第二十八章 锐角三角函数 全章知识点过关复习 课件 2025-2026学年人教版数学九年级下册

该初中数学课件系统梳理了锐角三角函数的核心知识，涵盖三角函数定义、特殊角值、解直角三角形及实际应用，通过概念关联、公式推导与问题解决的逻辑脉络，帮助学生构建完整的知识网络。 其亮点在于采用分层练习设计，从基础选择填空到综合解答题，融入放风筝、水坝坡度等实际情境，培养学生数学思维中的推理能力和数学语言中的模型意识。这种设计兼顾不同水平学生，助力教师精准把握学情，提升复习效率。

第二十八章 锐角三角函数　 全章知识点梳理 人教版数学九年级下册 一､选择题 1. tan 30°的值是 ( ) A. B. C. D. B 2. 锐角∠α的余弦值等于 ，则∠α的度数为 ( ) A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° C 3. 把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦函数值 ( ) A. 不变 B. 缩小为原来的 C. 扩大为原来的3倍 D. 不能确定 A 4. 如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，则cos∠ABC的值为 ( ) A. B. C. D. B 5. 如图，将一根橡皮筋两端固定在点A，B处，拉展成线段AB，拉动橡皮筋上的一点P，当△APB是顶角为120°的等腰三角形时，已知AB＝6 cm，则橡皮筋被拉长了 ( ) A. 2 cm B. 4 cm C. (4 －6)cm D. (4－2 )cm C 6. 计算4tan 45°的值为 ( ) A. 4 B. 2 C. D. 1 A 7. 如图，A，B，C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，则tan B′的值为 ( ) A. B. C. D. B 8. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝6，BC＝8，则下列等式中正确的是 ( ) A. sin A＝ B. tan A＝ C. sin B＝ D. cos B＝ A 9. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sin A＝ ，则cos B的值等于 ( ) A. B. C. D. 1 C 10. 如图，AB是河堤横断面的迎水坡. 坡高AC＝ ，水平距离BC＝1，则斜坡AB的坡度为 ( ) A. B. C. 30° D. 60° A 二､填空题 1. 若α为锐角，且tan(α＋15°)＝1，则cos α的值为____. 2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sin A＝ ，则∠A的度数是____. 30° 3. 如图，如果小华沿坡度为1∶ 的坡面由A到B行走了8米，那么他实际上升的高度为___米. 4 4. 如图，在平面直角坐标系xOy中，射线OA与x轴正半轴的夹角为α，如果OA＝ ，tan α＝2，那么点A的坐标是_______. (1，2) 5. 如图，l1∥l2，A，B分别是直线l1，l2上的点，AB＝3，sin α＝ ，则直线l1与l2之间的距离为___. 2 6. (2024·即墨区期末)计算：sin245°＋cos 30°·tan 60°＝___. 7. (2024·金溪县校级月考)在△ABC中，已知∠A，∠B是锐角. 若 ＋(2sin B－ )2＝0，则∠C的度数为_____. 2 75° 8. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为边AB的中点，连接CD，若BC＝4，CD＝3，则cos∠DCB的值为___. 9. 如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠CDA＝30°，则sin∠AOB的值为____. 10. 如图，一个无底的圆锥铁片，它的高AO＝8米，母线AB与底面半径OB的夹角为α，tan α＝ ，则制作这样一个无底圆锥需要铁片____平方米. (结果保留π) 60π 三､解答题 1. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知c＝8，∠A＝60°，求∠B，a，b. 解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°， ∴∠B＝90°－∠A＝30°. ∴b＝ c＝4. ∴a＝ . 2. 计算：|－3|＋ ·tan 30°－ －(2 023－π)0. 解：原式＝3＋ －2－1 ＝3＋1－2－1 ＝1. 3. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AD＝2，BD＝1，DC＝4，求∠BAC的度数. 解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°. ∵AD＝2，BD＝1，DC＝4， ∴AB2＝12＋22＝5，AC2＝42＋22＝20， BC2＝(4＋1)2＝25. ∴BC2＝AB2＋AC2. ∴△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°. 4. 如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AC＝2，求： (1)AB，BC的长； 则∠ADB＝∠ADC＝90°. ∵∠C＝45°，∴AD＝CD＝ AC＝2× ＝ . 在Rt△ABD中，∵∠B＝30°，∴AB＝2AD＝2 . ∴BD＝ . ∴BC＝BD＋CD＝ . 解：(1)如图，过点A作AD⊥BC于点D， 解：(2)S△ABC＝ BC·AD＝ . (2)△ABC的面积. 5. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°. (1)求证：sin2A＋cos2A＝1； 由勾股定理，得BC2＋AC2＝AB2， ∴sin2A＋cos2A＝1. (1)证明：∵sin A＝ ，cos A＝ ， ∴sin2A＋cos2A＝ . (2)若sin A＋cos A＝ ，求sin A·cos A的值. (2)解：∵sin A＋cos A＝ ， ∴(sin A＋cos A)2＝ ， 即sin2A＋cos2A＋2sin A·cos A＝ . ∵sin2A＋cos2A＝1，∴1＋2sin A·cos A＝ . ∴sin A·cos A＝ . 6. 如图，小明在操场上放风筝，已知风筝线AB长100米，风筝线与水平线的夹角α＝37°，小明拿风筝线的手离地面的高AD为1.5米，求风筝离地面的高度BE. (sin 37°≈0.6，精确到0.1米) 解：∵AB＝100米，α＝37°， ∴BC＝AB·sin α＝100sin 37°. ∵AD＝CE＝1.5米， ∴BE＝BC＋CE＝100·sin 37°＋1.5 ≈100×0.60＋1.5＝61.5(米). 答：风筝离地面的高度BE约为61.5米. 7. 如图，水坝的横断面是梯形ABCD，背水坡AB的坡角∠BAD＝60°，坡长AB＝20 m. 为加强水坝强度，将坝底从A处向后水平延伸到E处，使新的背水坡的坡度为1∶2，求AE的长度. (结果精确到1米，参考数据： ≈1.414， ≈1.732) 解：如图，过点B作BH⊥AD于点H， 答：AE的长度约为25米. 在Rt△ABH中，sin∠BAH＝ ， 则BH＝AB·sin∠BAH＝20× ＝10 ，AH＝ AB＝10. 在Rt△EBH中，BE的坡度为1 ∶2，BH＝10 ， ∴EH＝20 . ∴AE＝EH－AH＝20 －10≈25. 8. 如图，楼房BD的前方竖立着旗杆AC. 小亮在B处观察旗杆顶端C的仰角为45°，在D处观察旗杆顶端C的俯角为30°，楼高BD为20米. 求： (1)∠BCD的度数； 则DF∥CE，AB∥CE. ∵DF∥CE，∴∠ECD＝∠CDF＝30°. 同理∠ECB＝∠ABC＝45°， ∴∠BCD＝∠ECD＋∠ECB＝75°. 解：(1)如图，过点C作CE⊥BD于点E， (2)旗杆AC的高度. 解：(2)在Rt△ECD中，∠ECD＝30°， ∵BD＝BE＋DE， ∵tan∠ECD＝ ， ∴DE＝CE·tan∠ECD＝ CE. 同理BE＝CE. ∴20＝CE＋ CE，CE＝ ＝30－10 . ∴AC＝BE＝CE＝30－10 . 9. 如图，在东西方向的海岸线l上有一长为1千米的码头MN，在码头西端M的正西方向30千米处有一观察站O. 某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于O的北偏西30°方向，且与O相距20 千米的A处；经过40分钟，又测得该轮船位于O的正北方向，且与O相距20千米的B处.求： (1)该轮船航行的速度. 解：(1)如图，过点A作AC⊥OB于点C， ∴BC＝OC－OB＝30－20＝10(千米). 依题意，得OA＝20 千米，OB＝20千米， ∠AOC＝30°， ∴AC＝ OA＝ ×20 ＝10 (千米). 在Rt△AOC中， OC＝OA·cos∠AOC＝20 × ＝30(千米)， 在Rt△ABC中，AB＝ ＝20(千米)， ∴轮船航行的速度为20÷ ＝30(千米/时). (2)如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？请说明理由. (参考数据： ≈1.414， ≈1.732) 如图，延长AB交l于点D， 解：(2)如果该轮船不改变航向继续航行，不能行至码头MN靠岸. 理由如下： ∵AB＝OB＝20千米，∠AOC＝30°， ∴∠OAB＝∠AOC＝30°. ∴∠OBD＝∠OAB＋∠AOC＝60°. ∴该轮船不改变航向继续航行，不能行至码头MN靠岸. ∴在Rt△BOD中， OD＝OB·tan∠OBD＝20·tan 60°＝20 (千米). ∵20 >30＋1， $