分层作业13)基本不等式的应用-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学必修第一册分层作业（人教A版）

■ 分层作业（十三） 基本不等式的应用 (满分：75分) ·基础对点练· 1.(5分)汽车上坡时的速度为a,原路返回时的速 度为b,且0<a<b,则汽车全程的平均速度比 a,b的平均值 () [A]大 [B]小 [c]相等 [D]不能确定 2.(5分)某公司租地建仓库，每月土地占用费y1 与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物 的运费y2与仓库到车站的距离成正比.如果在 距离车站10千米处建仓库，y1和y2分别为 2万元和8万元，那么要使这两项费用之和 最小，仓库应建在离车站 () [A]5千米处 [B]4千米处 [c]3千米处 [D]2千米处 1 3.(5分)已知m=a+ a-2(a>2),n=4-62(6 ≠0)，则m,n的大小关系是 [A]m>n [B]m<n [c]m=n [D]不确定 4.(5分)我国古代的数学家赵爽在《勾股圆方图》 中给出了勾股定理的证明，可用现代数学表述 为如图所示的图形，教材中利用该图作为一个 说法的几何解释，这个说法正确的是() [A]如果a>b>0,那么√a>√b [B]如果a>b>0,那么a2>b2 0□00□0I0□ 1□口口口□ 22222 年级 学号 卡信息 33333 4☐4口4☐4口4☐ 班级： 555☐5□5 位 6]66]66 姓名： 7刀7D7刀7刀 8☐88☐8☐8 9]999☐9□ [c]对任意正实数a和b,有a2+b2≥2ab,当且 仅当a=b时，等号成立 []对任意正实数a和b,有a十b≥2√ab,当且 仅当a=b时，等号成立 5.(5分)若矩形的长为a,宽为b,且面积为64，则 矩形周长的最小值为 口 19876543210+0.5 6.(10分)要制作一个容积为4m3,高为1m的 无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是 20元/m2,侧面造价是10元/m2,求该容器的 最低总造价 25 ·能力提升练· 7.(5分)将一根铁丝切割成三段，做一个面积为 2m2、形状为直角三角形的框架，在下列四种 长度的铁丝中，选用最合理（够用且浪费最少） 的是 () [A]6.5m [B]6.8m [c]7m [D]7.2m 8.(5分)小王从甲地到乙地往返的速度分别为a 和b(a<b),其全程的平均速度为v,则() [A]av<√Jab [B]v=√Jab [c]Va6<v-atb 2 Io]v=at6 2 9.(6分)（多选）某出租车司机为升级服务水平， 购入了一辆豪华轿车投入运营，据之前的市场 分析得出每辆车的营运总利润y(单位：万元) 与营运年数x的关系为y=一x2十12x一25，则 下列判断正确的是 () [A]车辆营运年数越多，总利润越高 [B]车辆在第6年时，总利润最高 [c]车辆在前5年的平均利润最高 [D]车辆每年都能盈利 10.(5分)南宋著名数学家秦九韶提出了“三斜求 积术”，即已知三角形三边长，求三角形面积的 公式.设三角形的三条边长分别为a,b,c,则 三角形的面积S可由公式S= w√p(p-a)(p-b)(p-c)求得，其中p为三 角形周长的一半，这个公式也被称为海伦一秦 九韶公式.现有一个三角形的边长满足a=6, b十c=8,则此三角形面积的最大值为() [A]3√7 [B]8 [c]4√7 [D]9√3 26 ■ 11.(5分)如图，有一张单栏的竖 2 dm 向张贴的海报，它的印刷面积 为72dm(阴影部分)，上、下 m 空白部分各宽2dm,左、右空 白部分各宽1dm,则四周空 白部分面积的最小值为 dm2. ☐ 19876543210+0.5 12.(14分)已知a>0,b>0,a+b=1,求证： (1+a(1+)≥9.所以1-2x-8-1-(（x+）≤1-8=-7， 即1-2x-8的最大值为-7.] x 18.2+店[根描题意，由3a+6=2ab可得元+六-1， 剥a+6=(元+)a+)=2+器+品 3a.b=2+3, ≥2+2√26‘2a 当且仅当b=√5a时，等号成立， 所以a十b的最小值为2+√3.] 19.ae≥} [因为x>0, x 1 1 所以2+3x+1 ≤ 1 ++32+ 当且仅当x=1时，等号成立， 所以十x+的最大值为日， 所以a的取值范国是a。≥}门 20.解：因为x,y为正实数，3x十2y=10 所以W2=3x+2y+2√3x·2y≤10+(3x+2y)=20, 当且仅当3x=2y,3x+2y=10, 即x5 y=2时，等号成立. 5 所以W≤2√5， 即W的最大值为25. 21.解：(1)x,y均为正数，则由2x2+3y2=6, 可得6=2x2+3y2≥2W6xy, 即<当且仅当-y-1时学子成2. 女的菜大维为汽 (2)x,y均为正数， 则2x2+3y+6xy≥2y6xy+6y=26+6, xy y √6 当且仅当x=它y时等号成立， 故2x+3y+6xy的最小值为2W5+6. xy 分层作业（十三） 答案速对 1 2 34 1 89 10 B A A BC A 5.3211.56 试题精析 1.B[设单程为5，则上坡时间4= 。,下坡时间2=方，平均速 度为2=2 店学 2 Π102 2.A[设仑库与车站的距离为d,则1=，y:=k:d.由题意 知2-08=10，所以1=20,6：=0.8，所以1十，=9 20 +0.8d≥2V16=8,当且仅当29=0.8d,即d=5时，等号成 d 立.故选A.] 1 3.A[m=a a-2-a-2+ 22+2≥2+2-4 1 当且仅当a一2=。-2，即a=3时取等号. n=4-b2<4, 所以m>n.] 4.C[由题图可知直角三角形的两直角边的长度分别为a,b, 可将斜边长度取作c(c2=a2+b2), 则外围的正方形的面积为c2,也就是a2十b2」 四个阴影直角三角形的面积之和刚好为2ab, 对任意正实数a和b,有a2十b2≥2ab, 当且仅当a=b时等号成立.] 5.32[由题意得ab=64, 所以矩形的周长为2a十26=2a十128≥2X√2X28=32, 当且仅当a=8,b=8时，等号成立， 即矩形周长的最小值为32.] 6.解：设该长方体容器底面的长和宽分别为am,bm,总造价 为y元. 由于长方体容器的容积为4m3,高为1m, 所以底面面积S=ab=4(m2), y=20×4+10[2(a+b)]=20(a+b)+80. 由基本不等式可得y=20(a+b)+80≥20×2√ab+80= 160,当且仅当a=b=2时，等号成立. 因此，该容器的最低总造价为160元. 7.C[设直角三角形框架的两直角边长分别为a,b,周长为l, 则2ab=2,所以ab=4. l=a+b+√a2+b2≥2√ab+√2ab=4+22≈6.828. 故选C.] 8.A[设甲、乙两地的距离为5，则口=，25 2 2+工+ a b a b 由于a<6,所以+<名，所以>a.又+名> 2√b,所以<Va.故a<u<va.故选A.] 1 9.BC[由题意可知，y=一x2+12x一25是图象开口向下的二 次函数，故A错误； 图象的对称轴为直线x=6,故B正确； -x+12-5=-(+）+12≤-2v历+18=2， y 当且仪当2-空，甲2=5时，等号成立，收C正确： 当x=1时，y=一14，故D错误.] 10.A[由题意知，p=7, S=√7(7-a)(7-b)(7-c)=√7(7-b)(7-c) ≤7.7-6+7-c=37, 2 当且仅当7一b=7一c,即b=c=4时，等号成立. 因此三角形面积的最大值为3√万.] 1.56[设阴影年分的长为xdm,则宽为婴dm,四周空白部 分的面积是ydm2. 由题意，得y=+40(2+2）-72 =8+2(+4）≥8+2x2…亚-6， x 当且仅当x=1性，即2=12时，等号成主 因此四周空白部分面积的最小值为56dm2.] 12.证明：因为a>0,6>0,a+b=1,所以1+】=1+a+b a 2+同理得1+号-2+， 所以(1+日)(1+6)=(2+会)(2+号)=5+ 2(+号)≥5+4=9，当且仅当-即a=6=时年 号成立， 所以(1+2)(1+6)≥9. 分层作业（十四） 答案速对 2 3 6 }。 C C C CD BC 7.88.59.3+6√210.1(1,2,3任一个都行，答案不 唯一) 试题精析 1.C2x3-z)=2z8-z)c2(+8)°-名，当且仅 当工=3-工，即x=》时取等号，所以2x(3-x)的最大值 为2小 2C[因为>0时+≥2-，当且收吉= 时等号成立， 则4-2-兰-4-26+）≤0，即4-2红-是约藏大位 为0.] 3.C[因为x>2,y>1,(x-2)(y-1)=4,所以x十y=(x 2)+(y-1)+3≥2√(x-2)(y-1)+3=7,当且仅当x-2 =y-1,即二时等号成立.] y=3 4.C[由题可知，k的最大值即为】十，2 m十1-2的最小值， +-（层+）北2m+a-2w -4+2(20+9)≥8 当且仅当2m=1一2m,即m=子时取等号，所以及≤8， 故选C.] 5.CD[对于A,因为正敦xy满足x+y=2,即=1， 2 所以+（+》安=+会++ y.王=2， 2√2x`2y 当且仅当六务即上=y=1时等号成立，故造项A错误 对于B,因为x十y=2,所以y=2一x,且0<x<2, 1 所以中y=有(2-x)= 1 +十x-2= 1 x+1十 1 (x+1)-3≥2√z+Dx+1)-3=-1, 当且仅当 十x十1时取等号，此时x=0或x=一2，不满 1 足题意， 故取不到最小值一1，故B选项错误， 对于Cx2+y2=(x+)2-2xy≥(x+)2-2(） (x+y)=2, 2 当且仅当x=y=1时等号成立，故选项C正确. 对于D,因为x十y=2,所以x十(y+1)=3,则x(y十1)≤ *- 3 当且仅当x=y十1，即x= 2,y=2时等号成立，故选项D 正确.门 6.BC[A中，没有考虑x<0的情况，错误； B中，yx2+1 1 1 x十 x 当且仅当x= 上即工=1时，取等号，正确 1 C中，y=x-1+ x+1 x+1+1 ++-2≥2√x+1) 1 x+1-2=0, 当且仅当x十1=十' 1 即x=0时，取等号，正确； D中，当V2+4=1 时，x无解，故取不到2，错误.] √x2+4 .8[国为e>06>0,所以合+是+a≥2信·亭+a 4.b +如≥2合k=8,商温仪当后总县a=片即e a =1,b=2时等号成立， 所以后+总十的最小值为8] 8.5[令t=a-1(t>0),则a=t十1， 所以a-3a+1-+1)-3+1)+1L--1+9-4十 a-1 t E.9-1=5,当且仅当1s9 立，即1=3时取等 号，此时a=4,所以a_3a十1山的最小值为5.] a-1 1,11 9.3+6V2[因为a>0,b>0,且 +2b+23 所以a+2b=(a+2)+2(b+2)-6=3[(a+2)+2(b+2)]· (6+2+6中2）-6=9+60+2+02-6≥9+2· 1 a+2 b+2 66+2.3(a+2-6=3+62, N a+2 b+2 103