学案21 函数的表示法-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

人教A版数学必修第一册 课 学案21函数的表示法 记 昆学习任务 1.了解函数的三种表示法及各自的优缺点.（数学抽象） 2.掌握求函数解析式的常见方法.（数学运算） 3.尝试作图并从图象上获取有用的信息.（逻辑推理） 课堂活动 新知应用 活动一了解函数的三种表示方法 1.某种笔记本的单价是5元，买x(x∈{1,2,3,4， 5})个笔记本需要y元.试用函数的三种表示 询新知导学 法表示函数y=f(x). 问题1阅读教材第60一62页中的问题1,2,3， 4,分别用什么形式表示了两个变量之间的对应 关系？ 2.已知函数f(x)由下表给出， x 1 2 3 4 f(z) 3 1 2 3 (1)f(x)的定义域为 ;值域为 问题2在初中我们学习了函数的哪些常用表示 (2)f(f(1)= 方法？ (3)若f(f(a)=2,则a= (4)若f(f(x)≤x,则x= 「方法总结」1.函数的三种表示法的选择 (1)采用解析法的前提是变量间的对应关系明确. (2)采用图象法的前提是函数的变化规律清晰. (3)采用列表法的前提是定义域内自变量的个数 问题3三种表示方法有什么优缺点？ 较少 2.用三种方法表示函数时的注意点 (1)解析法必须注明函数的定义域。 (2)列表法必须罗列出所有的自变量与函数值的 对应关系 (3)图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线” 新知生成 活动二用图象表示函数 (1)解析法：就是用 表示两个变量之间 的对应关系； 阄新知导学 (2)列表法：就是 来表示两个变量之间 问题4一般地，作函数图象有哪些步骤？ 的对应关系； (3)图象法：就是用 表示两个变量之间 的对应关系. 1160 函数的表示法 学案21 今新知应用 口新知生成 听 作出下列函数的图象并求出其值域 求函数解析式的常用方法： (1)y=-x,x∈{0,1，-2,3}； (1)待定系数法：若已知f(x)的解析式的类 记 (2y=2x∈，+∞： 型，设出它的一般形式，根据特殊值确定相关的 系数即可. (3)y=x2+2x,x∈[-2,2). (2)换元法：对于形如已知f(g(x)的解析式 求f(x),设t=g(x),解出x,代入f(g(x), 求f(t)的解析式即可. (3)配凑法：对f(g(x)的解析式进行配凑变 形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边！ 所有的“g(x)”即可， (4)方程组法（或消元法）：当同一个对应关系中 的两个变量之间有互为相反数或互为倒数关系： 时，可构造方程组求解. 「方法总结」描点法作函数图象的3个关键点 (1)画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定 今新知应用 义域内作图， 求函数的解析式： (2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用 (1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x)=9x+ 虚线来衬托整个图象. 4,求f(x)的解析式； (3)要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与 (2)已知f(√x+1)=x+2√元，求f(x); 坐标轴的交点等.要分清这些关键点是实心点还 是空心圈. (3)已知2f()+f)=x(x≠0)，求f(x). 活动三求函数的解析式 阄新知导学 问题5解决下列问题，总结求解析式的方法 (1)已知f(x+1)=x2-3x+2,求f(x); (2)已知f(x)是二次函数，且满足f(0)=1, f(x+1)-f(x)=2x,求f(x)的解析式； (3)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)+ 2f(-x)=3x-2,求f(x). 「方法总结」熟练掌握求函数解析式的常用方 法，并会根据题目条件灵活选用，求得解析式. 课堂小结 解析法 函数解析式求法 作图方法 函数的表示法 图象法 作图的步骤 列表法 61 人教A版数学必修第一册 课堂达标 5.(多选)已知f(2x+1)=4x2,则 () A.f(1)=4 B.f(-1)=4 1.由下表给出函数y=f(x),则f(f(1)等于 C.f(x)=x2 D.f(x)=(x-1)2 记 ( 6.已知f(x2+2)=x4十4x2,则f(x)的解析式 2 3 4 5 为 z 4 5 3 2 1 7.如图，把直截面半径为25cm的圆形木头锯成 矩形木料，如果矩形的一边长为x(单位：cm), A.1 B.2 C.4 D.5 2.已知一次函数的图象过点(1,0)和(0,1)，则此 面积为y(单位：cm2),把y表示成x的函数. 一次函数的解析式为 A.f(x)=-x B.f(x)=x-1 25 cm C.f(x)=x+1 D.f(x)=-x+1 3.已知函数y=f(x)的对应关系如下表，函数 y=g(x)的图象是如图所示的曲线ABC,其中 A(1,3),B(2,1),C(3,2),则f(g(2)= 1 2 3 f(x) 2 3 0 012 31 A.3 B.2 C.1 D.0 8.某商场新进了10台彩电，每台售价3000元， 4.李明在放学回家的路上，开始时和同学边走边 试分别用列表法、图象法、解析法表示售出台数 讨论问题，走得比较慢，后来他们索性停下来将 x(x∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10})与收款总额 问题彻底解决，再后来他加快速度回到了家.下 y(元)之间的函数关系. 列图象中与这一过程吻合得最好的是( ) ↑离家的距离 十离家的距离 时间 时间 A B ↑离家的距离 ↑离家的距离 时间 时间 C D 课后反思 1162活动二会求函数的定义域与函数值 新知导学 问题1提示：①x≠0.②x≥0.③x≠0. 新知应用 1.解：要使函数式有意义，必须使 +3≠0，即r≠-3， |x-x>0, x<0, 因此通数y=2x三 (x+3)0+ 1 的定义域为{xx<0且 Tx-x x≠一3}. 2.解：(1)使根式√x十3有意义的实数x的集合是{xx≥一3}， 使分式z十2有意义的实数x的集合是{xx≠-2》.所以，这 个函数的定义域是 {x|x≥-3}∩{x|x≠一2}={x|x≥-3，且x≠-2}， 即[-3，-2)U(-2,+∞). (2②)将-3与号代入解折式，有 1 f(-3)=√3+3+-3+2-1： 3 (3)因为a>0,所以f(a),f(a一1)有意义. f(a)=va+3+ a+2 fa-=va1F+。-+短a2+。 母题变式：解：因为f(一3)=-1，所以f(f(一3))=f(一1) √2+1. 活动三会判断两个函数是否为同一个函数 新知导学 问题2提示：定义域、值域分别不同，对应关系相同，不是同一 个函数. 问题3提示：是同一个函数.理由如下： (1)y=x(x∈R)与y=,定义域相同都是R (2)y==x(x∈R),以此可以发现二者的对应关系一 致，所以二者是同一个函数. 问题4提示：不是同一个函数，对应关系不同 问题5提示：(1)两个函数的定义域相同，并且对应关系完全 一致. (2)两个注意点： ①在观察定义域时，应观察所给函数的原型；观察对应关系 时，应观察等价化简后的函数形式 ②与用哪个字母表示无关. 新知生成 相同完全一致 新知应用 解：(1)y=√x2的定义域为R,y=(√x)2的定义域为{x x≥0}，两者定义战不同，∴y=√与y=(丘)2不是同一 个函数. (2)"y=√1十x·√1一x的定义域为{x|一1≤x≤1}，u= √J1一v的定义域为{v|一1≤v≤1}，即两者定义域相同.又 122 ”y=√十x·√一x=√一x,两函数的对应关系也 相同.故y=√1十x·√1一x与u=√1一v2是同一个函数 (3),y=√(3-x)严=|x-3与y=x-3的定义域相同，但 对应关系不同， ∴y=√/(3-x)7与y=x-3不是同一个函数. (4)是同一个函数，定义域、对应关系都相同. 课堂达标 1.C 2.A[因为f(x)=√x十I,所以f(3)=√3+I=2.] 3.B[/2)+f(-2)=2+号+(-2)+2=0.故选B] 4.D[因为画数了)=2，所以f(日）=是=3a,故选D] 3 a 5.A[对于A选项，f(x+1)=(x+1)十1=f(x)+1,成立. 对于B选项，f(x十1)=-(x十1)2，f(x)+1=-x2+1,不 1 成立.对于C选项，fx+1)=中fx)+1= +1，不成 立.对于D选项，f(x十1)=|x+1,f(x)+1=x|+1,不 成立.故选A.] 6.BD[对于A,两函数的对应关系不同，所以不是同一个函 数；对于B,两函数的定义域相同都为R,其次√=x,所 以是同一个函数；对于C,函数f(x)=x2的定义域为R,而 函数g(x)=的定义找为(-0,0)U(0,十0)，定义战不 同，所以不是同一个函数；对于D,两函数的定义域相同都为 R,且对应关系相同，所以是同一个函数.故选BD.] 7.BC[y=√x的值域为[0，+o∞)，y=x2+1的值域为[1，+o∞). 故选BC.] 8.[-2,2)U(2,+∞)[x应满足r+2≥0， x-2≠0， 即≥-2具2所以画发了)=受号的定义成足 [-2,2)U(2,+o∞).] 0.-1[由fa)=。=2,得a-1门 学案21函数的表示法 课堂活动 活动一了解函数的三种表示方法 新知导学 问题1提示：问题1,2用解析式；问题3用图象；问题4用 表格. 问题2提示：解析法、列表法和图象法。 问题3提示： 优点 缺点 一是简明、全面地概括 了变量间的关系；二是 不够形象、直观，而且 解析法 可以通过解析式求出 并不是所有的西数都 任意一个自变量所对 可以用解析法表示 应的函数值 续表 不通过计算就可以直它只能表示自变量取 列表法 接看出与自变量的值 较少的有限值的对应 相对应的函数值 关系 直观形象地表示出函 只能近似地求出自变 数的变化情况，有利于 图象法 量所对应的函数值，有 通过图形研究函数的 时误差较大 某些性质 新知生成 (1)解析式(2)列出表格(3)图象 新知应用 1.解：这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5} 用解析法可将函数y=f(x)表示为y=5x,x∈{1,2,3,4,5} 用列表法可将函数y=∫(x)表示为： 笔记本数x 1 3 5 钱数y 10 15 20 25 用图象法可将函数y=f(x)表示为： 25 201 15 10 5 0十2345 2.(1){1,2,3,4}{1,2,3}(2)2(3)1或4(4)3或4 活动二用图象表示函数 新知导学 问题4提示：一般有三步：(1)列表.(2)描点.(3)连线. 新知应用 解：(1)列表： x 0 1 -2 y 0 -12-3 函数图象是四个点(0,0)，(1，一1)，(-2,2)，(3，一3)，其值域 为{0，-1,2，-3}. 3) -2-10 23 (2)列表： 3 45 当x∈[2，十o∞)时，画图象，图象是反比例函数y= 分，观察图象可知其值域为(0,1]. 0 234 (3)列表： x-2-101 y0-103 画图象，图象是抛物线y=x2十2x在一2≤x<2之间的 部分· 由图可得该函数的值域为[一1,8). y 8- 6 -2 活动三求函数的解析式 新知导学 问题5提示：(1)法一：令x十1=t,则x=t一1. 将x=t-1代入f(x十1)=x2-3x十2中， 得f(t)=(t-1)2-3(t-1)+2=t2-5t+6, ∴f(x)=x2-5x十6. 法二：.f(x+1)=x2-3x+2=x2十2x+1-5x-5+6= (x+1)2-5(x+1)+6,.f(x)=x2-5x+6. (2)设所求的二次函数为f(x)=ax2十bx十c(a≠0). ,f(0)=1,∴.c=1,则f(x)=ax2十bx十1. 'f(x十1)-f(x)=2x对任意的x∈R都成立，.a(x十1)2 +b(x+1)+1-(a.x2+bx+1)=2x,即2ax+a+b=2.x,由 子式的#发泽一1 .所求二次函数为f(x)=x2-x十1. (3)对于任意的x都有f(x)十2f(一x)=3x一2， .将x替换为一x,得f(一x)十2f(x)=一3x一2， 联立方程组消去f(-x),可得f(x)=-3x-3 2 新知应用 解：(1)设f(x)=kx+b(k≠0). f(f(x))=k(kx+b)+b=k2x+kb+b=9x+4. k2=9, 所以b十b=4, 23 解得k=3,b=1,或k=一3，b=一2. 所以f(x)=3x+1或f(x)=一3x一2. (2)法一（配凑法）： 因为f(WE+1)=x+2E=(WE+1)2-1(WE+1≥1)， 所以f(x)=x2-1(x≥1). 法二（换元法）： 令√x+1=t(t≥1)， 则x=(t-1)2(t≥1)】 所以f(t)=(t-1)2+2√(t-1)7=t2-1(t≥1). 所以f(x)=x2-1(x≥1). 3)f)+2f(2）=x,令x= x 得f(（）+2r=是 于是得到关于f(x)与f(）的方程组 f(x)+2f(3）=x, 得)=营红≠0. r(）+2fx)= 课堂达标 1.B[由题意可知，f(1)=4,f(4)=2, .f(f(1)=f(4)=2.故选B.] 2.D[设fx)=ax+ba≠0，则有+h=0, b=1, 所以a=-1,b=1,f(x)=-x+1.] 3.B[由函数图象可知g(2)=1,由表格可知f(1)=2, 故f(g(2)=2.] 4.D[由题意可知，李明离家的距离随时间的变化先是变小， 且变化得比较慢，后来保持不变，再后来继续变小，且变化得 比较快，直至为0，只有D选项符合题意.] 5.BD[令1=2x+1,则x=号是，因为了2x+1D=红，所以 f=42）°=-1，所以10e)=-1, 所以f(1)=(1-1)2=0,f(-1)=(-1-1)2=4.故选BD.] 6.f(x)=x2-4(x≥2)[因为f(x2+2)=x4+4x2=(x2+ 2)2-4, 令t=x2+2(t≥2)，则f(t)=t2-4(t≥2)， 所以f(x)=x2-4(x≥2).] 7.解：依题意可得圆的直径为50cm,则该矩形的另一边长为 √502-x2,其中0<x<50,故矩形的面积y=x√502-x2 =x√2500-x2, 故y关于x的函数为y=x√2500-x2(0<x<50). 8.解：用列表法表示如下 x/台 1 2 3 4 5 y/元 3000 6000 9000 12000 15000 x/台 6 > 8 9 10 y/元18000 21000 24000 27000 30000 24 用图象法表示，如图所示 30000l/元 01 0冶 用解析法表示为y=3000x,x∈{1,2,3，…，10}. 学案22分段函数 课堂活动 活动一了解分段函数的概念 新知导学 问题1提示：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相 反数，零的绝对值仍是零， a,a≥0， al= -a,a<0. 一x,x<0, 问题2提示：y= 其图象是由y=一x(x<0)和 x,x≥0， y=x(x≥0)两部分组成. 定义域是两部分的并集，为R,值域是两部分的并集，为[0，十∞). 新知生成 对应关系 新知应用 1.解：当-3x<一1时，设f(x)=ax+b(a≠0)， 将点(-30.(-1，-0代入，可得f)=号子 当-1x<1时，同理，可设f(x)=cx十d(c≠0)， #点（-1-2.1入，可得1)号日 当1≤x<2时，f(x)=1. 37 2x-2,-3≤x<-1, 所以f(x)=3 1 2x-2,-1≤x<1, 1,1≤x<2. 2.解：(1)在同一直角坐标系中画出函数f(x),g(x)的图象（如 图(1)). gx)=(x+1)2y1 5 fx)=x+1 4 3 2 -5-4-3-2012345x -1 -2 (1) (2)由图(1)中函数取值的情况，结合函数M(x)的定义，可得 函数M(x)的图象（如图(2）).