专题01 集合与充要条件（讲义）-2026版云南省（职教高考）二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026版云南省（职教高考）二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及云南省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版云南省（职教高考）二轮复习《数学考纲专题练》的第1个专题，内容为集合与充要条件。 2026版云南省（职教高考）二轮复习 《数学考纲专题练》 专题01 集合与充要条件 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 一、考纲解读 1.集合 （1）掌握常用数集的表示符号 （2）掌握元素与集合、集合与集合之间的关系 （3）掌握列举法和描述法等集合的表示方法 （4）掌握集合的运算，会求集合的交集、并集和补集 2.充要条件 掌握充要条件的判定方法 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2024 选择题 1 集合的运算（并集） 2 （1）题型：集中在选择题。 （2）分值：集合与充要条件每年都有涉及，分值25年有所增长，在6分左右。 （3）内容：集合的运算有考查；充要条件通常与不等式等知识点结合考查。 选择题 4 充分必要条件 2 2025 选择题 1 集合的运算（交集） 3 选择题 4 充分必要条件 3 三、考点预测 根据2024-2025年的真题考情，预估2026年云南省职教高考依然有2道题目分别考查集合与充分必要条件，题型均设置为单项选择题，分值各3分，共6分。 具体考点可能涉及如下内容： · 元素与集合的关系 · 集合之间的关系 · 集合的运算 · 充要条件的判断 四、知识梳理 （一）集合的概念及表示方法 一组对象的总体构成一个集合． 1．集合元素的三个特征：确定性、无序性、互异性． 2．集合的三种表示方法： 列举法　、 描述法　、 图示法　. 3．元素与集合的两种关系：属于，记为 ∈　；不属于，记为 ∉　. 4.五个特定的集合及其关系图：N*或N＋表示 正整数集　，N表示非负整数集(或自然数集)，Z表示 整数集　，Q表示 有理数集　，R表示实数集． （二）集合之间的关系 类别 文字语言 图形语言 符号表示 子集  集合A中 　任意一个  元素都是集合B中的元素,就说这两个集合有　包含　关系,称集合　A　为集合　B　的子集    　A⊆B　　或    B⊇A　　  真子集  如果集合A⊆B,但存在元素 x∈B,且x∉A,称集合A是集合B的真子集    A⫋B　或    B⫌A　　  相等 集合A与集合B中的所有元素都相同 A＝B 注意：(1)空集用 ∅　表示． (2)若集合A中含有n个元素，则其子集的个数为 2n　，真子集的个数为 2n－1　，非空真子集的个数为 2n－2　. (3)空集是任何集合的子集，是任何 非空集合　的真子集． (4)若A⊆B，B⊆C，则A ⊆C． （三）集合的运算 符号 语言 交集A∩B 并集A∪B 补集∁UA 图形 语言 意义 A∩B＝{x|x∈A且x∈B} A∪B＝{x|x∈A或x∈B} ∁UA＝{x|x∈U且x∉A} 注意：1．A∩A＝A，A∩∅＝∅. 2．A∪A＝A，A∪∅＝A. 3．A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A. 4．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB⇔A∩(∁UB)＝∅. 5．∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)． （四）充要条件 1.命题 能判断真假的陈述句称为命题．判断为真的命题称为真命题，判断为假的命题称为假命题. 一般地，对于形如“如果 p，那么 q”的命题， 我们称 p 为命题的条件， 简称条件；称 q 为命题的结论，简称结论． 2.充分必要条件 充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的 充分　条件，q是p的 必要　条件 p是q的 充分不必要　条件 p⇒q且qp p是q的 必要不充分　条件 pq且q⇒p p是q的 充要　条件 p⇔q p是q的 既不充分也不必要　条件 pq且qp 注意：若A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则 (1)若A⊆B，则p是q的充分条件； (2)若A⊇B，则p是q的必要条件； (3)若A＝B，则p是q的充要条件； (4)若A⫋B，则p是q的充分不必要条件； (5)若A⫌B，则p是q的必要不充分条件； 五、10分钟小测验 1．下列各项中，不可以组成集合的是（    ） A．所有的正数 B．等于2的数 C．非常接近于0的数 D．不等于0的偶数 2．下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 3．若则实数a的值为（    ） A． B．0 C．1 D．或1 4．由不大于3的自然数组成的集合，用列举法表示，正确的是（   ）. A． B． C． D． 5．已知集合，则集合真子集的个数为（   ） A．3 B．5 C．6 D．7 6．下列给出的命题，正确的是（    ） A．高中数学课本中的难题可以构成集合 B．有理数集是最大的数集 C．空集是任何非空集合的真子集 D．自然数集中最小的数是1 7．已知集合，，则（   ） A． B． C．或 D． 8．，则（    ） A． B． C． D． 9．设全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 10．“”是“”成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11．已知命题p：“”，命题q：“”，那么命题p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 12．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B A D D C B D C B 题号 11 12 答案 A A 1．C 【分析】根据集合的概念即可求解. 【详解】选项A中，正数的定义是明确的，满足集合元素的确定性，可以组成集合，不符合题意， 选项B中，只有一个确定的数2，满足集合元素的确定性，可以组成集合，不符合题意， 选项C中，“非常接近”是一个模糊的概念，没有明确的标准， 所以不能组成集合，符合题意， 选项D中，偶数是能够被2所整除的整数， 对于一个数是否为偶数以及是否不等于0是可以明确判断的， 满足集合元素的确定性，可以组成集合，不符合题意， 故选：C. 2．B 【分析】根据元素与集合的关系及常用集合的字母表示即可得解. 【详解】对A：因为为自然数集，所以，故A项错误； 对B：因为为实数集，所以，故B项正确； 对C：因为为整数集，所以，故C项错误； 对D：因为为有理数集，为无理数，所以，故D项错误. 故选：B. 3．A 【分析】根据集合与集合的关系和元素的互异性即可求解. 【详解】因为，所以，解得或， 当时集合为，不满足集合中元素的互异性，故舍去， 当时集合为，满足题意， 所以实数a的值为. 故选：A. 4．D 【分析】将不大于3的自然数一一列举出来即可. 【详解】“不大于”即“小于等于”， 所以不大于的自然数组成的集合为， 故选：D. 5．D 【分析】根据集合元素的个数和真子集的概念，即可求解. 【详解】因为集合， 所以集合真子集的个数为， 故选：D. 6．C 【分析】根据集合的概念判断A；根据常见数集判断BD；根据空集的性质判断C. 【详解】高中数学课本中的难题，没有明确的标准，不可以构成集合，故A错误； 实数集是比有理数集大的数集，故B错误； 空集是任何非空集合的真子集，故C正确； 自然数集中最小的数是0，故D错误. 故选：C. 7．B 【分析】根据集合的交运算即可求解. 【详解】由题意得，集合，， 则. 故选：B. 8．D 【分析】利用集合的并集运算即可得解. 【详解】因为， 所以. 故选：D. 9．C 【分析】根据并集和补集的定义求解即可. 【详解】集合，，则， 且全集，则. 故选：C. 10．B 【分析】先解绝对值不等式,再根据推出关系易得答案. 【详解】因为,解得或,不能推出, 因为能推出或, 所以“”是“”成立的必要不充分条件. 故选:B. 11．A 【分析】根据推出关系易得答案. 【详解】因为, 因为当,当, 所以不能推出, 所以命题p是q的充分不必要条件. 故选:A. 12．A 【分析】根据与的逻辑关系来判断. 【详解】“若，则”是真命题； 其逆命题“若，则”是假命题. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 六、经典例题解析 （一）集合 【考试题型1】判断元素与元素、元素与集合的关系 【例1】若，则集合中元素的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据集合和元素的概念进行求解. 【详解】由题意得，的元素有两个. 故选：B. 【例2】已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据元素与集合、集合与集合之间的关系判定. 【详解】选项A中，0是一个元素，元素与集合之间的关系只能是，而不是，故错误. 选项B中，是一个集合，集合与集合之间的关系只能是，而不是，故错误. 选项C中，是一个集合，集合与集合之间的关系只能是，而不是，故错误. 选项D中，是一个集合，包含元素0，而表示小于1的所有实数集合，故是集合的一个子集，，故正确. 故选：D. 【考试题型2】根据元素与集合的关系求参数 【例3】已知，则的值为（   ）. A．或 B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合元素与集合的关系，及元素的特性，即可求解. 【详解】因为， 当时，，违背了集合元素的互异性； 当时，，集合为，符合题意； 当时，即， 所以，解得或（舍）， 当时，集合为，符合题意； 综上所述，或. 故选：B. 【例4】已知集合，且，则a等于（ ） A． B． C．3 D．或 【答案】B 【分析】根据元素与集合之间的关系列出等式，结合集合元素之间的互异性即可解得. 【详解】由题，集合，且， 若，则，此时， 此时不满足集合元素之间的互异性，不符合题意，舍去； 若，解得或， 当时，， 此时不满足集合元素之间的互异性，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意，故. 故选：B. 【考试题型3】判断集合的子集个数 【例5】集合的真子集个数是（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】C 【分析】先列举出集合中的所有元素，根据真子集个数公式进行求解. 【详解】由题可知，共有3个元素， 所以真子集个数为个. 故选：C. 【考试题型4】与不等式结合进行集合的运算 【例6】设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合交集的概念运算即可. 【详解】集合，， 所以. 故选：D. 【例7】设集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解含绝对值的不等式化简集合，结合并集的定义即可得解. 【详解】因为，解得， 所以，， 所以， 故选：. 【例8】不等式解集是（    ）． A． B．R C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的解，判断不等式的解集即可. 【详解】因为方程的两个解为或， 所以不等式解集为. 故选：A. 【考试题型5】充要条件与不等式结合 【例9】已知条件甲：，条件乙：，那么甲是乙的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据一元一次不等式的解法，结合充分不必要条件的概念即可求解. 【详解】由题意得，条件乙：等价于． 因为，，所以甲是乙的充分不必要条件. 故选：A． 【考试题型6】充要条件与立体几何结合 10．已知是两个不重合的平面，直线，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据题意，结合线面垂直的性质定理，及充分性、必要性的概念，即可判断求解. 【详解】若，，根据线面垂直的性质，可得一定成立，故充分性成立； 若，，根据线面垂直的性质，可得一定成立，故必要性成立； 故“”是“”的充分必要条件. 故选：C. 七、专题归纳小结 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $