第1章 问题解决策略：反思（Word教案）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（北师大版2024）

该教案聚焦立体图形表面最短路径问题，通过展开立体图形为平面图形，运用“两点之间线段最短”原理及勾股定理求解。课堂以“蚂蚁爬行”情境导入，从正方体到长方体、圆柱体逐步深入，构建从特殊到一般的探究支架，衔接平面几何与立体转化。 特色在于情境化探究与数学建模融合，以“空间侦探”任务驱动，结合正方体、长方体、圆柱体展开实例，培养几何直观与空间观念（数学眼光），通过计算比较发展推理意识与运算能力（数学思维），建立展开图模型提升模型意识（数学语言）。配套课件辅助教学，助力学生空间想象与问题解决能力提升，为教师提供结构化探究教学方案。

☆ 问题解决策略：反思 1.理解将立体图形展开为平面图形的原理. 2.掌握利用展开图求解最短路径问题的方法. 3.引导学生经历从特殊到一般的探究过程，学会运用数学建模思想解决问题. 重点：掌握将立体图形展开成平面图形，利用“两点之间，线段最短”的原理求解最短路径问题. 难点：根据立体图形的特征，合理选择展开方式，构建正确的平面图形模型. 同学们，想象一只蚂蚁在长方体表面寻找最短路线！今天我们将化身“空间侦探”，通过展开立体图形破解这个几何谜题.把三维难题转化为二维平面问题，用“两点之间线段最短”的黄金法则，揭开立体世界隐藏的最短通路.准备好用智慧和空间想象力，开启这场妙趣横生的数学探险吧！ 创设情境——见配套课件 探究点一：正方体中的最短路径问题 如图，有一个正方体形状的桌子，正方形ABCD是它朝上的桌面，点A，B，C，D是正方形的四个顶点，桌高是h cm. （1）一只蚂蚁要从正方形桌面ABCD的A点爬行到C点，请在图①中画出蚂蚁爬行的最短路线，并说明理由：　两点之间线段最短　； （2）另有一只蚂蚁要从桌子脚的P点（图中正方体的一个顶点）沿正方体桌子的外表面爬行到C点，怎样爬行路线最短？请在图②中的横线上画出最短路线示意图.（画出一种即可） 解：（1）如图，连接AC，则AC为蚂蚁爬行的最短路线. （2）如图，PC即为所求最短路线.（答案不唯一） 归纳总结：对于正方体的最短路径问题，先将正方体展开，找到两点在展开图中的位置，再利用勾股定理计算两点间的线段长度. 探究点二：长方体中的最短路径问题 如图，长方体的长为2cm，宽为5cm，高为3cm，已知点B与点C间的距离为2cm，一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点C，需要爬行的最短距离为　5 cm　. 解析：如图①，因为AC2＝（2＋2）2＋32＝52，如图②，AC2＝（2＋3）2＋22＝29. 因为52＜29，所以需要爬行的最短距离为5cm，故答案为5cm. 归纳总结：长方体最短路径问题的解题关键：要全面考虑长方体的不同展开方式，通过计算比较得出最短路径. 探究点三：圆柱体中的最短路径问题 一只蚂蚁从A点沿圆柱侧面爬到顶面相对的B点处，如果圆柱高为7cm，底面半径为cm，那么蚂蚁爬行的最短路径AB的长为　25cm　. 解析：如下图展开，连接AB，因为圆柱的底面半径为cm，所以AC＝×2·π·＝24（cm）， 在Rt△ACB中，AB2＝AC2＋CB2＝576＋49＝625，则AB＝25cm，即蚂蚁爬行的最短路径长为25cm.故答案为25cm. 归纳总结：将圆柱侧面展开成长方形，利用勾股定理求展开图中两点间的线段长度. 1.如图，一只蚂蚁沿棱长为m的正方体侧面从顶点C爬到顶点B，现将正方体侧面沿AC剪开，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最短路线，正确的是（　A　） 　　 2.如图，长方体的长、宽、高分别是12，8，30，在AB的中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从E处沿长方体表面爬到C处去吃，有无数种走法，则它爬行的最短路程是（　B　） A.15 B.25 C.35 D.45 解析：如图展开，连接EC，则线段EC的长就是小虫爬的最短路程，在Rt△EBC中，BE＝12＋8＝20，BC＝AB＝15，所以EC2＝202＋152＝252.所以小虫爬的最短路程EC＝25.故选B. 第2题图 第3题图 第4题图 第5题图 3.如图，圆柱的底面周长是14cm，圆柱高为24cm，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的侧面从下底面点A爬到与之相对的上底面点B，那么它爬行的最短路程为（　D　） A.14cm B.15cm C.24cm D.25cm 解析：如下图展开，由题得AC＝24cm，CB'＝7cm，AB'2＝AC2＋CB'2＝242＋72＝252.所以它爬行的最短路程AB'＝25cm.故选D. 4.如图，一个底面为正六边形的直六棱柱，从顶点A到顶点B沿六棱柱的侧面镶有一圈金属丝，已知此六棱柱的高AB为7cm，底面边长为4cm，则这圈金属丝的长度至少为（　A　） A.25cm B.31cm C.24cm D.7cm 解析：已知此六棱柱的高AB为7cm，底面边长为4cm，如图，六棱柱侧面展开后，这圈金属丝的长度最短为BC的长，所以AC＝4×6＝24（cm）.在直角三角形ABC中，BC2＝AB2＋AC2＝72＋242＝252.所以这圈金属丝的长度至少为25cm.故选A. 5.如图，学校实验楼前一个三级台阶，它的每—级的长、宽、高分别为24dm，3dm，3dm，点M和点N是这个台阶上两个相对的端点，M点有一只蚂蚁，想到N点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点N的最短路程为　30　dm. 解析：如图，因为它的每一级的长、宽、高分别为24dm，3dm，3dm，所以MN2＝242＋（3×6）2＝302.即蚂蚁沿着台阶面爬行到点N的最短路程是30dm，故答案为30. 6.如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为m的半圆，其边缘AB＝CD＝20m，点E在CD上，CE＝5m，一滑板爱好者从A点滑到E点，求他滑行的最短距离. 解：如图是其侧面展开图：AD＝×π×＝20（m），AB＝CD＝20（m），DE＝CD－CE＝15（m），在Rt△ADE中，202＋152＝AE2，解得AE＝25（负值舍去），故他滑行的最短距离为25m. 问题解决策略 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 学科网（北京）股份有限公司 $