分层作业(14)基本不等式的应用技巧-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学必修第一册分层作业（人教A版）

■ 分层作业（十四） 基本不等式的应用技巧 （满分：95分) 1.(5分)已知0<x<3,则2x(3-x)的最大值为 () [A]3 [B]3 []2 9 [D]4 2.(5分)已知x>0,则4-2x- 的装大位为 ( A]-2[B]-1[c]0 [D]2 3.(5分)已知x>2,y>1,(x-2)(y-1)=4,则 x十y的最小值是 () [A]1 [B]4 [c]7 [D]3+√/17 4.5分)设0m<号者 2≥k恒成立， m1-2m1 则的最大值为 () [A]4 [B]2 [c]8 [D]1 5.(6分)（多选）已知正数x,y满足x+y=2,则 下列选项正确的是 () [A]1+L的最小值是4 十1一y的最小值是-1 1 [B] [c]x2+y2的最小值是2 []x(y+1)的最大值是9 6.(6分)（多选）下列说法正确的是 ( y三x十的最小值为4 y2年1x>0)的最大值为号 [©7y=x-1+十7（红>-1D的最小值为0 [D]y=√x2+4+ 1二的最小值为2 √x2+4 76分)已知a>0,6>0,则后+2总+4如的最小 b 值为 0□0000□ 1口口口□ 学 2□2222 题卡信息 年级 33333□ 后 4□4口4口4口4□ 班级： 5J5555 位 6]6]6]66] 姓名 7D7刀7刀7刀7刀 8☐8□8□8☐8 9☐999□9 8.(5分)已知a>1,则a2-3a十1 a-1 的最小值 为 口 1 1 1 9.(5分)已知a>0,b>0,且 a+26+2=3,则 a十2b的最小值为 口 10.(5分)已知x>1,若x+之a恒成立，写出 符合条件的正整数a= .(写出一个 即可) □ 19876543210+0.5 11.(13分)某机构要建1000个长方体形状、高度 恒定的相同房间，每个房间造价不超过960元. 为了充分利用资源，每一个房间的后墙利用原 有的五合板，不需要购买，正面用木质纤维板 隔离，每米造价60元.两侧面用高密度合成 板，每米造价30元，顶部每平方米造价30元. 设每个房间正面木质纤维板长度为x米，一 侧面高密度合成板的长度为y米. (1)用x,y表示每个房间的造价W; (2)当每个房间面积最大时，求x的值， 27 19876543210+0.5 12.(13分)已知m+2n=2,且m>-1,n>0. 1)求7+是的最小： 2 @凉三”气的最小质 ■ 19876543210+0. 13.(17分)问题：正实数a,b满足a十b=1,求 日+云的最小位其巾一种怒法是：日+ 2 日+引+6)=1+8+2+2≥8-2， 当且仅当2-2且a十b=1,即a=反-1且 b b=2一√2时取等号.学习上述解法并解决下 列问题： 0>若正实数，y满足十y=1.求是+号的 最小值； 2)若实数b,正实数以满足后芳=1， 求证：a2-b2≤(x-y)2; (3)求M=√2m-3-√m-2的最小值，并求 出使得M取最小值的m的值. 281.56[设阴影年分的长为xdm,则宽为婴dm,四周空白部 分的面积是ydm2. 由题意，得y=+40(2+2）-72 =8+2(+4）≥8+2x2…亚-6， x 当且仅当x=1性，即2=12时，等号成主 因此四周空白部分面积的最小值为56dm2.] 12.证明：因为a>0,6>0,a+b=1,所以1+】=1+a+b a 2+同理得1+号-2+， 所以(1+日)(1+6)=(2+会)(2+号)=5+ 2(+号)≥5+4=9，当且仅当-即a=6=时年 号成立， 所以(1+2)(1+6)≥9. 分层作业（十四） 答案速对 2 3 6 }。 C C C CD BC 7.88.59.3+6√210.1(1,2,3任一个都行，答案不 唯一) 试题精析 1.C2x3-z)=2z8-z)c2(+8)°-名，当且仅 当工=3-工，即x=》时取等号，所以2x(3-x)的最大值 为2小 2C[因为>0时+≥2-，当且收吉= 时等号成立， 则4-2-兰-4-26+）≤0，即4-2红-是约藏大位 为0.] 3.C[因为x>2,y>1,(x-2)(y-1)=4,所以x十y=(x 2)+(y-1)+3≥2√(x-2)(y-1)+3=7,当且仅当x-2 =y-1,即二时等号成立.] y=3 4.C[由题可知，k的最大值即为】十，2 m十1-2的最小值， +-（层+）北2m+a-2w -4+2(20+9)≥8 当且仅当2m=1一2m,即m=子时取等号，所以及≤8， 故选C.] 5.CD[对于A,因为正敦xy满足x+y=2,即=1， 2 所以+（+》安=+会++ y.王=2， 2√2x`2y 当且仅当六务即上=y=1时等号成立，故造项A错误 对于B,因为x十y=2,所以y=2一x,且0<x<2, 1 所以中y=有(2-x)= 1 +十x-2= 1 x+1十 1 (x+1)-3≥2√z+Dx+1)-3=-1, 当且仅当 十x十1时取等号，此时x=0或x=一2，不满 1 足题意， 故取不到最小值一1，故B选项错误， 对于Cx2+y2=(x+)2-2xy≥(x+)2-2(） (x+y)=2, 2 当且仅当x=y=1时等号成立，故选项C正确. 对于D,因为x十y=2,所以x十(y+1)=3,则x(y十1)≤ *- 3 当且仅当x=y十1，即x= 2,y=2时等号成立，故选项D 正确.门 6.BC[A中，没有考虑x<0的情况，错误； B中，yx2+1 1 1 x十 x 当且仅当x= 上即工=1时，取等号，正确 1 C中，y=x-1+ x+1 x+1+1 ++-2≥2√x+1) 1 x+1-2=0, 当且仅当x十1=十' 1 即x=0时，取等号，正确； D中，当V2+4=1 时，x无解，故取不到2，错误.] √x2+4 .8[国为e>06>0,所以合+是+a≥2信·亭+a 4.b +如≥2合k=8,商温仪当后总县a=片即e a =1,b=2时等号成立， 所以后+总十的最小值为8] 8.5[令t=a-1(t>0),则a=t十1， 所以a-3a+1-+1)-3+1)+1L--1+9-4十 a-1 t E.9-1=5,当且仅当1s9 立，即1=3时取等 号，此时a=4,所以a_3a十1山的最小值为5.] a-1 1,11 9.3+6V2[因为a>0,b>0,且 +2b+23 所以a+2b=(a+2)+2(b+2)-6=3[(a+2)+2(b+2)]· (6+2+6中2）-6=9+60+2+02-6≥9+2· 1 a+2 b+2 66+2.3(a+2-6=3+62, N a+2 b+2 103 当且仅当66+2》-3a+2且，1， 1 1 a+2 b+2 1a+2十6十2=3，即6=1+ 32 ,0=1十3V2时取等号， 故a十2b的最小值为3十6√2.] 10.1(1,2,3任一个都行，答案不唯一)[因为x>1, 所以x一1>0， 1 所以x十 1=(x=1)十11+1≥2人xD·1 x1+ 1 1=3,当且仅当x-1-x与，即x=2时，等号成立，所以x +1 的最小值是3. 国为x十a恒成立，所以3≥ 又因为a是正整数，所以a=1,2,3.] 11.解：(1)根据题意，只需要计算正面、两个侧面和一个项面的 造价，则有： W=60x+60y+30xy(x>0,y>0). (2)根据题意，每个房间造价不超过960元，则有W=60x十 60y+30xy960, 即有2(x+y)+xy≤32 设每个房间的面积为S,则有S=xy, 则有4√xy十xy≤2(x十y)十xy≤32，当且仅当x=y=4 时，等号成立， 解得√xy≤4，故S≤16. 当每个房间面积最大时，x=4. 12.解：1)因为m+1+2m=3,m+)+2m=1, 3 /1 所以中+异十十 4 4)[(m+1)+2n] （m+1+2n） 3 14+ +4(m+1) 2m≥5+2，E=3, 3 3 当且仅当2m=4(m+1) m+1= ,且m+2n=2, 2n 即m=0,n=1时等号成立， 点十兰的最办造为 所以 (2)、m +4n2(2-2n) +(2-m)2 2n+2m+12n+2 m+1 =20n-1D+m-2 n+1 m+1 2(n+1)2-8(n+1)+8,(m+1)2-6(m+1)+9 n+1 m+1 =2a+D+n平-8+m+1+n 8 m+16 =9 9 16 =m++2m十2-9， 因为m十1十2m十2=5，所以m+1)+(2m+2)-1, 5 所以原式 _)加m+w+e+2 9 -9 5 9+16+9(2m+2)+16(m+1) m+1 2n+2 -9≥25+2vV9X16 5 9 5 -9= 51 1104 当且仅当9C2m+2_16m+,且加+2n=2,即m-号， 8 m+1 2n+2 3 n=7时等号成立， 所以2+行的系小位为号 13.解：(1)因为正实数x,y满足x十y=1, ≥3+2-8+2. 当且仅当2型=二，即x=2-2,y=2-1时，等号成立， x y 所以2+1的最小值是3十22。 x y (2证明a2-8=a-6)(层-) =x2+y2- /b2x2a2y2\ 62/: 因为6x2+y b'z2 a'y 62=2xy, s以学字时平5或， 所以x2+y2- 学+辛)+-2=州 故a2-b2≤(x-y)2. (3)设x=√2m-3,y=√m-2, 由2年2 x2-y2=m-1>0,又x>0,y≥0，则x>y, 号-若=1向r-2y=1,号-兰-1 2 1 则a2=1,b2=2’ 所以由(2)得M=√2m-3-√m-2=x-y≥√a-b2 2 x 2-=2y2, 当且仅当 z2 y2 5 =1 ,即x=厄，y=, ,m=时，等号 成立， 所以M的策小值为号此时m的位为 分层作业（十五） 答案速对 123789101112 D A BBB AC C BB 4m<<}1>是政<- 14.a-3<a<-2,或2a≤3)15号≤k<2