13.1.3 三角形中几条重要线段（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（沪科版2024）

该初中数学课件聚焦三角形的高、角平分线、中线，通过“分蛋糕”现实问题导入，引导学生从实际需求出发，逐步探究三类三角形（锐角、直角、钝角）中高的画法与位置关系，再延伸至角平分线、中线的概念及性质，结合例题与练习构建完整知识支架。 其亮点在于以现实情境培养数学眼光，通过视频演示（画钝角三角形的高）和动手操作（折纸画角平分线）增强几何直观。例题运用“面积法”和推理计算发展数学思维，表格总结线段概念与表示方法强化数学语言。课堂小结结构化梳理关键性质，助力学生系统掌握，教师使用能提升教学效率并激发学生探究意识。

钝角三角形的高比较特殊，有两条高会出现在三角形外部下面。我以过点A向BC边上做高为例，来说明如何做钝角三角形的高。首先延长线段CB。将直角三角板的一条直角边与BC所在的直线重合，移动三角板，使另一条直角边经过点A。固定三角板过点A向BC边所在的直线作垂线。垂足为点D则线段AD即为边BC上的高。下面老师演示如何过点C向AB边做高。 第3课时 三角形中几条重要线段 第13章 三角形中的边角 关系、 命题与证明 13.1 三角形中的边角关系 八年级上册数学（沪科版） 1.了解三角形的角平分线、中线与高的概念，会用工具准确画出三角形的角平分线、中线与高；（重点） 2. 学会用数学知识解决实际问题的能力，发展应用和自主探究意识，并培养学生的动手实践能力.（难点） 学习目标 这里有一块三角形的蛋糕，如果要平分给两个人的话，该怎么分呢？ 导入新课 三角形的高的定义 A B C D 如右图，线段 AD 是 BC 边上的高. 和垂足的字母. 注意 ! 标明垂直的记号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 三角形的高 1 从三角形的一个顶点到它对边所在直线的垂线段叫作三角形的高线，也叫作三角形的高. 新知探究 思考：你还能画出一条高来吗？ 一个三角形有三个顶点，应该有三条高. (1) 你能画出三角形的三条高吗？ (2) 这三条高之间有怎样的位置关系？ O (3) 锐角三角形的三条高是在三角 形的内部还是外部？ 锐角三角形的三条高交于同一点. 锐角三角形的三条高都在三角形的内部. 锐角三角形的三条高 如图所示. 直角边 BC 边上的高是 ； 直角边 AB 边上的高是 ； (2) AC 边上的高是 ； 直角三角形的三条高 A B C (1) 画出直角三角形的三条高， AB BC 它们有怎样的位置关系？ D 直角三角形的三条高交于直角顶点. BD 钝角三角形的三条高 (1) 你能画出钝角三角形的三条高吗？ A B C D E F (2) AC 边上的高呢？ AB 边上呢？ BC 边上呢？ BF CE AD A B C D F (3)钝角三角形的三条高 交于一点吗？ (4)它们所在的直线交于 一点吗？ O E 钝角三角形的三条高 不相交于一点. 钝角三角形的三条高所在直线交于一点. 点击播放视频 视频：画钝角三角形的高 例1 作△ABC 的边 AB 上的高，下列作法中，正确的是(　　) 方法总结：三角形任意一边上的高必须满足：(1)过该边所对的顶点；(2)垂足必须在该边或在该边的延长线上． D 例2 如图所示，在△ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC 于点 D，且 AD＝4，若点 P 在边 AC 上移动，则 BP 的最小值为____． 方法总结：可利用面积相等作桥梁(但不求面积) 求三角形的高，此解题方法通常称为“面积法”． 三角形的角平分线 2 概念：三角形中，一个角的平分线与这个角对边相交，顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线. 如图，在△ABC 中，∠1 =∠2， 线段 AD 就是∠ABC 的一条角平分线. A B C D 1 想一想：三角形的角平分线与角的平分线有什么不同? 不同点是：前者是线段，后者是射线. 2 B D C A B A C 用量角器画最简便，用圆规也能. 在一张纸上画出一个一个三角形并剪下，将它的一个角对折，使其两边重合. 折痕 AD 即为三角形的∠A 的平分线. A B C A D 问题2：请画出这个三角形的另外两条角平分线，你发现了什么？ 三角形的三条角平分线交于一点． A B C D E F 问题1：一个三角形有几条角平分线？ 3 例3 如图，DC 平分∠ACB，DE∥BC，∠AED = 80°，求∠ECD 的度数. 解：∵DC平分∠ACB， 又DE∥BC， ∴∠AED =∠ACB = 80°. ∴∠ECD = 40°. ∴∠ECD =∠BCD = ∠ACB. 典例精析 A B C E D 例4 如图，已知 AD 是△ABC 的角平分线，CE 是△ABC 的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，求∠ADB 的度数． 解：因为 AD 是△ABC 的角平分线，∠BAC＝60°， 所以∠DAC＝∠BAD＝30°. 因为 CE 是△ABC 的高，∠BCE＝40°， 所以∠B＝50°. 所以∠ADB＝180°－∠B－∠BAD ＝180°－30°－50°＝100°. 点击播放视频 视频：平均分蛋糕 在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫作三角形的中线. 如图，线段 AE 是 BC 边上的中线. 三角形的“中线” B C A BE = EC E 三角形的中线 3 (1) 在纸上画出一个锐角三角形，确定它的中线. 你有什么方法？它有多少条中线？它们有怎样的 位置关系？ 三条中线 交于一点 议一议 (2) 钝角三角形和直角三角形的中线又是怎样的？ 折一折，画一画，并与同伴交流. 总结 三角形的三条中线交于一点，这个交点就是三角形的重心. 思考1:如图，在△ABC 中，AP 是△ABC 的中线，AD 是△ABC 的高．试判断△ABP 和△ACP 的面积有什么关系，为什么？ B C P D A 答：相等，因为两个三角形等底同高，所以它们面积相等. 思考2:通过思考 1 你能发现什么规律？ 答：三角形的中线能将三角形的面积平分. 例5 在△ABC 中，AC＝5cm，AD 是△ABC 的中线，若△ABD 的周长比△ADC 的周长大 2 cm，则 BA＝____cm. 提示：将△ABD 与△ADC 的周长之差转化为边长的差. 7 典例精析 三角形的 重要线段 概念 图形 表示方法 三角形的 角平分线 三角形中，一个角的平分线与这个角对边相交，顶点与交点之间的线段 因为AD是△ABC的角平分线，所以∠BAD=∠CAD= ∠BAC. 三角形 的中线 三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段 因为 AD是△ABC的边BC上的中线， 所以BD=CD= BC. 三角形 的高线 从三角形的一个顶点到它对边所在的直线的垂线段 因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC， ∠ADB=∠ADC=90°. A B C D A B C D   A B C D 1．下列说法正确的是（　　） A．三角形三条高都在三角形内 B．三角形三条中线相交于一点 C．三角形的三条角平分线可能在三角形内，也可 能在三角形外 D．三角形的角平分线是射线 B 课后练习 2．在△ABC 中，AD 为中线，BE 为角平分线，则在以下等式中：①∠BAD =∠CAD；②∠ABE =∠CBE；③ BD = DC；④ AE = EC．其中正确的是 (　　 ) A.①② B.③④ C.①④ D.②③ D A B C D E 解：因为 CD 是△ABC 的中线， 所以 BD = AD. 因为 BC - AC = 5cm， 所以△DBC 与△ADC 的周长差是 5 cm. 又因为△DBC 的周长为 25 cm， 所以△ADC 的周长为 25 - 5 = 20 (cm). 3. 如图，在△ABC 中，CD 是中线，已知 BC - AC = 5 cm， △DBC 的周长为 25 cm，求△ADC 的周长. A D B C 4. 如图，AE 是△ABC 的角平分线.已知∠B = 45°， ∠C = 60°，求∠BAE 和∠AEB 的度数. A B C E 解：因为 AE 是△ABC 的角平分线， 因为 ∠BAC +∠B +∠C = 180°， 所以∠BAC = 180°－∠B－∠C = 180°－45°－60° = 75°.所以∠CAE = ∠BAE = 37.5°. 所以 ∠AEB = 180°－∠BAE －∠B = 97.5°. 所以 ∠CAE = ∠BAE = ∠BAC. 5.如图，在△ABC 中，AD 是△ABC 的高，AE 是△ABC 的角平分线，已知∠BAC = 82°，∠C = 40°，求∠DAE 的大小. 解： 因为 AD 是△ABC 的高， 所以 ∠ADC＝90°. 因为 ∠ADC +∠C +∠DAC = 180°， 所以 ∠DAC=180°－∠ADC － ∠C =180°－90°－40°=50°. 因为 AE 是△ABC 的角平分线，∠BAC = 82°， 所以∠CAE = 41°. 所以∠DAE =∠DAC－∠CAE = 50°－41° = 9°. B A C D E 29 三角形重要线段 高 钝角三角形两短边上的高的画法 中线 会把原三角形面积平分 一边上的中线把原三角形分成两个三角形，这两个三角形的周长差等于原三角形其余两边的差 角平分线 定义 课堂小结 $过生日吃蛋糕的时候总会碰到这种情况，三角蛋糕还剩一块，等着吃的却有两人，这时候需要平均分配，多了少了九人不高兴。对一块薄厚均匀的蛋糕切成大小相等、体积相同的两块，其实就是把三角蛋糕按面积来等分一下。问题是怎么把这三角蛋糕一刀切的上面的面积相等呢？乱切可不行，需要有数学依据。告你个窍门，找到蛋糕一边中间的位置，差不多就是这儿，从这里到另外一边的尖儿切下去，这切出来的就是上边面积相等体积相同的两块蛋糕了，没人敢不服。知道为什么吗？别着急，都说了有数学依据的，把蛋糕当做任意形状的一个三角形。我们刚刚是从蛋糕一边中间的地方切到对边的尖儿，那请问一下这一刀如果用数学语言怎么精确描述？