18.4 第1课时 负整数指数幂（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（人教版2024）

18.4 整数指数幂 第 1 课时 负整数指数幂 第十八章 分式 人教版八年级(上) 1 1. 知道负整数指数幂 (a≠0，n 是正整数). (重点) 2.了解整数指数幂的意义和基本性质，会用文字和符号语言表述整数指数幂的基本性质，能根据整数指数幂的基本性质进行幂的运算. (难点) 3. 通过探索负整数指数幂的运算性质，体会从特殊到一般是研究数学的一个重要方法，培养抽象、归纳的能力. 素养目标 正整数指数幂运算 同底数幂的乘法 m，n 是正整数 幂的乘方 m，n 是正整数 积的乘方 n 是正整数 同底数幂的除法 a≠0，m，n 是正整数且 m > n 商的乘方 b≠0，n是正整数 运算法则 指数的取值范围 复习导入 幂的符号的演变经历了漫长的时间，a²，a3，a4 的一些表示如图所示. 17世纪 哈里奥特(Harriot，1560—1621) Δγ,Κγ,ΔγΔ 3世纪 丟番图 Aq,Acu,Aqq 韦达(Vietè，1540—1603) 16世纪 aa,aaa,aaaa a2,a3,a4 笛卡儿 1637年 情境导入 an 这种幂的符号不仅简明、利于运算，而且有助于幂的运算的推广. 1676 年，牛顿提出了一个设想：“因为数学家将 aa，aaa，aaaa，··· 写成 a2，a3，a4，…，所以我将 写成 a－1，a－2，a－3，···.” 牛顿 (Newton，1643—1727) 你认为牛顿的这个设想合理吗? 情境导入 探究点一：负整数指数幂 思考： 在 am÷an 中，当 m = n 时，产生 0 次幂，那么当 m < n 时，会出现怎样的情况呢？试着举例证明. 例如：53÷55 ＝ ＝ ， 53－5 5－2 或 53÷55 ＝ ＝ ， 发现： 新知探究 讨论：将数字换成字母，算一算“a3÷a5＝？”，你发现了什么？ a3÷a5 ＝a3－5＝a－2， (a≠0) 总结：我们想到如果规定 (a≠0)，就能使“am÷an = am－n ”这条性质也适用于像 a3÷a5 这样的情形. 探究点一：负整数指数幂 新知探究 负整数指数幂的意义 一般地，我们规定：当 n 是正整数时， 这就是说，a－n (a≠0) 是 an 的倒数. a-n (a≠0) 属于分式 探究点一：负整数指数幂 新知探究 深入思考：你现在能说出当 m 分别是正整数、0、负整数时，am 各表示什么意思吗？ 对于 am ，设 a≠0，则 m 为 0 时，am＝1； m 为正整数时，am＝am； m 为负整数时， 探究点一：负整数指数幂 新知探究 例1 计算：6－² ＝ ； －2－² ＝ ； (－2)－3 ＝ ； 27 b－4 ＝ (b≠0). 探究点一：负整数指数幂 新知探究 【想一想】引入负整数指数幂后，指数的取值范围就推广到全体整数. 那么前面提到的正整数指数幂运算性质是否可以推广到整数指数幂？ 探究点二：整数指数幂 新知探究 【合作探究】am · an = am + n (m，n 都是正整数)这条性质能否推广到 m，n 是任意整数的情形？ 运算过程 结果 a3 · a -5 a-3 · a -5 a0 · a -5 a3 + (-5 ) a(-3 ) + (-5 ) a0 + (-5 ) 探究点二：整数指数幂 新知探究 【归纳总结】 am· an = am+n 这条性质对于m，n是任意整数的情形仍然使用. 其他性质动手验算下！ 探究点二：整数指数幂 新知探究 同底数幂的乘法 m，n 是整数 幂的乘方 m，n 是整数 积的乘方 n 是整数 同底数幂的除法 a≠0，m，n 是整数 商的乘方 b≠0，n是整数 运算法则 指数的取值范围 【归纳总结】 探究点二：整数指数幂 新知探究 例2 计算： ； 解： 注意 计算结果一般需化为正整数幂的形式. . . 探究点二：整数指数幂 新知探究 解： 对于(1) (2)问还有其他的解法吗？ 探究点二：整数指数幂 新知探究 即同底数幂的除法可以转化为同底数幂的乘法. 即商的乘方可以转化为积的乘方. am÷an = am · a-n (a≠0). 探究点二：整数指数幂 【合作探究】 新知探究 (1) am · an = am+n ( m，n 都是整数)； (2) (am)n = amn ( m，n 都是整数)； (3) (ab)n = anbn ( n 是整数). 整数指数幂的运算性质可以归结为： 探究点二：整数指数幂 新知探究 例3 若 (x－3)0 －2(3x－6)－2 有意义，则 x 的取值范围是什么? 解：若 (x－3)0 有意义， 则 x－3≠0，即 x≠3. 若 (3x－6)－2 有意义，则 3x－6≠0，即 x≠2. 所以 x≠3 且 x≠2. 探究点二：整数指数幂 新知探究 【针对训练】1. 若 a = ，b = (-1)-1，c = ，则 a，b，c 的大小关系是（ ） A．a＞b＝c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a B 解析：a = = = ，b = (-1)-1 = -1， c = = 1，∴ a＞c＞b. 探究点二：整数指数幂 新知探究 整数 指数幂 1. 零指数幂：当 a ≠ 0 时，a0 = 1 3. 整数指数幂的运算性质： (1) am· an = am+n (m，n 为整数) (2) (ab)m = ambm (m 为整数) (3) (am)n = amn (m，n 为整数) 2. 负整数指数幂：当 n 是正整数时， a-n＝ (a ≠ 0) 课堂小结 1. 计算： (1)(－2)－3×3＝ ⁠； (2)｜－2｜－()－1＝ 　 　； (3)(－3)－5÷33＝ ⁠； (4)2－(π－2025)0＋2－2＝ ⁠. － 　 　 － 　 　 当堂反馈 2. 计算： (1)()－2·()2； 解：原式＝ · ＝ . (2)a－2b3·(a2b－2)－3； 解：原式＝a－2b3·a－6b6＝a－8b9＝ . 解：原式＝ · ＝ . 解：原式＝a－2b3·a－6b6＝a－8b9＝ . (3)(3×10－5)3÷(3×10－6)2. 解：原式＝(27×10－15)÷(9×10－12)＝3×10－3＝ . 当堂反馈 ∴ -2n＝-8，2m＝6. ∴ n＝4，m＝3. ∴ m - n ＝-1. . 3. 当堂反馈 $