专题02 有理数的混合运算7大题型（期中专项训练）七年级数学上学期新教材北师大版

专题02有理数的混合运算 题型1 有理数加减的混合运算 题型5 程序流程图与有理数的计算 题型2 有理数乘除的混合运算 题型6 算“24”点 题型3 含乘方的有理数的混合运算 题型7 混合运算中的新定义问题 题型4 有理数混合运算错题复原问题 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 有理数加减的混合运算 1． 用拆项法计算：． 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 4．要使式子“”能用运算律进行简便运算，“□”里填上的数是 ．（写出一个合适的即可） 5．计算：． 解：原式＝ （化成省略括号和加号的和的形式） ＝ （运用加法交换律和结合律） ＝ （同号相加） ＝ ．（最终结果） 6．（1）小马虎在计算时，误将“＋”看成了“”结果得47，求的值． （2）阅读并解决问题． 计算： 解：原式……第一步 ……第二步 ……第三步 ①计算过程中，第一步把原式化成 的形式，体现了数学的 思想．为了计算简便，第二步应用的加法运算律 ．    ②根据以上的解题技巧计算下列式子． 7．李老师在黑板板书了两道例题的解题过程： 运用“被减数、减数同时增加或减小相同的数，它们的差不变”的性质，可以使一些运算过程变得简便． 例1  ； 例2  ． 请你参考黑板中老师的讲解，用上述运算性质简便计算： (1) (2) 题型2 有理数乘除的混合运算 8．下列等式成立的是（         ） A． B． C． D． 9．下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 10．小慧用计算器计算，她误操作输入了．若想得到正确结果，则小慧接下来应输入（    ） A． B． C． D． 11．计算，能简算的要用简便方法计算． (1) (2) (3) (4) 12．脱式计算（能简算的要简算） (1) (2) (3) (4) 13．计算 14．阅读下面的解题过程．请认真阅读并解答相关问题． 计算：． 解：原式……………………………………第一步 ……………………………………第二步 ……………………………………第三步 ……………………………………第四步 (1)上面解题过程中，第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ． (2)写出正确的解答过程． 题型3 含乘方的有理数的混合运算 15．计算： ． 16．的值是 ． 17．计算： (1)； (2)． 18．计算： (1)； (2)． 19．计算： (1)； (2)． 20．使用科学计算器进行计算，其按键顺序为： 则输出结果为 ． 题型4 有理数混合运算错题复原问题 21．某同学在计算时，误将“”看成“”结果是，则的正确结果是（   ） A． B． C． D． 22．小林在计算“”时，误将“÷”看成“＋”，结果得50，则的值为（    ） A．10 B．16 C． D． 23．小明在计算除法时，把被除数472错看成427，结果商比原来小5，但余数恰好相同，则该题的余数是 ． 24．嘉嘉和淇淇计算算式“”． (1)嘉嘉将数字“13”抄错了，所得的结果为，求嘉嘉抄错的数字； (2)淇淇不小心把运算符号“＋”错看成“－”，求淇淇的计算结果比原题的正确结果小多少？ 25．在计算[]▲时，误将“”看成“”，从而算得的结果是． (1)请你求出▲的值； (2)请你求出正确的结果． 26．佳佳和琪琪计算算式“”． (1)佳佳将数字“”抄成了“”，求佳佳计算的结果． (2)琪琪不小心把运算符号“”错看成“”，则琪琪的计算结果比原题的正确结果小多少？ 题型5 程序流程图与有理数的计算 27．如图，这是一个“数值转换机”，若输入数字1，则输出结果为（   ） A． B．3 C． D．11 28．取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．例如：取自然数5．经过下面5步运算可得到1．如果自然数n恰好经过7步运算可得到1，则符合条件的n的值是（   ） A．3，15，21，128 B．3，15，20，128 C．3，20，21，128 D．3，20，31，128 29．按如图的程序计算，如果输入，则输出的结果为 ． 30．如图所示是计算机的某计算程序，若开始输入，则最后输出的结果是 ． 31．任意写下一个三位数，若它是3的倍数，则把它除以3的商作为下一个数；否则，把它各位上的数相加的和再平方后作为下一个数．重复这个过程，直到出现重复的数（与输入过的数字相同），根据要求，我们制作了如图所示的流程图，则最后输出的结果可能是 ；若一个三位数经过3次运算，便输出结果，则我们称这个三位数为幸运数，则最大的幸运数为 ． 32．如图所示的是一个简单的数值运算程序，当输入的数值为时，其输出的结果为 ． 33．定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取，第三次“F运算”的结果是11．则若，则第449次“F运算”的结果是 ． 题型6 算“24”点 34．你会玩“24点”游戏吗？ 现有“，， 6， 10”四个数字，每个数用且只用一次，只可进行加、减、乘、除，使其结果为24，写出你的算式（只写一个即可）： ． 35．下面4张扑克牌上的点数，经过怎样的计算能得到24（每张牌都要用且只能用一次），可以列出综合算式是 ． 36．现有张写着不同数的卡片（如图），从中抽取张卡片，用学过的运算方法，使结果为．运算式子为 ． 37．请你在2，，4，，6中任选四个数，利用有理数的混合运算，使得这四个数的运算结果为24，请列出2种表达式 38．“24点”游戏是一种使用扑克牌来进行的益智类游戏，游戏内容是：从一副扑克牌中抽去大小王剩下52张，任意抽取4张牌，把牌面上的数运用你所学过的运算得出24．每张牌都必须使用一次，但不能重复使用． (1)在玩“24点”游戏时，小明抽到以下4张牌（Q表示12）： 请你帮他写出运算结果为24的算式：（写出2个） __________________________；__________________________； (2)善于思考的小明发现这4张牌还能计算得出1至10（包括1和10）中的整数，则以下结论正确的是（     ） ①能计算出1至10（包括1和10）中的所有整数             ②只能计算出1，2，3，4，6 ③除5外的其它整数都能计算出                            ④除7和9外的其它整数都能计算出 ⑤以上选项均不正确 题型7 混合运算中的新定义问题 39．在有理数的原有运算法则中我们补充定义新运算“⊕”如下：当时，；当时，．则当时，的值为（　　） A． B． C． D． 40．用“”，“←”定义新运算：对于任意有理数a，b，都有和，例如：，，则 ． 41．已知[x]表示不超过x的最大整数．如：．现定义：，如，则 ． 42．对于实数a，b定义新运算：，如，则的值为 ． 43．类比有理数的乘方，我们定义“除方”运算，比如：2÷2÷2可记作，记作，一般地把n个a相除记做，读作“a的圈n次方”． (1)直接写出计算结果：= ；= ． (2)我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么除方运算如何转化为乘方运算呢？方法如下： 除方乘方的形式 仿照以上例子，把除方运算写成乘方形式：=． (3)算一算： $专题02有理数的混合运算 题型1 有理数加减的混合运算 题型5 程序流程图与有理数的计算 题型2 有理数乘除的混合运算 题型6 算“24”点 题型3 含乘方的有理数的混合运算 题型7 混合运算中的新定义问题 题型4 有理数混合运算错题复原问题 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 有理数加减的混合运算 1．用拆项法计算：． 【答案】 【详解】解：原式 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： （5）解： ． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)2 (3) (4) 【详解】（1）原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 4．要使式子“”能用运算律进行简便运算，“□”里填上的数是 ．（写出一个合适的即可） 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：当“”里的数为分母含有13或8时，可用交换律和结合律， 即； 故答案为：（答案不唯一）． 5．计算：． 解：原式＝ （化成省略括号和加号的和的形式） ＝ （运用加法交换律和结合律） ＝ （同号相加） ＝ ．（最终结果） 【答案】 【详解】解：原式 ， 故答案为：，，，． 6．（1）小马虎在计算时，误将“＋”看成了“”结果得47，求的值． （2）阅读并解决问题． 计算： 解：原式……第一步 ……第二步 ……第三步 ①计算过程中，第一步把原式化成 的形式，体现了数学的 思想．为了计算简便，第二步应用的加法运算律 ．    ②根据以上的解题技巧计算下列式子． 【答案】（1）；（2）①省略加号和括号，转化，交换律和结合律；② 【详解】解：（1）∵， ∴， ； （2）①计算过程中，第一步把原式化成省略加号和括号的形式，体现了数学的转化思想，为了计算简便，第二步应用了加法的交换律和结合律． 故答案为：省略加号和括号，转化，交换律和结合律； ② ． 7．李老师在黑板板书了两道例题的解题过程： 运用“被减数、减数同时增加或减小相同的数，它们的差不变”的性质，可以使一些运算过程变得简便． 例1  ； 例2  ． 请你参考黑板中老师的讲解，用上述运算性质简便计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型2 有理数乘除的混合运算 8．下列等式成立的是（         ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：，故A选项成立，B、D选项不符合题意； ，故C选项不符合题意； 故选：A． 9．下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， 故选：B． 10．小慧用计算器计算，她误操作输入了．若想得到正确结果，则小慧接下来应输入（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， 故选：B． 11．计算，能简算的要用简便方法计算． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)7 (2)39 (3) (4)8 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 12．脱式计算（能简算的要简算） (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)； (2)； (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 13．计算 【答案】． 【详解】解： ． 14．阅读下面的解题过程．请认真阅读并解答相关问题． 计算：． 解：原式……………………………………第一步 ……………………………………第二步 ……………………………………第三步 ……………………………………第四步 (1)上面解题过程中，第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ． (2)写出正确的解答过程． 【答案】(1)一；除法没有分配律 (2)见解析 【详解】（1）解：第一步开始出现错误，这一步错误的原因是除法没有分配律 故答案为：一；除法没有分配律． （2）解：原式 ． 题型3 含乘方的有理数的混合运算15．计算： ． 【答案】 【详解】解：            故答案为：． 16．的值是 ． 【答案】 【详解】解： 故答案为：． 17．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2) 【详解】（1） （2） 19．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ， （2） ． 20．使用科学计算器进行计算，其按键顺序为： 则输出结果为 ． 【答案】 【详解】解：由题意得：； 故答案为． 题型4 有理数混合运算错题复原问题 21．某同学在计算时，误将“”看成“”结果是，则的正确结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， 故选：． 22．小林在计算“”时，误将“÷”看成“＋”，结果得50，则的值为（    ） A．10 B．16 C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意得：， 故选：B． 23．小明在计算除法时，把被除数472错看成427，结果商比原来小5，但余数恰好相同，则该题的余数是 ． 【答案】4 【详解】因为把被除数472错看成427，结果商比原来小5，但余数恰好相同， 所以是商的5倍， 所以原来的商为， 所以原来的余数为， 故答案为：4． 24．嘉嘉和淇淇计算算式“”． (1)嘉嘉将数字“13”抄错了，所得的结果为，求嘉嘉抄错的数字； (2)淇淇不小心把运算符号“＋”错看成“－”，求淇淇的计算结果比原题的正确结果小多少？ 【答案】(1)18 (2)16 【详解】（1）解：， 嘉嘉抄错的数字是18． （2）解：； ； ； 淇淇的计算结果比原题的正确结果小16． 【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，解题关键是准确理解题意，熟练进行计算． 25．在计算[]▲时，误将“”看成“”，从而算得的结果是． (1)请你求出▲的值； (2)请你求出正确的结果． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：根据已知得； ▲ []() ()(） ()() ； （2）解：正确结果为： [] () () ． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，解决问题的关键是熟练掌握运算顺序和各种运算法则．运算顺序是先算乘方，再算乘除，最后计算加减，有括号先算括号里面的；其中除法的法则是，除以一个数，等于乘以这个数的倒数． 26．佳佳和琪琪计算算式“”． (1)佳佳将数字“”抄成了“”，求佳佳计算的结果． (2)琪琪不小心把运算符号“”错看成“”，则琪琪的计算结果比原题的正确结果小多少？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：根据题意，得： ； （2）解：正确的结果为： ； 抄错运算符号所得的结果为： ； ， 答：琪琪的计算结果比原题的正确结果小． 题型5 程序流程图与有理数的计算 27．如图，这是一个“数值转换机”，若输入数字1，则输出结果为（   ） A． B．3 C． D．11 【答案】B 【详解】解：，此时结果为负数， ，此时结果为正数，输出结果为3． 故选：B． 28．取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．例如：取自然数5．经过下面5步运算可得到1．如果自然数n恰好经过7步运算可得到1，则符合条件的n的值是（   ） A．3，15，21，128 B．3，15，20，128 C．3，20，21，128 D．3，20，31，128 【答案】C 【详解】解：第7步运算前的数：；（不符合题意）． 第6步运算前的数：；（不符合题意）． 第5步运算前的数：；（不符合题意）． 第4步运算前的数：；（不符合题意）． 第3步运算前的数：；． 第2步运算前的数：；（不符合题意）；；（不符合题意）． 第1步运算前的数：；；；． 故选：C． 29．按如图的程序计算，如果输入，则输出的结果为 ． 【答案】5 【详解】解：输入，， ∵，重复， 输入2，， ∵， ∴输出5． 故答案为：5． 30．如图所示是计算机的某计算程序，若开始输入，则最后输出的结果是 ． 【答案】 【详解】解：由题意得：， 则， 则， ∴输出的结果是， 故答案为：． 31．任意写下一个三位数，若它是3的倍数，则把它除以3的商作为下一个数；否则，把它各位上的数相加的和再平方后作为下一个数．重复这个过程，直到出现重复的数（与输入过的数字相同），根据要求，我们制作了如图所示的流程图，则最后输出的结果可能是 ；若一个三位数经过3次运算，便输出结果，则我们称这个三位数为幸运数，则最大的幸运数为 ． 【答案】 答案不唯一 961 【详解】解：第一空： 选取三位数100进行运算， ……1，不是3的倍数， 按照规则，计算其各位数之和：，再对和进行平方：， 后续若继续以1为下一个数运算，1不是3的倍数，各位数之和为1，平方后还是1，出现重复数， 最后输出的结果可能是答案不唯一，还可能是169等 第二空：从最大的三位数999开始依次验证 999：①999是3的倍数，根据规则，下一个数为，②333是3的倍数，下一个数为，③111是3的倍数，下一个数为，继续运算，运算次数超过3次； 998：①998不是3的倍数，根据规则，下一个数为，②676不是3的倍数，下一个数为，③361不是3的倍数，下一个数为，继续运算，运算次数超过3次； 同理，运算次数都超过3次； 961：①961不是3的倍数，根据规则，下一个数为，②256不是3的倍数，下一个数为，③169不是3的倍数，下一个数为，与第一次运算结果相同，输出结果；经过3次运算便输出结果，符合幸运数定义． 所以，最大的幸运数为961， 故答案为：1（答案不唯一）；961． 32．如图所示的是一个简单的数值运算程序，当输入的数值为时，其输出的结果为 ． 【答案】 【详解】解：输入，运算程序为． 原式 ， 所以当输入时，输出结果为． 故答案为：． 33．定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取，第三次“F运算”的结果是11．则若，则第449次“F运算”的结果是 ． 【答案】8 【详解】解：当，为奇数，第1次进行F①运算，即（偶数）， 第2次进行F②运算，即（奇数）， 第3次进行F①运算，即（偶数）， 第4次进行F②运算，即（奇数）， 第5次进行F①运算，即（偶数）， 第6次进行F②运算，即（奇数）， 第7次进行F①运算，即（偶数）， 即从第4次运算结果开始循环，且奇数次运算的结果为8，偶数次为1， 第449次“F运算”，得到的结果是8， 故答案为：8． 题型6 算“24”点 34．你会玩“24点”游戏吗？ 现有“，， 6， 10”四个数字，每个数用且只用一次，只可进行加、减、乘、除，使其结果为24，写出你的算式（只写一个即可）： ． 【答案】 【详解】解： ． 故答案为：（答案不唯一）． 35．下面4张扑克牌上的点数，经过怎样的计算能得到24（每张牌都要用且只能用一次），可以列出综合算式是 ． 【答案】 【详解】解：根据题意． 故答案为：． 36．现有张写着不同数的卡片（如图），从中抽取张卡片，用学过的运算方法，使结果为．运算式子为 ． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：抽取四张卡分别是， 列式为： 故答案为：（答案不唯一）． 37．请你在2，，4，，6中任选四个数，利用有理数的混合运算，使得这四个数的运算结果为24，请列出2种表达式 【答案】， 【详解】解：， ； 故答案为：，． 38．“24点”游戏是一种使用扑克牌来进行的益智类游戏，游戏内容是：从一副扑克牌中抽去大小王剩下52张，任意抽取4张牌，把牌面上的数运用你所学过的运算得出24．每张牌都必须使用一次，但不能重复使用． (1)在玩“24点”游戏时，小明抽到以下4张牌（Q表示12）： 请你帮他写出运算结果为24的算式：（写出2个） __________________________；__________________________； (2)善于思考的小明发现这4张牌还能计算得出1至10（包括1和10）中的整数，则以下结论正确的是（     ） ①能计算出1至10（包括1和10）中的所有整数             ②只能计算出1，2，3，4，6 ③除5外的其它整数都能计算出                            ④除7和9外的其它整数都能计算出 ⑤以上选项均不正确 【答案】(1)，（答案不唯一） (2)① 【详解】（1）解：由题意可得：，， 故答案为：，（答案不唯一）； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故这张牌还能计算出1至10（包括1和10）中的所有整数， 故答案为：①． 题型7 混合运算中的新定义问题 39．在有理数的原有运算法则中我们补充定义新运算“⊕”如下：当时，；当时，．则当时，的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵当时，；当时，． ∴当时， 故选：B 40．用“”，“←”定义新运算：对于任意有理数a，b，都有和，例如：，，则 ． 【答案】2025 【详解】解： 故答案为：． 41．已知[x]表示不超过x的最大整数．如：．现定义：，如，则 ． 【答案】 【详解】解：根据题意，可得： ． 故答案为：． 42．对于实数a，b定义新运算：，如，则的值为 ． 【答案】4 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：4． 43．类比有理数的乘方，我们定义“除方”运算，比如：2÷2÷2可记作，记作，一般地把n个a相除记做，读作“a的圈n次方”． (1)直接写出计算结果：= ；= ． (2)我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么除方运算如何转化为乘方运算呢？方法如下： 除方乘方的形式 仿照以上例子，把除方运算写成乘方形式：=． (3)算一算： 【答案】(1)；． (2)； (3)． 【详解】（1）解：，， 故答案为；． （2）解： ， 故答案为：； （3）解： ． $