2.5直线和圆、圆和圆的位置关系讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系 【知识储备】 一.直线与圆的位置关系 1.直线与圆的位置关系： (1)直线与圆相交，有两个公共点； (2)直线与圆相切，只有一个公共点； (3)直线与圆相离，没有公共点. 2.直线与圆的位置关系的判定： (1)代数法： 判断直线与圆C的方程组成的方程组是否有解.如果有解，直线与圆C有公共点. 有两组实数解时，直线与圆C相交； 有一组实数解时，直线与圆C相切； 无实数解时，直线与圆C相离. (2)几何法： 由圆C的圆心到直线的距离与圆的半径的关系判断： 当时，直线与圆C相交； 当时，直线与圆C相切； 当时，直线与圆C相离. 二：圆的切线方程的求法 1．点在圆上，如图． 法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率 的乘积等于，即． 法二：圆心到直线的距离等于半径． 2．点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出k． 常见圆的切线方程： （1）过圆上一点的切线方程是； （2）过圆上一点的切线方程是. 三：求直线被圆截得的弦长的方法 1．应用圆中直角三角形：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法． 2．利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长． 四：圆与圆的位置关系 1.圆与圆的位置关系： (1)圆与圆相交，有两个公共点； (2)圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点； (3)圆与圆相离(内含或外离)，没有公共点. 2.圆与圆的位置关系的判定： (1)代数法： 判断两圆的方程组成的方程组是否有解. 有两组不同的实数解时，两圆相交； 有一组实数解时，两圆相切； 方程组无解时，两圆相离. (2)几何法： 设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为. 当时，两圆相交； 当时，两圆外切； 当时，两圆外离； 当时，两圆内切； 当时，两圆内含. 3.两圆公共弦长的求法有两种： 方法一：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长． 方法二：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长． 4．两圆公切线的条数 与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种． （1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条； （2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条； （3）两圆相交时，只有2条外公切线； （4）两圆内切时，只有1条外公切线； （5）两圆内含时，无公切线． 【题型精讲】 【题型一 直线与圆的位置关系】 【例1】（直线和圆位置关系的判断） (1)不含参：，； (2)含参：直线和圆的位置关系为（       ） A．相交 B．相切或相交 C．相离 D．相切 【例2】（圆上有1/2/3/4个点到直线l的距离为d0）（1）直线的方程为，则圆上到直线距离为1的点的个数为（    ） A．4 B．2 C．1 D．3 （2）若圆上恰有2个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D．[3，5] 【例3】设有一组圆，给出下列四个命题正确的是（    ） A．存在，使圆与轴相切 B．存在一条直线与所有的圆均相交 C．存在一条直线与所有的圆均不相交 D．所有的圆均不经过原点 【题型精练 】 1．为直线上一点，过总能作圆的切线，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．若经过点且半径大于1的圆与两坐标轴都相切，若该圆上至少有三个不同的点到直线的距离等于，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知圆，直线，则下列命题为真命题的是（    ） A．对任意实数和，直线和圆有公共点 B．对任意实数和，直线和圆相切 C．对任意实数，必存在实数，使直线和圆相切 D．对任意实数，必存在实数，使直线和圆相切 【题型二 直线与圆的弦长】 【例4】（弦长求解）已知直线与圆交于两点，则（    ） A． B． C． D． 【例5】（弦长最值）已知圆：，直线，直线与圆交于两点，最短弦长 . 【例6】（根据弦长求方程）已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆A相交于 (1)求圆的方程； (2)当时，求直线的方程． 【题型精练 】 1．已知直线与圆交于，两点，则（    ） A．线段的长度为定值 B．圆上总有4个点到的距离为2 C．线段的中点轨迹方程为 D．直线的倾斜角为 2．已知圆，直线，直线被圆所截的最短弦长 3．过点的直线与圆交于两点，当弦长最短时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 4．对于定点和圆：，下列说法正确的是（    ） A．点在圆内部 B．过点有两条圆的切线 C．过点被圆截得的弦长最大时的直线方程为 D．过点被圆截得的弦长最小值为 5．已知点，，点A关于直线的对称点为C. (1)求的外接圆的标准方程； (2)若过点的直线被圆E截得的弦长为2，求直线l的方程. 6．已知O为坐标原点，，平面内一点，满足．设的轨迹为曲线，直线与曲线相交于M、N两点，且． (1)求曲线C的方程； (2)若直线l过点A，求直线l的方程； (3)若直线，都过点A，它们互相垂直且分别交曲线C于E，F，G，H四点，求四边形面积的最大值． 【题型三 圆的切线问题】 【例7.1】（求切线方程——点在圆内）过圆上一点作圆的切线，则直线的方程为______． 【例7.2】（求切线方程——点在圆外）已知圆. (1)过点作圆的切线，求的方程； (2)若直线与圆相交于、两点，点，求的面积. 【例8】（切线长）（1）过直线上的点作圆的切线，则切线长的最小值为（    ） A． B． C． D． （2）过点作圆的两条切线，，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． （3）过圆外一点向圆O引两条切线和（其中A,B为切点），使得，则实数a,b满足的等量关系为 ，的取值范围为 ． 【例9】（直线与部分圆相切）已知直线与曲线有公共点，则实数k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例10】（与切线有关的代数类最值问题）已知直线，圆为圆上任意一点，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为5 B．的最大值为 C．圆心到直线的距离最大为4 D．直线与圆相切时， 【题型精练 】 1．已知点为圆的两条切线，切点分别为，则下列说法正确的是（    ） A．圆的圆心坐标为，半径为 B．切线 C．直线的方程为 D． 2．已知点是直线上一动点、是圆的两条切线，、是切点，若四边形的最小面积是，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．已知直线与曲线有且只有一个公共点，则实数的取值范围为 4．若关于的方程有且只有两个不同的实数根，则实数k的取值范围是 ． 5．已知圆，则（    ） A．点在圆内 B．若点在圆上，则的最大值为 C．若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则实数m的值为 D．若点P在直线上，点在圆上，，则的最小值为 6．已知是圆上任意一点，则的取值范围为 ． 7．若实数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 【题型四 圆与圆的位置关系】 【例11】已知点在直线上，若以P为圆心，以3为半径的圆与圆有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例12】（公共弦问题）圆和圆的交点为，则有（    ） A．公共弦所在直线方程为 B．线段中垂线方程为 C．公共弦的长为 D．为圆上一动点，则到直线距离的最大值为 【题型精练 】 1．已知圆为坐标原点，以为直径的圆与圆C交于两点，则下列结论正确的是（    ） A．直线的方程为 B． C．均与圆C相切 D．四边形的面积为 【题型五 两切点所在直线方程、隐圆问题】 【例13】（两切点所在直线方程）已知圆O的圆心为坐标原点，且与直线x+y+40相切，则圆O的方程为 ．若点P在直线x＝8上，过点P引圆O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，如图所示，则直线AB恒过定点 ． 【例14】（隐圆问题）（1）已知直线：与直线：相交于点，点是圆上的动点，则的最大值为 . （2）若圆C：上总存在两个点到原点的距离均为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型精练 】 1．已知⊙M：，直线l： ，P为l上的动点.过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，最小值是 ，此时直线AB的方程为 . 2．已知圆． (1)若直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程； (2)若直线过点与圆相交于，两点，求的面积的最大值，并求此时直线的方程； (3)若点是直线上的动点，过点分别作圆的两条切线，切点分别为，，求证：直线过定点． 3．如图，已知的圆心在原点，且与直线相切． (1)求的方程； (2)点P在直线上，过点P引的两条切线、，切点为A、B． ①求四边形面积的最小值； ②求证：直线过定点． 4．如图，已知圆C的方程为，且是直线：上的一个动点，过点作圆的两条切线，，切点分别为A，B，则线段长度的最小值为 .    5．若圆上总存在两个点到点的距离为2，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．过直线上一点作：的两条切线，切点分别为，，若使得的点有两个，则实数的取值范围为（   ） A． B． C．或 D．或 7．已知圆：和两点，，若圆上存在点，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型六 圆中最值问题】 【例15】（1）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点到两个定点的距离之比为常数（，且），那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆．若点到，的距离之比为，则点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． （2）已知是直线上一点，M，N分别是圆和上的动点，则的最小值是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【例16】已知点，动点满足，则取得最小值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【题型精练 】 1．已知点是坐标原点，点是圆上的动点，点，则当实数变化时，的最小值为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 2．已知点在圆上，点，则下列说法正确的是（     ） A．直线与圆相离 B．当最大时， C．点到直线的距离最大值为 D．点到直线的距离最小值为 3．已知直线，圆，点P为直线l上一点，点Q为圆C上一点，则下列选项正确的是（   ） A．直线l恒过定点 B．若圆C关于直线l对称，则 C．若直线l与圆C相切，则 D．当时，取y轴上一点，则的最小值为 【题型七 与圆有关大题】 1．若集合A表示由满足一定条件的全体直线组成的集合，定义：若集合A中的每一条直线都是某圆上一点处的切线，且该圆上每一点处的切线都是A中的一条直线，则称该圆为集合A的包络圆． (1)若圆是集合的包络圆． （ⅰ）求a，b满足的关系式； （ⅱ）若，求t的取值范围； (2)若集合的包络圆为C，P是C上任意一点，判断y轴上是否存在定点M，N，使得，若存在，求出点M，N的坐标；若不存在，请说明理由． 2．我国汉代初年成书的《淮南子毕术》中记载：“取大镜高悬，置水盆于下，则是四邻矣.”这是我国古代人民利用平面镜反射原理的首个实例，体现了传统文化中的数学智慧.而英国化学家、物理学家享利·卡文迪许从镜面反射现象中得到灵感，设计了卡文迪许扭秤实验测量计算出了地球的质量，他从而被称为第一个能测出地球质量的人.已知圆的半径为3，圆心在直线位于第一象限的部分上，一条光线沿直线入射被轴反射后恰好与圆相切. (1)直接写出的反射光线所在直线的方程； (2)求圆的方程； (3)点是圆与轴的公共点，一条光线从第一象限入射后与圆相切于点，并与轴交于点，其在点处被直线反射后沿着轴负方向传播，此时的面积恰好为，求直线的方程. 3．瑞士著名数学家欧拉在1765年得出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被称为“欧拉线”，在平面直角坐标系中作，且，点，点，圆是“欧拉线”上一点，过P可作圆的两条线切，切点分别为．则下列结论不正确的是（   ） A．的“欧拉线”方程为 B．圆M上存在点N，使得 C．四边形面积的最大值为4 D．直线恒过定点 4．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名，他发现；平面内到两个定点的距离之比为定值且的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，．点满足，设点所构成的曲线为． (1)求点的轨迹方程； (2)若，求点的轨迹的方程； (3)过作两条互相垂直的直线与点的轨迹分别交于和四点，求四边形面积的最大值． 2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系 【知识储备】 一.直线与圆的位置关系 1.直线与圆的位置关系： (1)直线与圆相交，有两个公共点； (2)直线与圆相切，只有一个公共点； (3)直线与圆相离，没有公共点. 2.直线与圆的位置关系的判定： (1)代数法： 判断直线与圆C的方程组成的方程组是否有解.如果有解，直线与圆C有公共点. 有两组实数解时，直线与圆C相交； 有一组实数解时，直线与圆C相切； 无实数解时，直线与圆C相离. (2)几何法： 由圆C的圆心到直线的距离与圆的半径的关系判断： 当时，直线与圆C相交； 当时，直线与圆C相切； 当时，直线与圆C相离. 二：圆的切线方程的求法 1．点在圆上，如图． 法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率 的乘积等于，即． 法二：圆心到直线的距离等于半径． 2．点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出k． 常见圆的切线方程： （1）过圆上一点的切线方程是； （2）过圆上一点的切线方程是. 三：求直线被圆截得的弦长的方法 1．应用圆中直角三角形：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法． 2．利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长． 四：圆与圆的位置关系 1.圆与圆的位置关系： (1)圆与圆相交，有两个公共点； (2)圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点； (3)圆与圆相离(内含或外离)，没有公共点. 2.圆与圆的位置关系的判定： (1)代数法： 判断两圆的方程组成的方程组是否有解. 有两组不同的实数解时，两圆相交； 有一组实数解时，两圆相切； 方程组无解时，两圆相离. (2)几何法： 设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为. 当时，两圆相交； 当时，两圆外切； 当时，两圆外离； 当时，两圆内切； 当时，两圆内含. 3.两圆公共弦长的求法有两种： 方法一：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长． 方法二：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长． 4．两圆公切线的条数 与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种． （1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条； （2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条； （3）两圆相交时，只有2条外公切线； （4）两圆内切时，只有1条外公切线； （5）两圆内含时，无公切线． 【题型精讲】 【题型一 直线与圆的位置关系】 【例1】（直线和圆位置关系的判断） (1)不含参：，； 答案：相交 (2)含参：直线和圆的位置关系为（       ） A．相交 B．相切或相交 C．相离 D．相切 答案：A 【例2】（圆上有1/2/3/4个点到直线l的距离为d0）（1）直线的方程为，则圆上到直线距离为1的点的个数为（    ） A．4 B．2 C．1 D．3 【答案】D 【分析】求出圆心和半径，得到到的距离为，从而得到到直线距离为1的点的个数为3. 【详解】，故圆心为，半径为3， 到的距离为， 又，故过点作垂直与圆交于点，在上取点，使得， 过点作⊥，交圆于点， 所以圆上到直线距离为1的点的个数为3，分别为. 故选：D （2）若圆上恰有2个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D．[3，5] 【答案】C 【分析】利用平行线间距离公式根据圆上满足题意的点的个数即可求得结果. 【详解】如图所示： 设与直线l行且与直线l之间的距离为1的直线方程为， 则，解得或， 圆心到直线的距离为， 圆到直线的距离为， 由图可知，圆与直线相交，与直线相离， 所以，即. 故选：C 【例3】设有一组圆，给出下列四个命题正确的是（    ） A．存在，使圆与轴相切 B．存在一条直线与所有的圆均相交 C．存在一条直线与所有的圆均不相交 D．所有的圆均不经过原点 【答案】ABD 【分析】根据圆的方程写出圆心坐标，半径，判断两个圆的位置关系，然后对各选项进行分析检验，从而得到答案. 【详解】圆的圆心，半径为， 对于A，当时，圆心到轴的距离等于其半径1，即圆与轴相切，A正确； 对于B，圆心始终在直线上，因此直线与所有的圆都相交，B正确； 对于C，当正整数无穷大时，半径远大于，此时可视为圆覆盖了坐标平面， 因此所有直线都与这个圆相交，C错误； 对于D，当时，若，，则原点在圆外； 若，，即，则原点在圆内， 因此所有的圆均不经过原点，D正确. 故选：ABD 【题型精练 】 1．为直线上一点，过总能作圆的切线，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意，直线与圆相切或相离，利用圆心到直线的距离列不等式求的最小值. 【详解】由题意，点为直线上一点，过总能作圆的切线， 可得直线与圆相切或相离， 则满足圆心到直线的距离，解得，即， 所以的最小值为. 故选：D. 2．若经过点且半径大于1的圆与两坐标轴都相切，若该圆上至少有三个不同的点到直线的距离等于，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由圆与两坐标轴相切和过点求出圆的方程，再由圆的对称性得到圆上至少有三个不同的点到直线的距离等于可转化为圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式列不等式求解即得. 【详解】由题意，可设圆心为，则半径为，则，圆的方程为， 因该圆经过点，则得，解得或（舍去）， 故圆的方程为：， 因该圆上至少有三个不同的点到直线的距离等于， 故圆心到直线的距离，即，解得. 故选：C. 3．已知圆，直线，则下列命题为真命题的是（    ） A．对任意实数和，直线和圆有公共点 B．对任意实数和，直线和圆相切 C．对任意实数，必存在实数，使直线和圆相切 D．对任意实数，必存在实数，使直线和圆相切 【答案】AC 【分析】由题设条件求出圆心到直线的距离，对于A，由直线与圆都经过原点即可判断；对于B,D,通过举例子排除B，通过分析时的范围可排除D，对于C，将距离公式利用辅助角公式化成，根据正弦型函数的有界性即可判断. 【详解】由圆的方程可知，圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为：. 对于A，因，故圆经过坐标原点，而直线经过原点， 故对任意实数和，直线和圆有公共点，即A正确； 对于B，当时，，此时直线与圆相交，故B错误； 对于C，由其中， 故对任意实数，必存在，直线和圆相交或相切，故C正确； 对于D，不妨取，则， 因对，都有，即恒成立，此时直线与圆相交，故D错误. 故选：AC. 【题型二 直线与圆的弦长】 【例4】（弦长求解）已知直线与圆交于两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】 【例5】（弦长最值）已知圆：，直线，直线与圆交于两点，最短弦长 . 【答案】 【分析】先求得直线所过定点，然后根据圆的几何性质求得最短弦长. 【详解】直线， 即， 由，解得，设， 由于，所以在圆内， 圆的圆心为，半径， 当时，最短， ，所以的最小值为. 故答案为： 【例6】（根据弦长求方程）已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆A相交于 (1)求圆的方程； (2)当时，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】(1)由题意知点到直线距离公式可确定圆A半径，带入到圆的标准方程可求得圆的方程； (2) 过A做，由垂径定理可知圆心到直线，设出直线，可分为斜率存在和斜率不存在两种情况，解之可得直线方程 【详解】（1）易知到直线的距离为圆A半径r， 所以， 则圆A方程为 （2）过A做,由垂径定理可知，且， 在中由勾股定理易知 当动直线斜率不存在时，设直线的方程为， 经检验圆心到直线的距离为，且根据勾股定理可知， 显然合题意， 当动直线斜率存在时，过点，设方程为：， 由到距离为知得， 代入解之可得， 所以或为所求方程． 【题型精练 】 1．已知直线与圆交于，两点，则（    ） A．线段的长度为定值 B．圆上总有4个点到的距离为2 C．线段的中点轨迹方程为 D．直线的倾斜角为 【答案】AC 【分析】对于A，先求出圆心到直线的距离，再利用弦、弦心距和半径的关系可求出弦的长；对于B，由于圆心到直线的距离为1，而圆的半径为，从而可得圆上只有2个点到直线的距离为2；对于C，由选项A可知圆心到直线的距离为1，即线段的中点到圆心的距离为1，从而可得结论；对于D，当时，设直线的倾斜角为，则，即，而当时，直线的倾斜角， 【详解】对于A，因为圆心到直线的距离，所以，所以A正确； 对于B，由于圆心到直线的距离为，而圆的半径为，所以圆上只有2个点到的距离为2，所以B错误； 对于C，由于圆心到直线的距离为，所以线段的中点到圆心的距离为1，所以线段的中点轨迹是以为圆心，1为半径的圆，即方程为，所以C正确； 对于D，当时，则，此时直线为，则直线的倾斜角为，满足；当时，由，得直线的斜率为，设直线的倾斜角为，则，即，当时，直线的倾斜角，而当时，直线的倾斜角，所以D错误， 故选：AC 2．已知圆，直线，直线被圆所截的最短弦长为 【答案】 【分析】求出直线所过的定点，并判断与圆的位置关系，再利用圆的性质及弦长公式计算即得. 【详解】圆的圆心，半径， 直线，由，解得， 则直线过定点，显然点在圆内，当时，直线被圆所截弦长最短， 而，所以最短弦长为. 故答案为： 3．过点的直线与圆交于两点，当弦长最短时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取中点为D，则.即要使最短，需使最长. 【详解】圆的圆心为，半径为2. 如图过M点，任做一直线交圆C于A，B两点，取A，B中点为D. 由垂径定理，有，则.得.故要使最短，需使最长. 注意到当过M，做CM垂线时，三角形CMD为直角三角形. 则，当且仅当时取等号. 故弦长最短时，直线的斜率等于， 用点斜式写出直线的方程为，即. 故选： 4．对于定点和圆：，下列说法正确的是（    ） A．点在圆内部 B．过点有两条圆的切线 C．过点被圆截得的弦长最大时的直线方程为 D．过点被圆截得的弦长最小值为 【答案】ACD 【分析】首先求出圆心坐标与半径，再求出，即可判断A、B，最长弦为过点的直径，最短弦为与最长弦垂直的弦，利用垂径定理、勾股定理计算可得，即可判断C、D； 【详解】解：圆：的圆心为，半径，又，所以，所以在圆内，故A正确； 因为点在圆内，所以过点不能作圆的切线，故B错误； 过点被圆截得的弦长最大，故过点的直径，即直线经过圆心，此时，所以直线方程为，即，故C正确； 当过点且与垂直时弦长最短，最短为，故D正确； 故选：ACD 5．已知点，，点A关于直线的对称点为C. (1)求的外接圆的标准方程； (2)若过点的直线被圆E截得的弦长为2，求直线l的方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）先利用点关于直线对称求得点的坐标，再利用待定系数法求得圆的一般方程，从而配方得解； （2）利用圆的弦长公式求得圆心到直线的距离，再分类讨论直线斜率存在与否，利用点线距离公式列式即可得解. 【详解】（1）依题意，设点， 因为点与点关于直线对称， 所以，解得，故， 设的外接圆的一般方程为， 则，解得， 则圆的一般方程为， 所以圆的标准方程为. （2）由（1）知，圆的圆心为，半径为， 因为直线被圆截得的弦长为2， 所以圆心到直线的距离为， 当直线斜率不存在时，直线方程为，易知满足题意； 当直线斜率存在时，设直线的方程为，即， 则，解得， 此时的方程为，即 综上，所求直线的方程为或. 6．已知O为坐标原点，，平面内一点，满足．设的轨迹为曲线，直线与曲线相交于M、N两点，且． (1)求曲线C的方程； (2)若直线l过点A，求直线l的方程； (3)若直线，都过点A，它们互相垂直且分别交曲线C于E，F，G，H四点，求四边形面积的最大值． 【答案】(1)； (2)或； (3)15. 【分析】（1）设，利用两点间距离公式列式化简即得. （2）利用圆的性质求出点到直线的距离，再按斜率存在与否分类求解. （3）利用圆的性质求得，再求出四边形面积关系，利用基本不等式求出最大值. 【详解】（1）设，由，得 化简得：，即， 所以曲线C的方程为. （2）由（1）知，曲线是以为圆心，为半径的圆， 由，得点到直线的距离， 点到直线的距离为1，因此直线的方程可以是； 当的斜率存在时，设的方程为，即， 由，解得，直线：， 所以直线l的方程或. （3）取线段的中点，当与点都不重合时，， 而，则四边形为矩形，， 当之一与点重合时，成立，因此， 而，， 则， 四边形的面积，当且仅当时取等号， 所以四边形面积的最大值15.    【题型三 圆的切线问题】 【例7.1】（求切线方程——点在圆内）过圆上一点作圆的切线，则直线的方程为______． 【答案】 【例7.2】（求切线方程——点在圆外）已知圆. (1)过点作圆的切线，求的方程； (2)若直线与圆相交于、两点，点，求的面积. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）讨论切线斜率是否存在设方程，利用相切时圆心到直线的距离等于半径列关系计算即得结果； （2）求出点到直线的距离和，即可求出的面积. 【详解】（1）由题意， 在圆中， ，圆心,半径, 由,可得点在圆外, 当过点的直线斜率存在时， 设直线方程为， 即, 则圆心到直线的距离为,解得：, ∴的方程为,即, 当过点的直线斜率不存在时, 的方程为,此时与圆相切, ∴的方程为或； 综上，的方程为：或 （2）由题意及（1）得， 设点到直线的距离为，中点为， ， 在中，， 由几何知识得，, ， 由勾股定理得，， ∴， ∴ 【例8】（切线长）（1）过直线上的点作圆的切线，则切线长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】要切线长最小，就要直线上的点到圆心的距离最小，则此最小值为圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再利用勾股定理可求出切线长的最小值. 【详解】圆的圆心为，半径为， 因为圆心到直线的距离， 所以切线长最小值为. 故选：B （2）过点作圆的两条切线，，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点点距离公式可得，即可由勾股定理求解，由三角形面积公式即可求解. 【详解】由可得， 所以,进而可得， 故，所以四边形的面积为， 故选：C （3）过圆外一点向圆O引两条切线和（其中A,B为切点），使得，则实数a,b满足的等量关系为 ，的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由题意可得，则，所以点表示以原点为圆心，半径为的圆，表示到直线距离的倍，先求出原点到直线距离，即可得出答案. 【详解】如图，易知：，由， 可得：，在中，， 所以，所以点表示以原点为圆心，半径为的圆， 表示到直线距离的倍， 而原点到直线距离为：， 所以到直线距离的最大值为， 最小值为， 所以. 故答案为：；. 【例9】（直线与部分圆相切）已知直线与曲线有公共点，则实数k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将问题化为直线与圆的上半部分有交点求参数范围即可． 【详解】解：曲线是圆的上半部分，且含端点， 由过定点，如下图： 由图知，当与半圆左上部相切时， 即且，可得， 结合图知：实数k的取值范围为：． 故选：D 【例10】（与切线有关的代数类最值问题）已知直线，圆为圆上任意一点，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为5 B．的最大值为 C．圆心到直线的距离最大为4 D．直线与圆相切时， 【答案】BD 【分析】根据直线和圆的位置关系、点和圆的位置关系，结合距离平方型、斜率型计算即可求解. 【详解】A:圆的方程可化为，则圆心为，半径.是圆上的点， 所以的最大值，故A错误； B：如图所示，当直线的斜率大于零且与圆相切时，最大， 此时，且，故B正确； C：圆心到直线的距离， 当时，， 当时，，故C错误； D：直线，即，过定点， 代入圆的方程得，则定点在圆外. 若直线与圆相切，则圆心到直线的距离为2， 即，解得，故D正确. 故选：BD 【题型精练 】 1．已知点为圆的两条切线，切点分别为，则下列说法正确的是（    ） A．圆的圆心坐标为，半径为 B．切线 C．直线的方程为 D． 【答案】AC 【分析】将圆的方程配方易得A项正确；利用圆的切线的性质和勾股定理易求得；设出切线方程，由圆心到切线的距离等于半径求出值，回代入直线方程与圆的方程联立，求出点的坐标，再利用斜率关系即可求得直线的方程；先判断，求出的正余弦，再求即得. 【详解】对于A项，由可得：，知圆心为,半径为， 故A项正确；    如图，点 为圆的两条切线, 切点分别为. 对于B项，分别连接,在中，,则,故B项错误； 对于C项，设过点的圆的切线方程为：，即：， 由圆心到直线的距离，解得：， 取，则切线方程为代入整理得：， 解得：，代入可得：，即得：， 因,直线的斜率为1，则直线的斜率为，故直线的方程为：，即：，故C项正确； 对于D项，由对称性可知,由上分析知，,则， 于是，.故D项错误. 故选：AC. 【点睛】思路点睛：本题主要考查直线与圆相切产生的切线长，直线方程和夹角问题，属于较难题. 解决此类题目的思路即是，作出图形，利用图形的几何性质，借助于直线与圆的方程联立，求出相关点坐标和相关角的三角函数值即可依次求得. 2．已知点是直线上一动点、是圆的两条切线，、是切点，若四边形的最小面积是，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出图形，可知，由四边形的最小面积是，可知此时取最小值，由勾股定理可知的最小值为，即圆心到直线的距离为，结合点到直线的距离公式可求出的值. 【详解】如下图所示，由切线长定理可得，又，，且，， 所以，四边形的面积为面积的两倍， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 四边形的最小面积是，所以，面积的最小值为， 又，， 由勾股定理， 当直线与直线垂直时，取最小值， 即，整理得，，解得. 故选：D. 【点睛】本题考查由四边形面积的最值求参数的值，涉及直线与圆的位置关系的应用，解题的关键就是确定动点的位置，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 3．已知直线与曲线有且只有一个公共点，则实数的取值范围为 【答案】或 【分析】结合曲线的图像，通过平移直线，即可求解. 【详解】曲线，即，表示一个半圆（单位圆位于轴及轴右侧的部分）． 如图，、、， 当直线经过点时，，求得； 当直线经过点、点时，，求得； 当直线和半圆相切时，由圆心到直线的距离等于半径，可得，求得，或（舍去）， 故要求的实数的取值范围为或. 故答案为：或. 4．若关于的方程有且只有两个不同的实数根，则实数k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】转化为半圆与直线的交点个数问题，利用数形结合法求解. 【详解】解：方程，即为， 令， 即表示以为圆心，以2为半径的半圆， 直线过定点P， 圆心到直线的距离等于半径为：，解得， 关于的方程有且只有两个不同的实数根， 即半圆于直线有且只有两个不同的交点， 由图象知：则实数k的取值范围是. 故答案为： 5．已知圆，则（    ） A．点在圆内 B．若点在圆上，则的最大值为 C．若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则实数m的值为 D．若点P在直线上，点在圆上，，则的最小值为 【答案】BCD 【分析】利用点圆位置关系的判定方法可判断A，将问题转化为直线与圆的位置关系，从而列式可判断B，将问题转化为圆心到直线的距离问题，从而列式可判断C，利用将军钦马问题，结合定点到圆上动点的距离问题可判断D，从而得解. 【详解】对于A，因为， 所以点在圆外，故A错误； 对于B，因为圆，可化为， 所以圆心，半径为， 设，则，又点在圆上， 所以直线与圆有交点， 即，解得， 所以的最大值为，故B正确； 因为圆上恰有三个点到直线的距离为1，而圆的半径为， 所以圆心到直线的距离为1， 即，解得，故C正确； 对于D，设关于直线的对称点为， 则，解得，则， 则， 而的最小值为， 所以， 当且仅当四点共线，且在线段时，等号成立， 则的最小值为. 故选：BCD. 6．已知是圆上任意一点，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】设，变形可得，利用的几何意义转化为直线与圆的位置关系即可求解． 【详解】设，变形可得， 则的几何意义为直线的斜率， 是圆上任意一点，圆心，半径为， 则，解得 ， 即的取值范围为. 故答案为：. 7．若实数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】设，当直线与圆相切时取得最值，然后可建立方程求解. 【详解】由可得，其表示的是圆心在，半径为的圆， 设，其表示的是点与点连线的斜率， 由可得， 当直线与圆相切时取得最值， 此时有，解得， 所以的最大值为， 故选：B 【题型四 圆与圆的位置关系】 【例11】已知点在直线上，若以P为圆心，以3为半径的圆与圆有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用两圆有公共点得到，进而利用两点距离公式得到关于的二次不等式，解之即可得解. 【详解】因为点在直线上， 所以，即，则， 因为圆可化为， 所以圆A的圆心为，半径为， 因为以P为圆心，以3为半径的圆与圆有公共点， 所以，即， 即，解得， 则，即，则. 故选：B. 【例12】（公共弦问题）圆和圆的交点为，则有（    ） A．公共弦所在直线方程为 B．线段中垂线方程为 C．公共弦的长为 D．为圆上一动点，则到直线距离的最大值为 【答案】BD 【分析】两圆方程作差后可得公共弦方程，从而可判断A；求出垂直平分线的方程判断B；利用垂径定理计算弦长判断C；求出圆到直线的距离的最大值判断D. 【详解】把两圆化为标准方程，圆的圆心，半径， 的圆心， 半径， 则有，即圆与圆相交， 对于A，将方程与相减， 得公共弦AB所在直线的方程为，即，A错误； 对于B，由选项A知，直线的斜率，则线段AB中垂线的斜率为， 而线段中垂线过点，于是线段AB中垂线方程为，即，B正确； 对于C，点到直线的距离为， 因此，C错误； 对于D，P为圆上一动点，圆心到直线的距离为， 因此点P到直线AB距离的最大值为，D正确. 故选：BD 【题型精练 】 1．已知圆为坐标原点，以为直径的圆与圆C交于两点，则下列结论正确的是（    ） A．直线的方程为 B． C．均与圆C相切 D．四边形的面积为 【答案】ABC 【分析】对A，将圆的方程化为标准方程，求解出圆心的坐标，则圆的标准方程可求，最后化为一般方程再联立两个圆的一般方程，通过相减消去得到直线的方程并判断；对B，利用弦长公式即可判断；对C，根据切线的定义进行判断；对D，根据结合线段长度求解出结果并判断. 【详解】对A，由圆，得， 则圆心，线段的中点坐标为， 则以为直径的圆的方程为， 整理得：， 即圆的方程为； 联立，两式作差可得：， 即直线的方程为，故A正确； 对B，圆心到直线 的距离为， 则，故B正确； 对C，∵在以为直径的圆上，∴， 由圆心与切点的连线与切线垂直，可得均与圆相切，故C正确； ∵，且，∴， ∴四边形的面积为，故D错误． 故选：ABC． 【题型五 两切点所在直线方程、隐圆问题】 【例13】（两切点所在直线方程）已知圆O的圆心为坐标原点，且与直线x+y+40相切，则圆O的方程为 ．若点P在直线x＝8上，过点P引圆O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，如图所示，则直线AB恒过定点 ． 【答案】 x2+y2＝16 （2，0） 【分析】根据点到直线的距离等于半径，即可求出圆的方程；写出以OP为直径的圆，则AB是两圆的公共弦，作差即可求出直线方程，即可求解定点 【详解】根据题意得：圆心到直线的距离， ∴， ∴圆的方程为：． （）连接，， ∵，是圆的两条切线，∴，， ∴，在以为直径的圆上， 设点的坐标为，，则线段的中点坐标为， ∴以为直径的原方程为：，， 化简得：，， ∵为圆和的公共弦， ∴直线的方程为：，， 即， ∴直线恒过定点． 故答案为：；． 【例14】（隐圆问题）（1）已知直线：与直线：相交于点，点是圆上的动点，则的最大值为 . 【答案】 【分析】由直线：恒过定点，直线：恒过定点，且，可知在以为直径的圆上，要求的最大值，转化为在上找上一点，使最大，结合圆的性质即可求解 【详解】解：因为直线：恒过定点，直线：恒过定点，且， 所以两直线的交点在以为直径的圆上，且圆的方程为， 要求的最大值，转化为在上找上一点，在上找一点，使最大， 根据题意可知两圆的圆心距为， 所以的最大值为， 故答案为： （2）若圆C：上总存在两个点到原点的距离均为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将问题转化为圆与圆的位置关系问题，再求解参数即可. 【详解】到原点的距离为的点的轨迹为圆：， 因此圆C：上总存在两个点到原点的距离均为， 转化为圆：与圆C：有两个交点， 因为两圆的圆心和半径分别为，，，， 所以，故，解得或， 故实数a的取值范围是，故A正确. 故选：A 【题型精练 】 1．已知⊙M：，直线l： ，P为l上的动点.过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，最小值是 ，此时直线AB的方程为 . 【答案】 【分析】第一空根据图形面积关系即可求得最小值 第二空利用两圆公共弦所在直线方程即可求解 【详解】由已知得 可知圆心为，半径为 如图 易知四边形面积为，要使最小， 故四边形面积最小，即面积最小，只需最小. 又因为， 故只需要最小，因为 所以，此时四边形面积为，故 如图： 直线方程为，由 得， 以为圆心，为半径所在圆方程为： ⊙M：，两式相减得： 故答案为：4， 2．已知圆． (1)若直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程； (2)若直线过点与圆相交于，两点，求的面积的最大值，并求此时直线的方程； (3)若点是直线上的动点，过点分别作圆的两条切线，切点分别为，，求证：直线过定点． 【答案】(1)或 (2)或 (3)证明见解析. 【分析】（1）讨论直线方程斜率不存在时，根据直线与圆相交弦长公式求弦长，检验是否符合；直线斜率存在时，设直线方程，根据直线与圆相交弦长公式，求出参数的值，即得直线的方程； （2）设直线的方程，求出圆心到直线的距离，进而求出弦长的表达式，代入面积公式中，由二次函数的最值求出其最大值，进而求出参数的值，求得直线的方程； （3）设点，，可得以为圆心，为半径的圆的方程，则线段为该圆与圆相交形成的相交弦，两圆方程作差可得直线的方程，即可求得直线过定点. 【详解】（1）解：圆，圆心，半径 当直线的斜率不存在时，的方程为：，此时圆心到直线的距离， 则相交弦长为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设的方程为：，即 此时圆心到直线的距离，则相交弦长为，解得： 所以此时直线的方程为：，即. 综上，直线的方程为或. （2）解：在圆外，显然直线的斜率存在， 设直线的方程为：，则圆心到直线的距离， 所以弦长， 所以， 当时最大，即，即，解得或， 的最大值为1， 所以直线的方程为：或． （3）解：如图，连接 设点， 以为圆心，为半径的圆的方程为① 又②，则线段为两圆相交弦， 故由①②得为直线的方程，即 所以，解得 直线过定点. 3．如图，已知的圆心在原点，且与直线相切． (1)求的方程； (2)点P在直线上，过点P引的两条切线、，切点为A、B． ①求四边形面积的最小值； ②求证：直线过定点． 【答案】(1)； (2)①；②证明见解析． 【分析】（1）求出圆心到切线的距离得圆半径，从而得圆标准方程； （2）①由勾股定理求得切线长，由求得四边形面积，由此得当最小时，四边形面积最小，从而得结论；②A，B在以OP为直径的圆上，设点P的坐标为（8，b），，写出此圆方程，此圆方程与已知圆方程相减公共弦所在直线方程，由直线方程得定点坐标． 【详解】（1）依题意得：圆心（0，0）到直线x+3y+40的距离d＝r， ∴， ∴圆C的方程为x2+y2； （2）①解：连接OA，OB， ∵PA，PB是圆C的两条切线， ∴OA⊥AP，OB⊥BP， ∴． ∴当PO取最小值为8时，； ②证明：由①得，A，B在以OP为直径的圆上， 设点P的坐标为（8，b），， 则线段OP的中点坐标为（4，）， ∴以OP为直径的圆方程为， 即x2+y2﹣8x﹣by＝0． ∵AB为两圆的公共弦， ∴由得直线AB的方程为 ，b∈R，即8(x)+by＝0， 则直线AB恒过定点(，0)． 4．如图，已知圆C的方程为，且是直线：上的一个动点，过点作圆的两条切线，，切点分别为A，B，则线段长度的最小值为 .    【答案】 【分析】利用切线的性质确定P，A，C，B四点共圆，设P坐标表示该圆心坐标，从而写出圆的标准方程，根据两圆公共弦方程得出方程，由点到直线的距离公式及二次函数的性质计算最值即可. 【详解】显然P，A，C，B四点共圆，且为该圆的一条直径.设这四点所在圆的圆心为Q，而P在直线：上， 设，由，可知， 又，则圆的方程为， 即①， 又圆的半径，圆的方程可化为②， 由①-②可得圆与圆的公共弦所在直线的方程， 点到直线的距离， ∴ ， ∴时，线段的长度取得最小值. 故答案为： 5．若圆上总存在两个点到点的距离为2，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将问题转化为圆与相交，从而可得，进而可求出实数的取值范围． 【详解】到点的距离为2的点在圆上， 所以问题等价于圆上总存在两个点也在圆上， 即两圆相交，故， 解得或， 所以实数的取值范围为， 故选：A． 6．过直线上一点作：的两条切线，切点分别为，，若使得的点有两个，则实数的取值范围为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】由切线长及勾股定理可得，可得点轨迹方程为一个圆，结合点在直线上，进而可得此圆与直线相交，由列式求解即可. 【详解】如图所示， 由题意知，的圆心，半径，设， 因为，， 所以点轨迹方程为， 又因为点在直线上，且使得切线长的点有两个， 所以与相交， 又因为圆心到直线距离为， 所以，即，解得. 故选：A. 7．已知圆：和两点，，若圆上存在点，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由得点在以为直径的圆上，又点在圆上，可得以为直径的圆与圆有公共点，根据圆与圆的位置关系，即可求出的取值范围. 【详解】，，， 所以在以为直径的圆上，其圆心为坐标原点，半径为 又点在圆上，所以以为直径的圆与圆有公共点， 圆：，圆心，半径为， 所以，解得. 故选：C. 【点睛】本题考查圆与圆的位置关系，确定点的轨迹是解题的关键，属于中档题. 【题型六 圆中最值问题】 【例15】（1）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点到两个定点的距离之比为常数（，且），那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆．若点到，的距离之比为，则点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出点的轨迹方程，数形结合得到最小距离为圆心到直线的距离减去半径，结合点到直线距离公式求出答案. 【详解】设，则，化简得， 即点的轨迹方程为以为圆心，为半径的圆， 则点到直线的距离的最小值为圆心到直线的距离减去半径， 即，点到直线的距离最小值为. 故选：A （2）已知是直线上一点，M，N分别是圆和上的动点，则的最小值是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】先由两圆的标准方程，求出圆心和半径，然后判断两圆与直线的位置关系，求出圆心关于直线的对称点，则当，，三点共线且经过两圆圆心时，取最小值，求解即可． 【详解】圆，则圆心， 圆，则圆心， 两圆心在直线的同侧.又圆心到直线的距离， 圆心到直线l的距离， 则两圆在直线l的同侧且与直线相离，如图所示，设圆心关于直线的对称点为，则，解得，所以， ， 当且仅当三点共线时等号成立；即的最小值为． 故选：D. 【例16】已知点，动点满足，则取得最小值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由，得点轨迹方程，，故当且仅当三点共线，且点在之间时，取得最小值，点轨迹方程与直线联立方程组，求出点的坐标即可. 【详解】设，由，得，化简得， 由，得，所以， 故当且仅当三点共线，且点在之间时，取得最小值， 此时线段的方程为，由并结合， 解得故此时点的坐标为. 故选：C. 【题型精练 】 1．已知点是坐标原点，点是圆上的动点，点，则当实数变化时，的最小值为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】C 【分析】根据圆的方程，整理可得圆心和半径，结合动点可得其轨迹方程，根据轴对称结合图象，可得答案. 【详解】由，则其轨迹为直线， 由圆，整理可得圆， 可得圆心，半径， 设圆心关于直线成轴对称的对称点， 则线段的中点为，直线的斜率， 可得，解得，即， 结合题意，作图如下： 由圆与圆关于直线成轴对称，则， 由图可知， 故选：C. 2．已知点在圆上，点，则下列说法正确的是（     ） A．直线与圆相离 B．当最大时， C．点到直线的距离最大值为 D．点到直线的距离最小值为 【答案】BC 【分析】写出直线方程，根据圆心到该直线距离判定直线与圆位置，数形结合判断最大时的位置，即可判断各项的正误. 【详解】由题意，，即， 又的圆心为，半径为， 所以到的距离为，故直线与圆相交，A错； 要使最大，只需与圆相切，则，B对； 由A分析知，点到直线的距离，最大值为，最小值为，C对，D错. 故选：BC. 3．已知直线，圆，点P为直线l上一点，点Q为圆C上一点，则下列选项正确的是（   ） A．直线l恒过定点 B．若圆C关于直线l对称，则 C．若直线l与圆C相切，则 D．当时，取y轴上一点，则的最小值为 【答案】ACD 【分析】对于A，看出关于的多项式恒等于0即可判断；对于B，把圆心坐标代入已知直线即可判断；对于C，根据圆心到直线的距离等于半径列方程即可判断；对于D，找对称点，转换为将军饮马模型即可求解. 【详解】解：对于A，直线l：k，即， 令，则，解得，， 所以直线|恒过定点，故A正确; 对于B，若圆C关于直线l对称，则直线l过圆心， 所以，解得，故B错误; 对于C，若直线与圆C相切，则圆心到直线的距离等于半径1， 即，解得，故C正确; 对于D，当时，直线，点关于直线l的对称点， 则有，解得，即， 所以的最小值为，故D正确. 故选：ACD. 【题型七 与圆有关大题】 1．若集合A表示由满足一定条件的全体直线组成的集合，定义：若集合A中的每一条直线都是某圆上一点处的切线，且该圆上每一点处的切线都是A中的一条直线，则称该圆为集合A的包络圆． (1)若圆是集合的包络圆． （ⅰ）求a，b满足的关系式； （ⅱ）若，求t的取值范围； (2)若集合的包络圆为C，P是C上任意一点，判断y轴上是否存在定点M，N，使得，若存在，求出点M，N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ）. (2)，或， 【分析】（1）（i）根据所给新定义，利用圆心到直线距离等于半径得解； （ii）转化为圆与直线有公共点列出不等式求解即可； （2）根据新定义，可得出圆的方程，再设轴上存在定点，，使得，化简可知方程有解，求解即可得出点的坐标. 【详解】（1）（ⅰ）因为圆：是集合的包络圆， 所以圆心到直线的距离为2， 所以 . （ⅱ）由及，可得圆与直线有公共点， 所以 . 所以的取值范围是. （2）设，由题意可知：点到直线的距离是与无关的定值， 所以为无关的定值. 所以，故，此时. 所以圆：. 设，则即. 假设轴上存在点、，使得， 即 ， 即恒成立， 所以，解得或. 所以，或，. 【点睛】关键点点睛：解决此类题目，关键在于理解所给的新定义，利用新定义去解决问题，对能力要求较高. 2．我国汉代初年成书的《淮南子毕术》中记载：“取大镜高悬，置水盆于下，则是四邻矣.”这是我国古代人民利用平面镜反射原理的首个实例，体现了传统文化中的数学智慧.而英国化学家、物理学家享利·卡文迪许从镜面反射现象中得到灵感，设计了卡文迪许扭秤实验测量计算出了地球的质量，他从而被称为第一个能测出地球质量的人.已知圆的半径为3，圆心在直线位于第一象限的部分上，一条光线沿直线入射被轴反射后恰好与圆相切. (1)直接写出的反射光线所在直线的方程； (2)求圆的方程； (3)点是圆与轴的公共点，一条光线从第一象限入射后与圆相切于点，并与轴交于点，其在点处被直线反射后沿着轴负方向传播，此时的面积恰好为，求直线的方程. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用对称性质求出反射光线所在直线的方程. （2）设出圆心坐标，利用切线性质，结合点到直线距离公式求出圆心坐标即得. （3）由（2）求出点坐标，设出点坐标，利用直角三角形边角关系、切线长定理及三角形面积公式求出点坐标，再借助光的反射性质求出直线的方程. 【详解】（1）设的反射光线所在直线上任意点为，则该点关于轴对称点在直线上， 所以的反射光线所在直线的方程为. （2）设点，而圆与直线相切，且圆半径为3， 则，即， 整理得或，又点在第一象限，即，因此，点， 所以圆的方程为. （3）由（2）知，点到轴距离为3，即轴与圆相切于点， 由一条光线从第一象限入射后与圆相切于点，并与轴交于点，得点在点的右侧， 设，则，连接，， ，， 又， 整理得，解得，即点， 直线的斜率为，由光的反射性质知，，则直线的斜率为， 直线的方程为，即. 3．瑞士著名数学家欧拉在1765年得出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被称为“欧拉线”，在平面直角坐标系中作，且，点，点，圆是“欧拉线”上一点，过P可作圆的两条线切，切点分别为．则下列结论不正确的是（   ） A．的“欧拉线”方程为 B．圆M上存在点N，使得 C．四边形面积的最大值为4 D．直线恒过定点 【答案】ABD 【分析】由题意求出中点为的坐标，根据欧拉线的定义求出欧拉线的方程即直线的方程，再利用圆和圆的切线的性质判断各选项. 【详解】设中点为，因为,所以, 因为，所以， 且，所以， 由题意可得欧拉线为直线，则欧拉线的方程为， 即，故A正确; 由圆的切线性质可得， 设，则， 在中， 由二次函数的性质得当时，取最小值， 所以，即的最大值为， 所以,所以圆M上存在点N，使得,故B正确: 由圆的切线的定义可知, 所以, 又因为，且， 所以即四边形面积的最小值为4，故C错误; 设，因为， 所以四点共圆，其中为直径，设PM中点， 则， 所以圆为， 所以为圆和圆的相交弦，两圆方程相减得方程为， 即，由，解得过定点，故D正确. 故选：ABD. 4．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名，他发现；平面内到两个定点的距离之比为定值且的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，．点满足，设点所构成的曲线为． (1)求点的轨迹方程； (2)若，求点的轨迹的方程； (3)过作两条互相垂直的直线与点的轨迹分别交于和四点，求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3)7 【分析】（1）设点，由题设等式代入点的坐标，整理即得点的轨迹方程； （2）设点，由代入点的坐标，整理得，将其代入方程即得点的轨迹方程； （3）结合图形，过点分别作于点，作于点，记，可推得，再利用垂径定理，用表示弦长和，根据基本不等式，即可求得四边形面积的最大值. 【详解】（1）设，由可得：， 两边取平方，整理得：，即. 故点的轨迹方程为：； （2）设点，由，可得， 即则有（*）， 因点在圆上，故有， 将（*）代入上式得：，即. 故点的轨迹的方程为：； （3） 如图，过点分别作于点，作于点，记， 因,且，即得矩形,故有. 由图知, 则四边形面积为, 因，故， 由基本不等式，， 当且仅当，等号成立， 即当时，四边形面积取得最大值为7. 学科网（北京）股份有限公司 $