第4节 弹性碰撞与非弹性碰撞（导学案）-物理鲁科版2019选择性必修第一册

4. 弹性碰撞与非弹性碰撞 导学案 物理观念 能理解弹性碰撞（动量和动能守恒）与非弹性碰撞（仅动量守恒）的本质区别，掌握两类碰撞的特征及规律，建立对不同碰撞类型的物理认知。 科学思维 能通过推导弹性碰撞中速度变化的公式，对比分析两类碰撞的能量变化差异，运用动量守恒定律解决碰撞问题，提升分类讨论与定量分析能力。 科学探究 能参与 “探究不同碰撞类型的动量与能量变化” 实验，通过改变碰撞体材质观察现象，测量数据并对比分析，增强实验探究与归纳总结能力。 科学态度 与责任 通过了解碰撞规律在工程（如汽车安全设计）、体育（如球类运动）中的应用，认识物理知识对实际生活的指导意义，培养运用科学规律解决实际问题的意识。 重点：区分弹性与非弹性碰撞的特点及守恒量差异。 难点：弹性碰撞中速度关系的推导及实际问题应用。 【知识回顾】 动量守恒定律 1.内容 如果一个系统不受外力，或者所受外力的矢量和为零，这个系统的总动量保持不变。 2.表达式 对两个物体组成的系统，常写成： p1＋p2＝p1′＋p2′或m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′ 3.适用条件 系统不受外力或者所受外力之和为零。 4.动量守恒定律是一个独立的实验规律，它适用于目前为止物理学研究的一切领域。 【自主预习】 1.弹性碰撞和非弹性碰撞 （1）弹性碰撞 如果系统在碰撞前后__动能__不变，这类碰撞叫作弹性碰撞。 （2）非弹性碰撞 非弹性碰撞：如果系统在碰撞后__动能__减少，这类的碰撞叫作非弹性碰撞。 2　弹性碰撞的实例分析 （1）正碰：两个小球相碰，碰撞之前球的运动速度与两球心的连线在__同一条直线__上，碰撞之后两球的速度仍会沿着这条直线。这种碰撞也叫作__对心__碰撞或__一维__碰撞。 （2）弹性正碰的特点：假设物体m1，以速度v1与原来静止的物体m2发生弹性正碰。 ①与碰撞后系统的__动量__相同，__动能__相同。 ②两球质量相等时，碰撞的特点是__m2以v1的速度向前运动，m1静止__。 (3)m1>m2时，碰撞的特点是m1和m2都__向前__运动，且m1的速度__小于__m2的速度。 (4)m1<m2时碰撞的特点是m2__向前__运动，m1被__反弹__。 (5)m1≫m2，m1的速度__没有__改变，而m2被撞后以__2v1__的速度向前运动。 (6)m1≪m2，m1以原来的速率向__反__方向运动，而m2仍然__静止__。 【思考交流1】 超级碰撞演示：将乒乓球放在篮球上方，同时释放让它们自由下落，观察落地后的反弹情况。 问1：乒乓球反弹的高度是否超过初始释放高度？这是能量凭空产生了吗？ 问2：篮球与地面、乒乓球与篮球之间发生了什么类型的碰撞？为什么会出现这种‘超常’反弹？ 【问题体验1】 1.情景：两个台球在光滑桌面上发生碰撞后分开，各自继续运动。将两个台球粘上橡皮泥后在光滑桌面上发生碰撞后紧紧贴在一起滑行。 问1：“同样是碰撞，为什么结果如此不同？一个‘弹开’，一个‘黏住’？这背后隐藏着怎样的物理规律？” 问2：“我们已经学过动量守恒，那么在这两种情况下，动量是否都守恒？动能呢？有没有可能动量守恒但动能不守恒？” 2.利用不同的实验装置先后进行小车碰撞实验：第一组实验在两辆小车间安装撞针和橡皮泥，碰撞后两辆小车粘在一起运动；第二组实验拿掉撞针和橡皮泥，两辆小车正常碰撞；第三组实验在小车间安装了弹性碰撞架。下表为通过三组实验数据得到的两辆小车碰撞前后的总动能和总动量，请观察以下数据，寻找规律： Ek1/J Ek2/J p1/ kg·m·s－1 p2/ kg·m·s－1 1 0.102 0.049 0.326 0.319 2 0.127 0.086 0.363 0.358 3 0.113 0.106 0.342 0.337 (1)碰撞前后的动量：不同方案中的碰撞实验，在误差允许的范围内，系统的总动量在碰撞前后 守恒 (填“守恒”或“不守恒”)。 (2)碰撞前后的动能：第一组碰撞实验中，碰撞之后的动能 小于 碰撞前的动能；第二组碰撞实验中，碰撞之后的动能 小于 碰撞前的动能；第三组碰撞实验中，在误差允许的范围内，碰撞之后的动能 等于 碰撞前的动能。(均选填“大于”“小于”或“等于”) 3.弹性碰撞和非弹性碰撞 (1)弹性碰撞：如果系统在碰撞前后动能 不变 ，这类碰撞叫作弹性碰撞。 (2)非弹性碰撞：如果系统在碰撞后动能 减少 ，这类碰撞叫作非弹性碰撞。 【问题体验2】 1.正碰 两个小球相碰，碰撞之前球的运动速度与两球心的连线在 同一条直线上 ，碰撞之后两球的速度仍会沿着 这条直线 ，这种碰撞称为正碰，也叫作 对心碰撞 或 一维碰撞 。 2.若质量为m1的物体以速度v1与原来静止的质量为m2的物体发生正碰，碰撞过程属于弹性碰撞，两物体动量应满足方程m1v1＝ m1v1′＋m2v2′ 碰撞前后动能应满足方程 m1v12＝m1v1′2＋m2v2′2解得v1′＝v1，v2′＝v1。 问题探究： 以碰前质量为m1的物体速度的方向为正方向 (1)若m1 ＝ m2，则有v1′ ＝ 0 ，v2′ ＝ v1 ，即碰撞后两物体速度 互换 。 (2)若m1 > m2，则v1′ > 0, v2′ > 0(均填“>”“＝”或“<”)，表示v1′和v2′都与v1方向 相同 (填“相同”或“相反”)。 (3)若m1 < m2，则v1′ < 0(填“>”“＝”或“<”)，表示v1′与v1方向 相反 (填“相同”或“相反”)。 (4)继续思考： ①若m1≫m2，则v1′＝ v1 ，v2′＝ 2v1 ； ②若m1≪m2，则v1′＝ －v ，v2′＝ 0 。 【归纳总结1】碰撞的分类 分类标准 种类 特点 能量是否守恒 弹性碰撞 非弹性碰撞 完全非弹性碰撞 碰撞前后动量是否共线 对心碰撞（正碰） 非对心碰撞（斜碰） 1．斯诺克是“最具绅士”的一项运动，比赛时运动员利用球杆击打母球（白色球），母球与目标球碰撞使目标球入袋而得分，如图为我国斯诺克运动员丁俊晖击球时的情景。假设某次击球后，母球和目标球碰撞，二者均在同一直线上运动，则下列说法中正确的是（　　） A．母球和目标球碰撞瞬间，由于桌面存在摩擦，系统动量不守恒 B．由于碰撞时间极短，在碰撞瞬间，可以认为两球均没有发生位移 C．从母球被击出，到目标球落袋前这一过程中，系统的机械能守恒 D．碰撞瞬间，母球对目标球的冲量和目标球对母球的冲量相同 【答案】B 【详解】A．两球碰撞瞬间，由于碰撞时间极短，外力远小于内力，外力的冲量很小，可以忽略不计，所以系统动量守恒，故A错误；B．由于碰撞时间极短，在碰撞瞬间可以认为两球的位移为零，故B正确；C．从母球被击出到目标球落袋前，两球均受到桌面摩擦力的作用，系统机械能不守恒，故C错误；D．碰撞瞬间，母球对目标球的冲量和目标球对母球的冲量大小相等，但方向相反，故D错误。故选B。 2．如图所示，光滑的水平面上，小球甲以水平向右的速度与静止的小球乙发生正碰，两小球质量均匀、半径相同，规定水平向右为正方向，下列说法正确的是（　　） A．若甲的质量小于乙的质量，且甲、乙发生弹性碰撞，则碰撞后甲的速度可能为正 B．若甲、乙的质量相等且发生弹性碰撞，则碰撞后甲、乙的速度大小相等 C．若甲、乙发生弹性碰撞，且碰后甲、乙的速度大小相等，则甲、乙的质量之比为1:3 D．若甲、乙发生完全非弹性碰撞产生的热量为Q，且甲、乙的质量之比为2:1，碰前甲的速度为，则乙的质量为 【答案】CD 【详解】ABC．向右为正方向，若发生弹性正碰，根据动量守恒定律和能量关系可得 解得 ， 若甲的质量小于乙的质量，则 ， 若甲、乙的质量相等，则 ， 若碰后甲、乙的速度大小相等，则 所以 故AB错误，C正确； D．若甲、乙发生完全非弹性碰撞，则 联立解得故D正确。故选CD。 3．2022年3月12日，在北京冬残奥会上，中国轮椅冰壶队战胜瑞典队，获得冠军。在某次投掷中，冰壶甲运动一段时间后与静止的冰壶乙发生弹性正碰（碰撞时间极短），碰撞后冰壶乙向前滑行0.1m后停下。已知两冰壶的质量相等，冰壶乙与冰面间的动摩擦因数为0.02，取重力加速度大小，则两冰壶碰撞前瞬间冰壶甲的速度大小为（　　） A．0.1m/s B．0.2m/s C．0.4m/s D．1m/s 【答案】B 【详解】对冰壶乙在冰面上滑行的过程，有，由于两冰壶发生弹性碰撞，且两冰壶的质量相等，因此碰撞后两冰壶交换速度，故，解得B正确。故选B。 4．如图所示，弹性小球A和B叠放在一起，从距地面高度为h处自由落下，落地瞬间，B先与地面碰撞，后与A 碰撞，h远大于两小球直径，小球B 的质量远大于小球A质量。假设所有的碰撞均为竖直方向内弹性碰撞，且碰撞时间均可忽略不计，不考虑空气阻力，则下列判断中正确的是（　　） A．下落过程中A 与B 之间存在相互作用 B．小球B与地面碰撞后，小球B的速度为零 C．A 与B 第一次碰后小球A 弹起的最大高度约为4h D．A 与B 第一次碰后小球A 弹起的最大高度约为9h 【答案】D 【详解】A．不考虑空气阻力，下落过程是自由落体运动，完全失重状态，则两个小球之间没有力的作用，A错误； B．下降过程为自由落体运动，由匀变速直线运动的速度位移公式得 解得触地时两球速度相同，为 B球碰撞地之后，速度瞬间反向，大小相等，故B错误； CD．选A与B碰撞过程为研究过程，碰撞前后动量守恒，设碰后A、B速度大小分别为v1、v2，选向上方向为正方向，由动量守恒定律得 由能量守恒定律得 解得 碰后小球A弹起的最大高度 故D正确，C错误。故选D。 5．如图所示，在光滑水平面上，左右两列相同的小钢球沿同一直线放置。每列有n个。在两列钢球之间，一质量为m的玻璃球以初速度向右运动，与钢球发生正碰。所有球之间的碰撞均视为弹性碰撞。 (1)若钢球质量为m，求最右侧的钢球最终运动的速度大小； (2)若钢球质量为，求玻璃球与右侧钢球发生第一次碰撞后，玻璃球的速度大小； (3)若钢球质量为，求玻璃球经历次碰撞后的动能。 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）根据题意可知，所有碰撞均为弹性碰撞，由于钢球质量也为m，根据动量守恒和机械能守恒可知,碰撞过程中，二者速度互换，则最终碰撞后最右侧钢球的速度大小等于开始碰撞前玻璃球的初速度为。 （2）根据题意可知，所有碰撞均为弹性碰撞，则由动量守恒定律有 由能量守恒定律有 解得， 负号表示速度反向，则玻璃球的速度大小为 （3）根据题意结合小问2分析可知，玻璃球与右侧第一个小球碰撞后反弹，且速度大小变为碰撞前的，右侧第一个小球又与第二个小球发生弹性碰撞，速度互换，静止在光滑水平面上，玻璃球反弹后与左侧第一个小球同样发生弹性碰撞，同理可得，碰撞后玻璃球再次反弹，且速度大小为碰撞前的，综上所述，玻璃球碰撞次后速度大小为 则玻璃球碰撞次后最终动能大小 6.某同学验证两个小球在斜槽末端碰撞时的动量守恒，实验装置如图所示。A、B为两个直径相同的小球。实验时，不放B，让A从固定的斜槽上E点自由滚下，在水平面上得到一个落点位置；将B放置在斜槽末端，让A再次从斜槽上E点自由滚下，与B发生正碰，在水平面上又得到两个落点位置。三个落点位置标记为M、N、P。 （1）为了确认两个小球的直径相同，该同学用10分度的游标卡尺对它们的直径进行了测量，某次测量的结果如下图所示，其读数为 。 （2）下列关于实验的要求哪个是正确的 。 A．斜槽的末端必须是水平的     B．斜槽的轨道必须是光滑的 C．必须测出斜槽末端的高度     D．A、B的质量必须相同 （3）如果该同学实验操作正确且碰撞可视为弹性碰撞，A、B碰后在水平面上的落点位置分别为 、 。（填落点位置的标记字母） 【答案】 10.5 A M P 【详解】（1）[1]观察主尺的单位为，读出主尺的读数是，游标尺上的第五条刻度线与主尺上的刻度线对齐，其读数为，结合主尺及游标尺的读数得到被测直径为 （2）[2]ABC．首先考查在实验的过程中，需要小球A两次沿斜槽滚到末端时的速度都水平且大小相同。实验时应使小球A每次都从同一位置由静止开始释放，并不需要斜槽的轨道光滑的条件，也不需要测出斜槽末端的高度，但是必须保证斜槽末端水平，故A正确，BC错误； D．小球A与B发生正碰时，为使小球A在碰后不反弹，要求小球A的质量大于小球B的质量，故D错误。 故选A。 （3）[3][4]设A、B两球的质量分别为mA和mB，由（2）中分析知mA>mB；碰前A的速度v0；因为两个金属小球的碰撞视为弹性碰撞，则由动量守恒定律得 由机械能守恒定律得 解得， 可见碰后小球A的速度小于小球B的速度，也小于碰前A的速度v0；所以小球A单独滚下落到水平面上的位置为N，A、B碰后在水平面上的落点位置分别为M、P。 知识梳理与关联 方法与能力提升 疑问与拓展 自我评估 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 4. 弹性碰撞与非弹性碰撞 导学案 物理观念 能理解弹性碰撞（动量和动能守恒）与非弹性碰撞（仅动量守恒）的本质区别，掌握两类碰撞的特征及规律，建立对不同碰撞类型的物理认知。 科学思维 能通过推导弹性碰撞中速度变化的公式，对比分析两类碰撞的能量变化差异，运用动量守恒定律解决碰撞问题，提升分类讨论与定量分析能力。 科学探究 能参与 “探究不同碰撞类型的动量与能量变化” 实验，通过改变碰撞体材质观察现象，测量数据并对比分析，增强实验探究与归纳总结能力。 科学态度 与责任 通过了解碰撞规律在工程（如汽车安全设计）、体育（如球类运动）中的应用，认识物理知识对实际生活的指导意义，培养运用科学规律解决实际问题的意识。 重点：区分弹性与非弹性碰撞的特点及守恒量差异。 难点：弹性碰撞中速度关系的推导及实际问题应用。 【知识回顾】 动量守恒定律 1.内容 如果一个系统不受 ，或者所受 的矢量和为零，这个系统的总动量保持不变。 2.表达式 对两个物体组成的系统，常写成： p1＋p2＝ 或m1v1＋m2v2＝ 3.适用条件 系统不受 或者所受 之和为零。 4.动量守恒定律是一个独立的实验规律，它适用于目前为止物理学研究的 领域。 【自主预习】 1.弹性碰撞和非弹性碰撞 （1）弹性碰撞 如果系统在碰撞前后__ __不变，这类碰撞叫作弹性碰撞。 （2）非弹性碰撞 非弹性碰撞：如果系统在碰撞后__ __减少，这类的碰撞叫作非弹性碰撞。 2　弹性碰撞的实例分析 （1）正碰：两个小球相碰，碰撞之前球的运动速度与两球心的连线在_ _上，碰撞之后两球的速度仍会沿着这条直线。这种碰撞也叫作__ __碰撞或_ _碰撞。 （2）弹性正碰的特点：假设物体m1，以速度v1与原来静止的物体m2发生弹性正碰。 ①与碰撞后系统的__ __相同，__ __相同。 ②两球质量相等时，碰撞的特点是 。 (3)m1>m2时，碰撞的特点是m1和m2都__向前__运动，且m1的速度__ __m2的速度。 (4)m1<m2时碰撞的特点是m2__ __运动，m1被__ __。 (5)m1≫m2，m1的速度_ __改变，而m2被撞后以 _的速度向前运动。 (6)m1≪m2，m1以原来的速率向__ __方向运动，而m2仍然_ __。 【思考交流1】 超级碰撞演示：将乒乓球放在篮球上方，同时释放让它们自由下落，观察落地后的反弹情况。 问1：乒乓球反弹的高度是否超过初始释放高度？这是能量凭空产生了吗？ 问2：篮球与地面、乒乓球与篮球之间发生了什么类型的碰撞？为什么会出现这种‘超常’反弹？ 【问题体验1】 1.情景：两个台球在光滑桌面上发生碰撞后分开，各自继续运动。将两个台球粘上橡皮泥后在光滑桌面上发生碰撞后紧紧贴在一起滑行。 问1：“同样是碰撞，为什么结果如此不同？一个‘弹开’，一个‘黏住’？这背后隐藏着怎样的物理规律？” 问2：“我们已经学过动量守恒，那么在这两种情况下，动量是否都守恒？动能呢？有没有可能动量守恒但动能不守恒？” 2.利用不同的实验装置先后进行小车碰撞实验：第一组实验在两辆小车间安装撞针和橡皮泥，碰撞后两辆小车粘在一起运动；第二组实验拿掉撞针和橡皮泥，两辆小车正常碰撞；第三组实验在小车间安装了弹性碰撞架。下表为通过三组实验数据得到的两辆小车碰撞前后的总动能和总动量，请观察以下数据，寻找规律： Ek1/J Ek2/J p1/ kg·m·s－1 p2/ kg·m·s－1 1 0.102 0.049 0.326 0.319 2 0.127 0.086 0.363 0.358 3 0.113 0.106 0.342 0.337 (1)碰撞前后的动量：不同方案中的碰撞实验，在误差允许的范围内，系统的总动量在碰撞前后 (填“守恒”或“不守恒”)。 (2)碰撞前后的动能：第一组碰撞实验中，碰撞之后的动能 碰撞前的动能；第二组碰撞实验中，碰撞之后的动能 碰撞前的动能；第三组碰撞实验中，在误差允许的范围内，碰撞之后的动能 碰撞前的动能。(均选填“大于”“小于”或“等于”) 3.弹性碰撞和非弹性碰撞 (1)弹性碰撞：如果系统在碰撞前后动能 ，这类碰撞叫作弹性碰撞。 (2)非弹性碰撞：如果系统在碰撞后动能 ，这类碰撞叫作非弹性碰撞。 【问题体验2】 1.正碰 两个小球相碰，碰撞之前球的运动速度与两球心的连线在 ，碰撞之后两球的速度仍会沿着 ，这种碰撞称为正碰，也叫作 或 。 2.若质量为m1的物体以速度v1与原来静止的质量为m2的物体发生正碰，碰撞过程属于弹性碰撞，两物体动量应满足方程m1v1＝ 碰撞前后动能应满足方程 m1v12＝m1v1′2＋m2v2′2 解得v1′＝v1，v2′＝v1。 问题探究： 以碰前质量为m1的物体速度的方向为正方向 (1)若m1 ＝ m2，则有v1′ ＝ ，v2′ ＝ ，即碰撞后两物体速度 。 (2)若m1 > m2，则v1′ 0, v2′ 0(均填“>”“＝”或“<”)，表示v1′和v2′都与v1方向 (填“相同”或“相反”)。 (3)若m1 < m2，则v1′ 0(填“>”“＝”或“<”)，表示v1′与v1方向 (填“相同”或“相反”)。 (4)继续思考： ①若m1≫m2，则v1′＝ ，v2′＝ ； ②若m1≪m2，则v1′＝ ，v2′＝ 。 【归纳总结1】碰撞的分类 分类标准 种类 特点 能量是否守恒 弹性碰撞 非弹性碰撞 完全非弹性碰撞 碰撞前后动量是否共线 对心碰撞（正碰） 非对心碰撞（斜碰） 1．斯诺克是“最具绅士”的一项运动，比赛时运动员利用球杆击打母球（白色球），母球与目标球碰撞使目标球入袋而得分，如图为我国斯诺克运动员丁俊晖击球时的情景。假设某次击球后，母球和目标球碰撞，二者均在同一直线上运动，则下列说法中正确的是（　　） A．母球和目标球碰撞瞬间，由于桌面存在摩擦，系统动量不守恒 B．由于碰撞时间极短，在碰撞瞬间，可以认为两球均没有发生位移 C．从母球被击出，到目标球落袋前这一过程中，系统的机械能守恒 D．碰撞瞬间，母球对目标球的冲量和目标球对母球的冲量相同 2．如图所示，光滑的水平面上，小球甲以水平向右的速度与静止的小球乙发生正碰，两小球质量均匀、半径相同，规定水平向右为正方向，下列说法正确的是（　　） A．若甲的质量小于乙的质量，且甲、乙发生弹性碰撞，则碰撞后甲的速度可能为正 B．若甲、乙的质量相等且发生弹性碰撞，则碰撞后甲、乙的速度大小相等 C．若甲、乙发生弹性碰撞，且碰后甲、乙的速度大小相等，则甲、乙的质量之比为1:3 D．若甲、乙发生完全非弹性碰撞产生的热量为Q，且甲、乙的质量之比为2:1，碰前甲的速度为，则乙的质量为 3．2022年3月12日，在北京冬残奥会上，中国轮椅冰壶队战胜瑞典队，获得冠军。在某次投掷中，冰壶甲运动一段时间后与静止的冰壶乙发生弹性正碰（碰撞时间极短），碰撞后冰壶乙向前滑行0.1m后停下。已知两冰壶的质量相等，冰壶乙与冰面间的动摩擦因数为0.02，取重力加速度大小，则两冰壶碰撞前瞬间冰壶甲的速度大小为（　　） A．0.1m/s B．0.2m/s C．0.4m/s D．1m/s 4．如图所示，弹性小球A和B叠放在一起，从距地面高度为h处自由落下，落地瞬间，B先与地面碰撞，后与A 碰撞，h远大于两小球直径，小球B 的质量远大于小球A质量。假设所有的碰撞均为竖直方向内弹性碰撞，且碰撞时间均可忽略不计，不考虑空气阻力，则下列判断中正确的是（　　） A．下落过程中A 与B 之间存在相互作用 B．小球B与地面碰撞后，小球B的速度为零 C．A 与B 第一次碰后小球A 弹起的最大高度约为4h D．A 与B 第一次碰后小球A 弹起的最大高度约为9h 5．如图所示，在光滑水平面上，左右两列相同的小钢球沿同一直线放置。每列有n个。在两列钢球之间，一质量为m的玻璃球以初速度向右运动，与钢球发生正碰。所有球之间的碰撞均视为弹性碰撞。 (1)若钢球质量为m，求最右侧的钢球最终运动的速度大小； (2)若钢球质量为，求玻璃球与右侧钢球发生第一次碰撞后，玻璃球的速度大小； (3)若钢球质量为，求玻璃球经历次碰撞后的动能。 6.某同学验证两个小球在斜槽末端碰撞时的动量守恒，实验装置如图所示。A、B为两个直径相同的小球。实验时，不放B，让A从固定的斜槽上E点自由滚下，在水平面上得到一个落点位置；将B放置在斜槽末端，让A再次从斜槽上E点自由滚下，与B发生正碰，在水平面上又得到两个落点位置。三个落点位置标记为M、N、P。 （1）为了确认两个小球的直径相同，该同学用10分度的游标卡尺对它们的直径进行了测量，某次测量的结果如下图所示，其读数为 。 （2）下列关于实验的要求哪个是正确的 。 A．斜槽的末端必须是水平的     B．斜槽的轨道必须是光滑的 C．必须测出斜槽末端的高度     D．A、B的质量必须相同 （3）如果该同学实验操作正确且碰撞可视为弹性碰撞，A、B碰后在水平面上的落点位置分别为 、 。（填落点位置的标记字母） 知识梳理与关联 方法与能力提升 疑问与拓展 自我评估 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $