第1章 问题解决策略：反思（Word教案）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（北师大版2024）

☆ 问题解决策略：反思

1.理解将立体图形展开为平面图形的原理.

2.掌握利用展开图求解最短路径问题的方法.

3.引导学生经历从特殊到一般的探究过程，学会运用数学建模思想解决问题.

重点：掌握将立体图形展开成平面图形，利用“两点之间，线段最短”的原理求解最短路径问题.

难点：根据立体图形的特征，合理选择展开方式，构建正确的平面图形模型.

同学们，想象一只蚂蚁在长方体表面寻找最短路线！今天我们将化身“空间侦探”，通过展开立体图形破解这个几何谜题.把三维难题转化为二维平面问题，用“两点之间线段最短”的黄金法则，揭开立体世界隐藏的最短通路.准备好用智慧和空间想象力，开启这场妙趣横生的数学探险吧！

创设情境——见配套课件

探究点一：正方体中的最短路径问题

如图，有一个正方体形状的桌子，正方形ABCD是它朝上的桌面，点A，B，C，D是正方形的四个顶点，桌高是h cm.

（1）一只蚂蚁要从正方形桌面ABCD的A点爬行到C点，请在图①中画出蚂蚁爬行的最短路线，并说明理由：　两点之间线段最短　；

（2）另有一只蚂蚁要从桌子脚的P点（图中正方体的一个顶点）沿正方体桌子的外表面爬行到C点，怎样爬行路线最短？请在图②中的横线上画出最短路线示意图.（画出一种即可）

解：（1）如图，连接AC，则AC为蚂蚁爬行的最短路线.

（2）如图，PC即为所求最短路线.（答案不唯一）

归纳总结：对于正方体的最短路径问题，先将正方体展开，找到两点在展开图中的位置，再利用勾股定理计算两点间的线段长度.             

探究点二：长方体中的最短路径问题

如图，长方体的长为2cm，宽为5cm，高为3cm，已知点B与点C间的距离为2cm，一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点C，需要爬行的最短距离为　5 cm　.

                 

解析：如图①，因为AC2＝（2＋2）2＋32＝52，如图②，AC2＝（2＋3）2＋22＝29.

因为52＜29，所以需要爬行的最短距离为5cm，故答案为5cm.

归纳总结：长方体最短路径问题的解题关键：要全面考虑长方体的不同展开方式，通过计算比较得出最短路径.

探究点三：圆柱体中的最短路径问题

一只蚂蚁从A点沿圆柱侧面爬到顶面相对的B点处，如果圆柱高为7cm，底面半径为cm，那么蚂蚁爬行的最短路径AB的长为　25cm　.

解析：如下图展开，连接AB，因为圆柱的底面半径为cm，所以AC＝×2·π·＝24（cm），

在Rt△ACB中，AB2＝AC2＋CB2＝576＋49＝625，则AB＝25cm，即蚂蚁爬行的最短路径长为25cm.故答案为25cm.

归纳总结：将圆柱侧面展开成长方形，利用勾股定理求展开图中两点间的线段长度.

 

1.如图，一只蚂蚁沿棱长为m的正方体侧面从顶点C爬到顶点B，现将正方体侧面沿AC剪开，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最短路线，正确的是（　A　）