分层作业(24)抽象函数及性质的应用-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学必修第一册分层作业（人教A版）

6.解：(1)由题意可得m2一3m十3=1，即m2一3m十2=0，解得 m=1或m=2. 当m=1时，f(x)=x3为奇函数； 15 当m=2时，f(x)=x艺既不是奇函数也不是偶函数。 因为f(x)为奇函数，所以函数的解析式为f(x)=x3 (2)由(1)知f(x)=x3,可得f(x)在R上为增函数. .2 因为f(a+1)<f(3-2a),所以a+1<3-2a,解得a<3, 所以实数a的取值范周为(-，号)】 不A[国为高数y=4在区同[合习上单调递成，所以y =2=子故选A] 应为 8.C[选项A中，幂函数的指数a<0,则函数y=ax一a 减函数，A错误； 选项B中，暴画数的指数a>1,则画数y=ax一a应为增函 数，B错误； 1 中，暴函数的指数a<0,则二>0，函数y a 与y轴交点的纵坐标应为正，D错误.] 9.C[因为f(x)=x4-m在(0，十∞)上单调递增， 所以4-m>0,即m<4. 又因为m∈N°，所以m的值为1,2,3. 又因为f(x)=xm是奇函数， 所以4一m是奇数， 所以m等于1或3.] 10.BCD[将点(4,2)代入函数f(x)=x°，得2=4°，则a= 2,所以f(x)=x言=E」 显然f(x)在定义域[0，十∞)上单调递增，所以B正确； f(x)的定义域为[0，十∞)，不具有奇偶性，所以A错误； 当x>1时，√x>1,即f(x)>1,所以C正确； 若x1>x2>0,则 [a]-[(4] 2 -()-() 2 _工十x2十2V1工_x1十x2_2Vx1x2-x1-x2 4 2 4 (压-)<0. 4 即)f》<f(色)成立.所以D正确 2 故选BCD.] 11.（-∞，2][设f(x)=x, 因为幂函数f(x)的图象过点(2,8)，所以f(2)=2=8,解 得a=3,故f(x)=x3. 易知f(x)=x3为定义在R上的奇函数，且f(x)为增函数 因为f(a-3)+f(a-1)≤0， 所以f(a-3)≤-f(a-1)=f(1-a), 故a一3≤1一a,解得a≤2. 故实数a的取值范围是（一∞，2].] 12.②[对于①，f(x)=x1,结合暴函数的性质可知函数 f(x)=x1=1的定义战为(-∞，0)U(0,十∞)，又因为 x f(一x)=一f(x),可知函数为奇函数，值域为（一∞，0）U (0,十∞)，在区间（一∞，0）上单调递减，只满足题千三个性 质中的一个，所以①不是他研究的函数； 对于②，f(x)=x2,结合暴函数的性质可知函数∫(x)= =三的定义城为(-∞，0)U(0,+∞)，又因为f(-x) x2=1 =f(x),可知函数为偶函数，值域为(0，十∞)，在区间 (一∞，0)上单调递增，正好满足题干三个性质中的两个，所 以②是他研究的函数； 对于③，f(x)=x3,结合暴函数的性质可知函数∫(x)=x3 的定义域为(-∞，十∞)，又因为f(-x)=一f(x),可知函 数为奇函数，值域为（一∞，十∞），在区间（一∞，0）上单调递 增，只满足题干三个性质中的一个，所以③不是他研究的 函数； 对于@，f(z)=x,结合幂函数的性质可知函数f(x) x的定义城为(-∞，十∞)，又因为f(-x)=一f(x),可 知函数为奇函数，值域为（一∞，十∞），在区间（一∞，0）上单 调递增，只满足题干三个性质中的一个，所以④不是他研究 的函数.] 13.解：(1)因为暴函数y=x3在(-∞，0)上单调递减，且一2 >-2.5,所以(-2)-3<(-2.5)-3 (2)因为暴函数y=x在(0，十∞)上单调道增，且-8号- (得)>号所以（得）>（日）所以-（信）< (台)所以-8<-（合） ®()-().（传）产-()产<合<合国 111 为苯高数y=在(0，+60)上单润递增，所以（得）子 (位)<() 14.解：(1)由m2-5m十7=1，得m=2或m=3. 又f(x)为偶函数，所以m=3,所以f(x)=x2. 2gx)=x-ax-3=(x-号）》'-3-在[1,3]上不单 调，其图象的对特轴为直线x=2, 则1<号<3，即2<a<6. 所以实数a的取值范围为(2,6) 分层作业（二十四） 答案速对 1 3 4 6 1 BB A D AB BD ACD 8(层）9.-110.1,2 试题精析 1.B[因为对任意x1<x2<2,总有f(x1)<f(x2),所以 f(x)在（一∞，2）上单调递增， 故f(1.2)<f(1.5),A错误； 对于f(2-x)=f(2十x),分别令x=1,2,可得f(1)= f(3),f(0)=f(4), 故f(1.5)>f(1)>f(0),即f(1.5)>f(3)>f(4),B正确， C,D错误.] 1131 2.B[因为函数f(x)是R上的偶函数，且在x∈[0,5]上单调 递增，在[5，十∞)上单调递减，所以函数f(x)在x∈[一5,0] 上单调递减，在x∈（一∞，一5]上单调递增，则f(x)mx= f(-5)=f(5)=2.又因为f(x)在x∈[0,5]上单调递增，所 以有f(x)≤f(5)=2; 因为函数f(x)在x∈(5，十∞)上单调递减， 所以有f(x)<f(5)=2. 因此当x∈[0，+∞)时，有最大值，最大值为f(5)=2. 而函数f(x)是R上的偶函数，因此函数f(x)在实数集上有 最大值2.] 3.A[由已知可得g(x-3)=f(x-4),g(2x-7)=f(2x-8), 由g(x-3)+g(2x-7)>0可得f(x-4)+f(2x-8)>0. 因为奇函数f(x)在R上单调递增， 则f(2x-8)>-f(x-4)=f(4-x), 所以2x-8>4-x,解得x>4.] 4.D[根据题意，函数f(x十1)为偶函数，则函数f(x)的图象 关于直线x=1对称， 又由函数f(x)在[1，十∞)上单调递增且f(3)=1, 则f(2x+1)<1,即f(2x+1)<f(3) 即(2x+1)-1|<|3-1|, 解得一1<x<1,即不等式的解集为（一1,1）.故选D.] 5.AB[对于A,令x=y=0,得f(0)=f(0)+f(0)+1, 则f(0)=一1，故选项A正确； 令y=-x,得f(0)=f(x)+f(-x)-4x2+1, 则f(x)十f(-x)=4x2-2, 对于B,若f(x)是偶函数，则f(x)=f(一x)=2x2一1，故选 项B正确； 对于D,若f(x)是奇函数，则f(1)十f(一1)=2≠0，所以 f(x)不可能是奇函数，故选项D错误； 对于C,令x=y=1,得f(2)=f(1)+f(1)+4十1=7，故选 项C错误， 故选AB.] 6.BD[对于A,因为定义域为R的函数f(x)满足f(x十2)为 奇函数，所以函数f(x)的图象关于点(2,0)对称，A错误； 对于B,因为对任意x1x,∈[2，十∞)，都有x)-f(x） x2一x1 >0,所以f(x)在[2，十∞)上单调递增，根据函数的对称性 可知f(x)在R上单调递增，B正确； 对于C,由f(x)的图象关于点(2,0)对称可知f(x)十f(4 x)=0,C错； 对于D,因为f(x十2)为奇函数且定义域为R,所以f(2) 0,因为f(x)在R上单调递增，由f(x)<0可得x<2,D 正确.门 7.ACD[若f(x)=5-x,则f(f(x))=5一(5-x)=x,得 f(x)=5一x为“循环函数”，故A正确； 若f(x)=5+x,则f(f(x))=5+(5十x)=10+x≠x,得 f(x)=5十x不是“循环函数”，故B错误； 若f(x)=-1,则ff(x》=-1 =x,得f(x)=一 为“循环函数”，故C正确； x+1 x十1 若f(x)=2-,则∫（f（x)= 2xi+1 2(x+1-1 2x-1 x+1+2x-1 x+1 2z+2-(2x-一=x,得f(x)=2为“循环画数”，故D 正确.门 1114 8(号，）[依题意，f)是定义在(-1,1上的奇函数，且在 (-1,1)上是增函数， 由f(1-x)+f(1-2x)<0,得f(1一x)<-f(1-2x) =f(2x-1), 1-x<2x-1, 所以仁1<1-z<1,解得号<x<1所以不等式f1-z) -1<2x-1<1, +f1-2x)<0的解集为（号）] 9.一1[因为f(x十1)是奇函数， 所以f(一x十1)=一f(x十1)， 令x=0,得f(1)=-f(1),所以f(1)=0; 令x=-1,得f(-(-1)+1)=-f(-1+1), 即f(2)=-f(0)=-1. 因为f(x)是定义在R上的偶函数， 所以f(-2)=f(2)=-1,f(一1)=f(1)=0, 所以f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)=(-1)+0+1 +0+(-1)=-1.] 11,2[由fe)-2++], 当x∈(-∞，-2)时，2+十∈（1,2)，则f(x)=1: 当x∈(0，十∞)时，2+ x+∈(2,3)，则f(x)=2. 所以函数f(x)的值城为{1,2}.] 11.解：(1)令x=y=0,得f(0)=-1. Vx1,x2∈R,且x1<x2,则x2-x1>0,f(x2-x1)>-1. 又f(x2)=f(x2-x1)+x1)=f(x2-x1)+f(x1)+1> f(x1),所以函数f(x)在R上是增函数 (2)由f(1)=1,得f(2)=3,f(3)=5. 由f(x2+2x)+f(1-x)>4, 得f(x2+2x)+f(1-x)+1>5,即f(x2+x+1)>f(3), 又函数f(x)在R上是增函数，故x2十x十1>3， 解得x<-2或x>1, 故原不等式的解集为(-∞，-2)U(1,十∞). 12.解：(1)证明：令x=y=0,得f(0)=0. 设任意x∈（一1,1），则一x∈（一1,1），所以f(x)+f(-x) =f(0)=0,即f(-x)=-f(x), 所以函数f(x)是奇函数. (2)证明：Hx1,x2∈(-1,1)，且x1<x2,则-x2∈（-1， 1),所以f(x1)一f（x2)=f(x1)十f(-x2)= ) 由-1<x1<x2<1知，x1-x2<0,且|x1|<1,x2<1,所 以x1x2<1,即1-x1x2>0, 所以工1-2<0， 1-x1x2 又4-（-1)=1+x)1-x>0, 1一x1x2 1-x1x2 中产-1.0，从5f(径)>0… 即f(x1)-f(x2)>0,f(x1)>f(x2), 所以f(x)在（一1,1）上是减函数. (3)由(2)可知函数f(x)在(-1,1)上是减函数， 则当x [合，】时，画数了)的溪大维为（号） -f(2）=1. 若f-2a+1对所有x[名，号]ae[-1,门 恒成立， 则等价为1≤t2-2at十1对a∈[-1,1]恒成立， 即t2-2at≥0. 设g(a)=t2-2at=-2ta十t2,则对a∈[-1,1]恒成立， 0-2≥0即≥2或≤0， 所以810之20，即2+2t≥0，t≥0或t≤-2， 解得t≥2或t=0或t≤一2. 13.解：(1)由已知f(xy)=f(x)十f(y), 令y=1,f(x)=f(x)+f(1), 解得f(1)=0. (2)证明：Hx1,x2∈(0，十∞)，且x1<x2,则∈(0,1)， 2 f(）<, 则f)-f)=f(g·)-f)=f(月) f,)-fx)=f(g)<0, 即f(x1)<f(x2), 即函数f(x)在(0，十∞)上是增函数， (3)由已知f(20252)=f(2025)+f(2025)=1, 即f2025)=2, 又f(x)+f(x-2024)=f(x(x-2024)), 所以f(x)+f(x-2024)<2即为fx(z-202) <f(2025), 又函数f(x)在(0，十∞)上单调递增， x>0, 则x-2024>0, x(x-2024)<2025, 解得2024<x<2025. 故不等式的解集为{x|2024<x<2025}. 分层作业（二十五） 答案速对 1 2 3 6 7 B B C A C 4.25008.14.5999.9 试题精析 1.B[设脚的长度为ymm,对应的鞋码为x码，则由题表得y =5.x+50.当x=30时，y=5×30+50=200.故选B.] 2.B[水箱内水量y=200+2t2-34t, 当1-号时y有最小值， 此时共放水34×号=289（升），29 ’65≈4.4， 故至多可供4人洗澡.] 3.C[设年产量为x千台，当年的利润为y万元， 则由已知有y= f50x-3:2-10x-250,0<x<80xeN, 150c-51z-1000+1450-250,x≥80，x∈N, 3x2+40x-250,0≤x<80,x∈N, 即y= 《z+0,00)+1200,x≥80，x∈N, 当0≤x<80时，由二次函数的性质可知当x=60时y取最 大值950， 当x≥80时y≤-2√100+120-=10 当且仅当x= 10000,即x=100时，y取得最大值1000， x 又1000>950，所以当年产量为100千台时，该厂当年的利润 取得最大值1000万元.] 4250u(Q)=40Q0Q-10Q-200=-0Q+30Q 1 1 -2000=-20(Q-300)2+2500,当Q=30时，L(Q)的最 大值为2500万元.] 5.解：(1)由题意得，当0<x<10时，f(x)=5x+9,此时函数 单调递增； 当10≤x≤16时，函数f(x)取得最大值，此时f(x)=59; 当16<x≤30时，f(x)=一3x十107，此时函数单调递减. 所以开始授课后10分钟，学生的注意力最集中，能维持6分钟. (2)当0<x<10时，令f(x)≥55，即5x+9≥55， 解得9.2≤x<10,集中注意力时间共10一9.2=0.8（分）： 当10≤x≤16时，f(x)=59≥55，集中注意力时间共6分钟； 当16<x≤30时，令f(x)≥55，即-3x+107≥55，解得16< <号桌中注意力时间共号-16=号（分)。 周为0.8十6+音器<10，所以老绑不能及时在学生-直 达到所需注意力的状态下讲完这道题 合=0， 6.A[由题意可得 20+0=4, 解得/a0, b=4, 1+6 当t=0时，C(0)=0,当t>0时，C(t)= 202=20 t2+4 4 令y=+1>0, Vt1,t2∈(0，+∞)，且t1<t2, 别0+片(6+)-4-出 当≥2时，t1-t2<0,t1t2>4,即y1<y2;当0<t<2时，t1 -t2<0,t1t2<4,即y1>y2, 则函数y=t士1,2>0在(0,2)上单调递减，在(2，+∞)上 单调适瑞+) =2十2=4，即当t=2时，C(t)mx= C(2)=5.故选A.] 7.C[设月利润为y1的连锁店销售x辆电动车，则月利润为 y2的连锁店销售(110一x)辆电动车，由题意可知两店的月利 润之和L=-5x2+900x-16000十300(110-x)-2000= -5x2+600x+15000=-5(x-60)2+33000,所以当x= 60时，两店的月利润之和取得最大值，为33000元.故选C.] 8.14.599[设出租车行驶x千米时，付费y元， 19,0<x≤3， 则y={8+2.15(x-3)+1,3<x8, 8+2.15×5+2.85(x-8)+1,x>8. 1151分层作业（二十四） 抽象函数及性质的应用 （满分：95分) 1.(5分)已知函数f(x)对任意实数x都有f(2一x) =f(2十x),并且对任意x1<x2<2,总有 f(x1)<f(x2),则下列不等式正确的是() [A]f(1.2)>f(1.5)[B]f(1.5)>f(3) [c]f(3)<f(4) [D]f(1.5)<f(4) 2.(5分)定义域为R的函数f(x)是偶函数，且在 [0,5]上单调递增，在[5，+∞)上单调递减，又 f(5)=2,则f(x) () [A]在[-5,0]上单调递增且有最大值2 [B]在[-5,0]上单调递减且有最大值2 [c]在[-5,0]上单调递增且有最小值2 [D]在[一5,0]上单调递减且有最小值2 3.(5分)已知奇函数f(x)在R上单调递增， g(x)=f(x一1)，则关于x的不等式g(x一3) 十g(2x-7)>0的解集为 () [A](4,+∞) [B](-∞，4) [c](4,5) [D](4,3√2) 4.(5分)已知定义域为R的函数f(x)在[1，+∞) 上单调递增，且f(x十1)为偶函数，若f(3)=1, 则不等式f(2x十1)<1的解集为() [A](-∞，-1)U(1,+∞) [B](-1,+o∞) [c](-∞，1) [D](-1,1) 5.(6分)（多选）已知函数f(x)对任意x,y∈R 恒有f(x+y)=f(x)+f(y)+4xy+1,且 f(1)=1,则 () 0□0000□ 1口口口□ 学 2□2222 年级 卡信息 3☐3333 后 4□4口4口4口4□ 班级： 5J5555 位 6]6]6]66 姓名： 7D7口7刀7刀7刀 8☐8□8□8☐8 9☐99☐99☐ [A]f(0)=-1 [B]f(x)可能是偶函数 [c]f(2)=8 [D]f(x)可能是奇函数 6.(6分)（多选）若定义域为R的函数f(x)满足 f(x+2)为奇函数，且对任意x1,x2∈[2，十∞)， 都有fx,）-fx)0,则下列正确的是 x2一x1 () [A]f(x)的图象关于点（一2,0）对称 [B]f(x)在R上是增函数 [c]f(x)+f(4-x)=4 [D]关于x的不等式f(x)<0的解集为（一∞，2） 7.(6分)（多选）设函数f(x)的定义域为D,若 Hx∈D,f(f(x)=x,则称f(x)为“循环函 数”.下列函数中，为“循环函数”的有() [A]f(x)=5-x [B]f(x)=5十x [o1f(x)=- x o)- 8.(5分)若f(x)是定义在（一1,1）上的奇函数， 且在(-1,1)上是增函数，则不等式f(1一x) +f(1-2x)<0的解集为 口 9.(5分)若函数f(x)是定义在R上的偶函数， f(x十1)是奇函数，f(0)=1,则f(-2)+ f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)= ·□ 10.(5分)定义：[x]表示不超过x的最大整数，如 [-1.6]=-2,[1.8]=1,已知函数f(x)= +x∈(-，-2)U(0,十∞)，则函数 2x+3 f(x)的值域为 19876543210+0.5 11.(13分)已知定义在R上的函数f(x)满足： ①f(x+y)=f(x)+f(y)+1; ②当x>0时，f(x)>-1. (1)求f(0)的值，并证明函数f(x)在R上是 增函数； (2)若f(1)=1,解关于x的不等式f(x2+ 2x)+f(1-x)>4. 19876543210+0.5 12.(13分)定义在（一1,1）上的函数f(x)满足： 对任意的x,y∈(-1,1)，都有f(x)+f(y) =f》 (1)求证：函数f(x)是奇函数； (2)若当x∈（一1,0）时，有f(x)>0,求证： f(x)在(-1,1)上是减函数； (3)若f(分)=-1，f(x)≤2-2at+1对所 有x∈[号，引a[-1,恒成立，求实数 t的取值范围. ■ 19876543210+0.5 13.(16分)定义在(0，十∞)上的函数y=f(x), 满足f(xy)=f(x)+f(y),f(20252)=1, 当x∈(0,1)时，f(x)<0. (1)求f(1)的值； (2)用定义证明f(x)在(0，十∞)上是增函数； (3)解关于x的不等式f)+fc-2020< 48 ■