16.2 第3课时 多项式与多项式相乘（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（人教版2024）

16.2 整式的乘法 第3课时 多项式与多项式相乘 第 16 章 整式的乘法 人教版八年级(上) 1 1. 理解多项式与多项式的乘法运算法则，会进行简单的整式乘法运算. (重点) 2. 经历探索多项式与多项式相乘的运算过程，体会分配律和转化思想在代数运算中的应用. (难点) 3. 应用多项式与多项式相乘的法则解决一些简单的实际问题，培养良好的探究意识与合作交流的能力，体会整式运算的应用价值. 素养目标 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． 1. 单项式乘多项式的计算方法？ 2. 单项式乘多项式有哪些注意事项？ (1) 在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于 各因式系数的积； (2) 注意按顺序运算； (3) 不要漏掉只在一个单项式里含有的字母因式. 复习导入 (1) 3a(5a - 2b)； (2) (x - 3y)(-6x)； 解：3a(5a - 2b) = 3a · 5a - 3a · 2b = 15a2 - 6ab (x - 3y)(-6x) = x · (-6x) - 3y · (-6x) = -6x2 + 18xy 计算： 复习导入 探究点：多项式与多项式相乘 问题1：为了扩大街心花园的绿地面积，把一块原长 a m ，宽 p m 的长方形绿地，加长了 b m，加宽了 q m.你能用几种方法求出扩大后的面积？ b a p q 分组从多角度去探讨扩大后的绿地面积 新知探究 b a p q 思路一：从图形上看 ap bp aq bq 从表格中可以得到什么？ 扩大后的面积 (a + b)(p + q) ap + aq + bp + bq ＝ 整体 部分 探究点：多项式与多项式相乘 新知探究 思路二：数量关系 扩大后的面积＝扩大后的长×扩大后的宽 (p + q) (a + b) × 问题：根据思路一可知 (a + b)(p + q)＝ap + aq + bp + bq，那么思路二的计算结果是否同样满足？ 多项式 多项式 多项式×多项式 单项式×多项式 转化 猜测：满足. 探究点：多项式与多项式相乘 新知探究 (a + b)×(p + q) 整体 ＋ ＝a ( p + q ) b ( p + q ) 单项式×多项式 ＝ ap + aq + bp + bq ∴ ( a + b )( p + q )＝ap + aq + bp + bq，等式成立. 验证：(a + b)(p + q)＝ap + aq + bp + bq 成立. 从图形上的结果＝从数量关系的结果 探究点：多项式与多项式相乘 新知探究 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的_______乘另一个多项式的_______，再把所得的积_____. 多项式乘多项式乘法法则 每一项 每一项 相加 ( a + b )( p + q )＝ ap + aq + bp + bq 探究点：多项式与多项式相乘 新知探究 例1 计算： (1) (a＋3)(a-2)； (2) (3x＋1)(x＋2)；　 (3) (x -8y)(x-y)；　 (4) (a＋b)(a2-ab＋b2)． 解：(1)(a＋3)(a-2) = a·a+a·(-2)+3·a+3×(-2) = a2 - 2a + 3a - 6 = a2 + a-6 (2)(3x＋1)(x＋2) ＝(3x)·x＋(3x)×2＋1·x＋1×2 ＝3x2＋6x＋x＋2 ＝3x2＋7x＋2 探究点：多项式与多项式相乘 新知探究 (3) (x - 8y)(x - y) ＝x2 - xy - 8xy＋8y2 ＝x2 - 9xy＋8y2； (4) (a＋b)(a2 - ab＋b2) ＝a3 - a2b＋ab2＋a2b-ab2＋b3 ＝a3＋b3. 思考：在多项式相乘的运算时，应该注意什么问题？ 1. 运算中不遗漏和不重复乘任何一项； 2. 多项式与多项式相乘，结果仍得多项式，但必须是最简形式，即不再含有同类项. 3. 多项式中每一项都包含它前面的符号，确定积中每一项的符号至关重要. 探究点：多项式与多项式相乘 新知探究 【练一练】1.计算： (1) (x + y)2； (2) (a - 3b)(a + 3b)； 解：(1) (x + y)2 = x · (x + y) + y · (x + y) = x2 + xy + xy + y2 = x2 + 2xy + y2. = (x + y)(x + y) 解：(2) (a - 3b)(a + 3b) = a · (a + 3b) - 3b · (a + 3b) = a2 + 3ab - 3ab - 9b2 = a2 - 9b2. 探究点：多项式与多项式相乘 新知探究 2. 已知 ax2＋bx＋1 (a≠0) 与 3x＋1 的积不含 x2 项，也不含 x 项，求系数 a，b 的值． 解：(ax2＋bx＋1)(3x＋1) ＝3ax3＋(a＋3b)x2＋(b＋3)x＋1. ∵ 积不含 x2 项，也不含 x 项， ∴ a＋3b＝0 ， b＋3＝ 0 . a＝9 ， b＝-3 . 解方程组得 ＝3ax3＋3bx2＋3x＋ax2＋bx＋1 探究点：多项式与多项式相乘 新知探究 例2 如图，某小区有一块长为 (2a + 3b) ，宽为 (3a + 2b) 的长方形地块，物业公司计划在小区内修一条平行四边形的小路，小路的底边宽为 a ，将阴影部分进行绿化 . 3a+2b 2a+3b a (1) 用含有 a、b 的式子表示绿化的总面积 S ； (2) 若a = 3，b = 6 求出此时绿化的总面积 S ． 探究点：多项式与多项式相乘 新知探究 解：(1) S＝(3a＋2b)(2a＋3b－a) 3a+2b 2a+3b a ＝(3a＋2b)(a＋3b) ＝3a2＋11ab＋6b2. (2) 当 a = 3，b = 6 时， S＝3×32＋11×3×6＋6×62＝441. 答：当 a = 3，b = 6 时，S＝441. 探究点：多项式与多项式相乘 新知探究 整式的 乘法 单项式乘单项式 单项式乘多项式 多项式乘多项式 转 化 转 化 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的_______乘另一个多项式的_______，再把所得的积_____. 每一项 每一项 相加 课堂小结 1. 计算：(1)(x－5)(x－1)＝ ⁠； (2)(2s＋t)(s－3t)＝ ⁠. x2－6x＋5　 2s2－5st－3t2　 2. (1) 已知(x＋2)(2x－3)＝2x2＋mx－6， 则常数m的值为 ⁠； (2) 若(x＋m)(x＋3)的展开式中不含x的一次项， 则常数m的值为 ⁠； (3)[整体思想]已知(x－1)(x－2)＝2， 则2x2－6x＋4＝ ⁠. 1　 －3　 4　 当堂反馈 3. 计算：(1)(2a＋1)(a＋2)； 解：原式＝2a2＋4a＋a＋2＝2a2＋5a＋2. (2)(4y－1)(5－y)； 解：原式＝20y－4y2－5＋y＝－4y2＋21y－5. (3)(m＋5n)(2m－n)； 解：(1) 原式＝2a2＋4a＋a＋2＝2a2＋5a＋2. (2) 原式＝20y－4y2－5＋y＝－4y2＋21y－5. (3) 原式＝2m2－mn＋10mn－5n2＝2m2＋9mn－5n2. 当堂反馈 4. 先化简，再求值： (1)(x＋1)(x－1)＋x(3－x)，其中x＝2； 解：原式＝x2－x＋x－1＋3x－x2＝3x－1. 当x＝2时，原式＝3×2－1＝5. (4)(2x＋3y)(3x－2y)； 解：原式＝6x2＋9xy－4xy－6y2＝6x2＋5xy－6y2. (5)(x－1)(x2＋x＋1). 解：原式＝x3＋x2＋x－x2－x－1＝x3－1. (4) 原式＝6x2＋9xy－4xy－6y2＝6x2＋5xy－6y2. (5) 原式＝x3＋x2＋x－x2－x－1＝x3－1. 当堂反馈 (2) (a－2b)(a2＋2ab＋4b2)－a(a－5b)(a＋3b)， 其中a＝－1，b＝1.原式＝－8＋2－15＝－21. 解：原式＝a3＋2a2b＋4ab2－2a2b－4ab2－8b3－ (a2－5ab)(a＋3b) ＝－8b3＋2a2b＋15ab2. 当a＝－1，b＝1时，原式＝－8＋2－15＝－21. ＝a3－8b3－a3－3a2b＋5a2b＋15ab2 当堂反馈 $