综合模拟卷9 浙江省2026年单考单招《数学考纲百套卷》第109卷（原卷版+解析版）

编写说明：浙江省2026年单考单招《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及浙江历年单考单招真题进行编写。本套试卷共110份：第一部分是按照课程标准编写的71份知识点训练卷；第二部分是集合与充要条件、函数、三角函数等10个章节的29份专题训练卷；第三部分是参考近年考试真题编写的10份综合模拟卷。 本卷是浙江省2026年单考单招《数学考纲百套卷》的第109卷，是综合模拟卷。 浙江省2026年单考单招《数学考纲百套卷》 第109卷 综合模拟9 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本题共17小题，每小题3分，共51分） 1．下列四个式子中，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知直线l与直线平行，则直线l的斜率为（   ） A． B． C． D． 4．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 5．抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么抛第999次时出现正面朝上的概率为（    ） A． B． C． D． 6．已知，则等于（    ） A． B． C． D． 7．在数列中，已知，则（   ） A．22 B．29 C．30 D．36 8．设且，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 9．在的二项展开式中，若所有项的系数和为81，则第3项的系数是（   ） A． B．4 C．32 D．6 10．5名同学报名参加三项不同的社团活动，每人限报一项，则不同的报名方法种数为（    ） A． B． C． D． 11．不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 12．已知函数在上单调递增且为偶函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 13．点到直线的距离等于是（　 　） A．1 B．2 C．3 D．4 14．过点，且与圆相切的直线方程为（   ） A． B．或 C． D．或 15．已知角的顶点为坐标原点，其始边与非负半轴重合，若角终边上一点，则（    ） A． B． C． D． 16．抛物线的准线方程为（ ） A． B． C． D． 17．小明用一根的铁丝围成一个矩形，则矩形的最大面积是（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，18—20小题每小题4分，21—23小题每小题5分，共27分） 18．已知，，，则的大小关系为 （用“”连接）． 19．已知函数，若，则实数的取值范围是 . 20．将数列与的公共项从小到大排列得到一个新数列，则的前10项和为 . 21．将函数的图像向左平移个单位，再将图像上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标变），则所得图像对应的函数解析式为 ． 22．已知双曲线的一条渐近线的斜率为，一个焦点为，则双曲线的焦点到渐近线的距离为 ． 23．学生到工厂劳动实践，利用打印技术制作模型．如图，该模型为长方体挖去四棱锥后所得的几何体．其中O为长方体的中心，分别为所在棱的中点，．打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为 g． 三、解答题（本大题共7小题，共72分）（解答应写出文字说明及演算步骤） 24．（本题9分）已知为锐角，且. (1)求； (2)求. 25．（本题9分）已知直线与圆．求： (1)圆心坐标与半径； (2)判断直线与圆的位置关系，若相交，则求出相交的弦长． 26．（本题10分）已知三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)若，，求边a和c的长； (2)若，，求的面积以及周长． 27．（本题10分）如图所示，在三棱锥中，平面，，求： (1)到的距离； (2)二面角的大小． 28．（本题10分）随着电影《哪吒2》的热播，与哪吒相关的挂件也成了热销产品．某商店的一批哪吒挂件进价为30元／件，试销售期间挂件的日销量与定价之间有如下数据： 定价（元／件） 75 60 45 日销量（件） 25 40 55 假设日销量（件）与定价（元／件）符合一次函数关系式（规定：定价要高于进价）． (1)求与之间的函数关系式及定义域； (2)若表示日销挂件的利润，写出与之间的函数关系式； (3)如何定价才能使每日利润最大？最大利润为多少？ 29．（本题12分）等比数列中，分别是下表第一，二，三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列． 第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行 9 8 18 (1)找到并写出； (2)求该数列的通项公式及前n项和； (3)计算：． 30．（本题12分）已知双曲线C经过点，它的两条渐近线为，设双曲线C的左右焦点分别为，过作直线交双曲线的左支于两点． (1)求双曲线C的标准方程； (2)若直线与x轴垂直，求的周长； (3)若周长为，求的面积． 试卷第1页，共3页 第 18 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：浙江省2026年单考单招《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及浙江历年单考单招真题进行编写。本套试卷共110份：第一部分是按照课程标准编写的71份知识点训练卷；第二部分是集合与充要条件、函数、三角函数等10个章节的29份专题训练卷；第三部分是参考近年考试真题编写的10份综合模拟卷。 本卷是浙江省2026年单考单招《数学考纲百套卷》的第109卷，是综合模拟卷。 浙江省2026年单考单招《数学考纲百套卷》 第109卷 综合模拟9 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本题共17小题，每小题3分，共51分） 1．下列四个式子中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据元素与集合、集合与集合之间的关系以及空集的定义依次分析即可求解. 【详解】对于A选项，是空集，是元素，集合与元素之间不能用等号，应为，故A选项错误； 对于B选项，是空集，为集合，集合与集合之间不能用符号，应为，故B选项错误； 对于C选项，元素0属于集合，故C选项正确； 对于D选项，是空集，是元素，空集中不包含任何元素，应为，故D选项错误. 故选：C. 2．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件与必要条件的概念进行分析即可. 【详解】若，则或， 所以不能推出，故充分性不成立， 若，则， 所以能推出，故必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 3．已知直线l与直线平行，则直线l的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，将直线的一般式方程，化为斜截式方程，求出直线的斜率，根据两直线平行斜率相等，即可求解. 【详解】因为直线化为斜截式方程为， 所以直线的斜率为， 又直线l与直线平行， 所以直线l的斜率为. 故选：D. 4．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式函数以及根式函数的定义域求解即可. 【详解】函数的定义域满足且，解得. 故选：D. 5．抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么抛第999次时出现正面朝上的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据概率的定义进行判断即可. 【详解】抛掷一枚质地均匀的硬币，要么正面向上，要么反面向上，因此第999次出现正面朝上的概率是. 故选：D. 6．已知，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用角的范围确定的符号，再利用三角函数的平方关系即可得解. 【详解】因为，所以， 又，所以. 故选：B. 7．在数列中，已知，则（   ） A．22 B．29 C．30 D．36 【答案】B 【分析】根据题意，利用裂项累加相消法，即可求得通项公式，代入即可求解. 【详解】因为，, 所以， 把上述所有式子左右各自相加得， 即， 所以， 所以． 故选：B． 8．设且，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数幂的运算以及对数的运算性质，逐一分析选项即可. 【详解】对于选项A：，故A选项错误； 对于选项B ：，故B选项正确； 对于选项C：，故C选项错误； 对于选项D：，故D选项错误． 故选：B． 9．在的二项展开式中，若所有项的系数和为81，则第3项的系数是（   ） A． B．4 C．32 D．6 【答案】A 【分析】分别使代入中表示出所有项的系数和，列方程求出的取值，再由二项式通项公式求值即可. 【详解】已知， 当时，， 由所有项的系数和为81，得， 解得，即二项式， 第3项为，其系数为， 故选：A. 10．5名同学报名参加三项不同的社团活动，每人限报一项，则不同的报名方法种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分步乘法计数原理可知结果. 【详解】由题可知，由每名同学由3种选择，5 名同学均各有 3 种选择， 所以不同的报名方法种数为. 故选：D 11．不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】利用含绝对值的不等式的解法求解． 【详解】由不等式，得，解得， 故不等式的解集是． 故选：C． 12．已知函数在上单调递增且为偶函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用偶函数的性质，结合的单调性得到关于的不等式，解之即可得解. 【详解】因为函数在上单调递增且为偶函数， 所以由，得， 则，得，解得, 所以不等式的解集为. 故选：A. 13．点到直线的距离等于是（　 　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由点到直线的距离公式求解即可. 【详解】点到直线的距离为. 故选：B. 14．过点，且与圆相切的直线方程为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】首先由圆的方程确定圆心和半径，再确定点到圆心的距离确定点和圆的位置关系，再由切线与直线垂直确定斜率，并由点斜式求直线方程即可. 【详解】已知圆，即， 所以圆心为，半径， 又点，则，所以点在圆上， 则，其中，所以， 所以，所以与圆相切的直线方程为，即， 故选：A. 15．已知角的顶点为坐标原点，其始边与非负半轴重合，若角终边上一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用任意角三角函数的定义，结合终边上点的坐标求解. 【详解】因为角的顶点为坐标原点，其始边与非负半轴重合， 若角终边上一点，则， 所以， 故选：. 16．抛物线的准线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线方程求出准线方程即可得解. 【详解】抛物线的标准方程为， 则其焦点在轴负半轴上，准线在轴正半轴上，且， 则其准线方程为， 故选：D. 17．小明用一根的铁丝围成一个矩形，则矩形的最大面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二次函数求解析式，然后求最值即可. 【详解】由题可知该矩形周长为， 可设长为，宽为， 则矩形面积， 因为此二次函数开口向下，当时，矩形面积最大为； 故选：B. 二、填空题（本大题共6小题，18—20小题每小题4分，21—23小题每小题5分，共27分） 18．已知，，，则的大小关系为 （用“”连接）． 【答案】 【分析】根据题意，结合指数函数和对数函数的单调性，即可比较大小. 【详解】因为，所以； 因为，所以； 因为，所以； 所以． 故答案为：. 19．已知函数，若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】分类讨论和的情况，结合指数函数与对数函数的单调性即可得解. 【详解】函数，， 当时，， 因为函数，，所以函数在上为增函数，则，解得，符合题意； 当时，， 因为函数，，所以函数在上为增函数，解得，符合题意； 综上所述，实数的取值范围是， 故答案为：. 20．将数列与的公共项从小到大排列得到一个新数列，则的前10项和为 . 【答案】280 【分析】根据题意写出数列与的项，从而得出数列为首项为，公差为的等差数列，代入等差数列的求和公式即可得解. 【详解】数列的项为 数列的项为 所以数列的项为为首项为，公差为的等差数列， 所以数列的前10项和为， 故答案为：. 21．将函数的图像向左平移个单位，再将图像上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标变），则所得图像对应的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】根据题意，结合正弦型函数的图像变换规律，即可求解. 【详解】由题意，将函数的图像向左平移个单位后，得到函数 的图像， 再将图像上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图像． 故答案为：. 22．已知双曲线的一条渐近线的斜率为，一个焦点为，则双曲线的焦点到渐近线的距离为 ． 【答案】 【分析】根据题意得出渐近线的方程，利用点到直线的距离公式即可得解. 【详解】双曲线的一条渐近线的斜率为，可得此渐近线的方程为，即， 又双曲线的一个焦点为， 所以焦点到渐近线的距离为， 故答案为：. 23．学生到工厂劳动实践，利用打印技术制作模型．如图，该模型为长方体挖去四棱锥后所得的几何体．其中O为长方体的中心，分别为所在棱的中点，．打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为 g． 【答案】 【分析】根据棱锥和棱柱的体积公式求出该模型的体积即可解答. 【详解】因为分别为所在棱的中点， 所以四棱锥的底面积为， 因为O为长方体的中心，其高为点O到底面的距离， 则，则此四棱锥的体积为． 又长方体的体积为， 所以该模型的体积， 因此模型所需原材料的质量为． 故答案为：. 三、解答题（本大题共7小题，共72分）（解答应写出文字说明及演算步骤） 24．（本题9分）已知为锐角，且. (1)求； (2)求. 【答案】(1)，. (2). 【分析】（）根据同角三角函数基本关系式即可得解. （）根据二倍角公式求出，结合两角和的正切公式即可得解. 【详解】（1）因为为锐角，且， 则，. （2）因为， 则， 则. 25．（本题9分）已知直线与圆．求： (1)圆心坐标与半径； (2)判断直线与圆的位置关系，若相交，则求出相交的弦长． 【答案】(1)， (2)相交， 【分析】（1）利用圆的一般方程求圆心半径即可； （2）利用圆心到直线的距离判断位置关系，然后利用弦长公式求弦长即可. 【详解】（1）因为圆的一般方程为， 则圆心为，半径为； （2）由（1）知圆心为，半径， 又直线方程为， 则圆心到直线距离为， 又，即， 所以直线与圆相交， 则弦长为， 所以相交的弦长为. 26．（本题10分）已知三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)若，，求边a和c的长； (2)若，，求的面积以及周长． 【答案】(1)，. (2)三角形ABC的面积为，周长为. 【分析】（1）利用余弦定理解三角形求和的值； （2）先利用正弦定理和已知条件综合起来，解得的值，再根据三角形的面积公式解得的面积，然后利用余弦定理解得的值，再结合解得的值，从而求得的周长. 【详解】（1）在中，，，. 根据余弦定理可得，. 化简得，解得或（舍去）. 又因为，所以. 故边的长为，边的长为. （2）在中，,， 根据正弦定理可得，. 所以. 又因为，所以，即. 根据三角形的面积公式可得. 由余弦定理可得，. 化简得， 又因为,则，解得. 所以的周长为.综上所述，的面积为，周长为. 27．（本题10分）如图所示，在三棱锥中，平面，，求： (1)到的距离； (2)二面角的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，过点作，垂足为，连接，则是到的距离， 结合线面垂直的判定定理和性质定理，可得，结合解直角三角形，即可求解； （2）根据题意，由（1）知，结合二面角的概念可得是二面角的平面角，结合解直角三角形，即可求解. 【详解】（1） 如图，过点作，垂足为，连接， 是到的距离， 平面，平面， ， 又平面，平面， 平面，又平面， ， 在中，，， ， ， 到的距离为. （2）由（1）知， 是二面角的平面角， 在中，， ， 又二面角的范围是， ， 即二面角的大小为． 28．（本题10分）随着电影《哪吒2》的热播，与哪吒相关的挂件也成了热销产品．某商店的一批哪吒挂件进价为30元／件，试销售期间挂件的日销量与定价之间有如下数据： 定价（元／件） 75 60 45 日销量（件） 25 40 55 假设日销量（件）与定价（元／件）符合一次函数关系式（规定：定价要高于进价）． (1)求与之间的函数关系式及定义域； (2)若表示日销挂件的利润，写出与之间的函数关系式； (3)如何定价才能使每日利润最大？最大利润为多少？ 【答案】(1)；. (2) (3)65；1225 【分析】（1）设与之间的函数关系式为，将表中数据代入式中即可求解. （2）根据利润等于（售价进价）销量列式即可求解. （3）根据一元二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）设日销量（件）与定价（元／件）之间的函数关系式为， 由表可知当时，；当时，，即， 解得，所以与之间的函数关系式为， 由于商品进价为30元每件，所以，解得， 所以函数的定义域为. （2）因为哪吒挂件进价为30元每件，定价为， 所以与之间的函数关系式为：. （3）由（2）可知， 所以当时，， 即定价为65元时，才能使每日利润最大，最大利润为1225元. 29．（本题12分）等比数列中，分别是下表第一，二，三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列． 第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行 9 8 18 (1)找到并写出； (2)求该数列的通项公式及前n项和； (3)计算：． 【答案】(1)，， (2)， (3) 【分析】（1）根据等比数列的定义可求解； （2）由（1）知，等比数列的首项为，公比为，利用等比数列的通项公式及求和公式可求解； （3）利用通项公式，将原式转化为，再根据等比数列的求和公式可求解. 【详解】（1）①当时，当且仅当时，这三个数成等比数列，则公比； ②当或时，没有符题意的三个数. 所以，，为所求； （2）由（1）知，等比数列的首项为，公比为， 所以，； （3）原式. 30．（本题12分）已知双曲线C经过点，它的两条渐近线为，设双曲线C的左右焦点分别为，过作直线交双曲线的左支于两点． (1)求双曲线C的标准方程； (2)若直线与x轴垂直，求的周长； (3)若周长为，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据渐近线方程，设双曲线方程为，将点代入求解即可. （2）根据双曲线的定义得出的周长为，再将代入双曲线方程求出的坐标，求出的值即可. （3）由周长为，确定的长，再设直线的方程为并与双曲线方程联立，根据弦长公式列方程求出斜率，再由点到直线的距离公式求出三角形的高，最后由三角形的面积公式求值即可. 【详解】（1）已知两条渐近线为，即， 等式两边同时平方得，即， 则设双曲线方程为，将点代入得， ，解得， 故所求双曲线方程为， （2）由（1）可知，双曲线方程为， 则，得， 根据双曲线的定义知，， 所以的周长为 ， 因为垂直x轴，且， 将代入，中， 得，解得， 所以， 故，的周长为. （3）由的周长为知，直线与x轴不垂直， ，设直线为， 则，即， 整理得， ， 设，则，， ， 即， 整理得，解得或， 当，此时两点在轴上，与双曲线左支相交情况不符合题意，显然不成立， 故，所以直线的方程为或， 焦点到直线的距离或， 所以． 试卷第1页，共3页 第 18 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $