2.4.2圆的一般方程课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第二章 直线和圆的方程 2.4圆的方程 2.4.2 圆的一般方程 1.理解圆的一般方程及其特点. 2.掌握圆的一般方程和标准方程的互化.（重点） 3.会根据给定的条件求圆的一般方程，并能用圆的一般方程解决简单问题.（难点） 4.会求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题.（难点） 学习目标 新课导入 思考：在直线方程中，所有的二元一次方程都可表示直线，那么， 类比学习，以C(1，－2)为圆心，2为半径的圆的标准方程是什么？ 思考：将以上圆的标准方程展开后可得到什么式子？ 展开要求：去括号、合并同类项、移项等号右侧为 0 . 一个关于 x, y 的二元二次方程 那么二元二次方程与圆有着怎样的关系呢？ 新课探究 问题1 一般地，把(x-a)2+(y-b)2=r2展开，会得到怎样的式子？ 二次项 一次项 常数项 等价 结论：任何一个圆的标准方程可以写成下面二元二次方程的形式： 新课探究 追问1 方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 一定表示圆吗？ 例：判断下列方程分别表示什么图形？ （1）; （2）； （3）. 圆 点 不存在 追问2 方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 中D、E、F满足什么条件时才能表示圆？ 新课探究 方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 配方, 得 (2)当时，方程只表示一个点； (1)当时， 方程表示以为圆心，为半径的圆； (3)当时，方程没有实数解，它不表示任何图形. 新知讲解——圆的一般方程 圆的一般方程 当，方程表示： 以为圆心，以为半径的圆. 我们把方程叫做圆的一般方程. 注：圆的一般方程的特征： 1.; 2. 当才表示圆. 新课探究 问题2：圆的标准方程(x - a)2+(y - b)2= r2与圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 各有什么特点？ 圆的标准方程明确明确地表达了圆的几何元素，即给出了圆心坐标和半径 重“形” 圆的一般方程则明确表明其形式是一种特殊的二元二次方程,方程的代数特征非常明显 重“数” 巩固练习 1：判断正误. (1)圆的一般方程可以化为圆的标准方程.( ) (2)二元二次方程一定是某个圆的方程.( ) (3)方程表示圆.( ) 2：圆的圆心坐标是( ). A. B. C. D. 巩固练习 3. 若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆. (1)求实数m的取值范围； (2)写出圆心坐标和半径? 解：(1)由表示圆的充要条件，得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0， (2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为: (x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m， 新课探究 问题3 已知点 M0(x0 , y0)在圆 A 的方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 , 如何确定点与圆的位置关系？ A A(a,b) A A(a,b) A A(a,b) 点在圆上 点在圆内 点在圆外 巩固练习 4：判断下列各点与圆的位置关系： (1) 点，圆: ； (2) 点，圆: ； (3) 点，圆: . 【答案】：（1）点在圆内；（2）点在圆外；（3）点在圆上 典例分析 例4：求过三点O(0,0)，M1 (1,1)，M2 (4,2)的圆的方程，并求圆心和半径 分析 解： 由前面的讨论可知，所求圆的圆心坐标是， 半径. 新知讲解—点与圆的位置关系 思考： 与P83页例2的方法比较，你有什么体会？ 都是用待定系数法求圆的方程，只是设的方程形式不同，待定的系数不同 待定系数法求圆的方程的步骤： 第 1 步 设：根据题意，设圆的标准方程或一般方程； 第 3 步 解：解方程组得到a，b，r或D，E，F的值； 第 4 步 代：代入圆的标准方程或一般方程，即可得解； 第 2 步 列：根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组； 巩固练习 练习 已知A(2,2)，B(5,3)，C(3,-1)： (1)求∆ABC的外接圆的一般方程；(2)若点M(a,2)在外接圆上,求a的值？ 解:(1)设∆ABC外接圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 即∆ABC的外接圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0. (2)∵点M(a，2)在∆ABC的外接圆上，∴a2＋22－8a－2×2＋12＝0， 即a2－8a＋12＝0，解得a＝2或6. 典例分析 例5：已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程. 分析：动点的运动轨迹是指动点的坐标满足的关系式．轨迹是指点在运动变化过程中形成的图形．在解析几何中，我们常常把图形看作点的轨迹（集合）． 典例分析 例5：已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程. 解： 典例分析 (1)设坐标：求谁的轨迹（方程），设谁的坐标为(x,y)； (2)列关系式：根据题设条件列关系式化简即可。 求轨迹方程 轨迹和轨迹方程的区别： 轨迹是指点在运动变化中形成的图形，比如直线、圆等. 轨迹方程是点的坐标满足的关系式. 巩固练习 练习： 解： 课堂总结 标准方程 一般方程 方程 代数特征 参数要求 圆心 半径 明确圆心和半径 ; 课堂总结 位置关系 标准方程判断 一般方程判断 点在圆上 (𝑥0－𝑎)2＋(𝑦0－𝑏)2___𝑟2 点在圆外 (𝑥0－𝑎)2＋(𝑦0－𝑏)2___𝑟2 点在圆内 (𝑥0－𝑎)2＋(𝑦0－𝑏)2___𝑟2 ＝ > < ＝ > < 点与圆的位置关系： 故圆心坐标为(－m，1)，半径r＝. 解得m<，即实数m的取值范围为. 解得 由题意，得 $