（x+y）（x+3y）=x2+4xy+3y2．故答案为：（x+y）（x+3y）=x2+4xy+3y2. （2）说明：答案不唯一，画图正确，不论画在什么位置， 方法总结：此题考查的是因式分解的应用与几何的综合题，应用一些长方形（或正方形）的硬纸片拼成的图形可以用来解释一些代数恒等式. 三、板书设计 1．完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2. 2．完全平方公式的特点： (1)必须是三项式(或可以看成三项的)； (2)有两个同号的平方项； (3)有一个乘积项(等于平方项底数乘积的±2倍)． 简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央． 本节课学生的探究活动比较多，教师既要全局把握，又要顺其自然，千万不可拔苗助长，为了后面多做几道练习而主观裁断时间安排．其实公式的探究活动本身既是对学生能力的培养，又是对公式的识记过程，而且还可以提高他们应用公式的本领． 学科网（北京）股份有限公司 $