15.3.2 第1课时 等边三角形的性质和判定（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（人教版2024）

null15.3.2 等边三角形 第 1 课时 等边三角形的性质和判定 第15章 轴对称 人教版八年级(上) 1. 探索等边三角形的性质和判定方法，提高推理能力. (重点) 2. 合理利用等边三角形的性质和判定方法解决问题，发展应用意识. (难点) 素养目标 在上节课基础上，需要设计一个等腰△ABC，目前已知底边 BC ，你该如何设计呢？在设计过程中，你有什么发现？ 分析： 三线合一 底边 联想 情境导入 探究点一： 等边三角形的性质 思考：顶点 A 在边 BC 的垂直平分线上运动的过程中，如果让 AB 的长度等于 BC ，△ABC 会变成什么三角形？ 等边三角形 新知探究 等边三角形的定义： 是三边都_____的特殊的等腰三角形. 相等 等腰三角形 等边三角形 等腰三角形与等边三角形的关系： 探究点一： 等边三角形的性质 新知探究 思考1：把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论？ 问题1：从边的角度比较两者，等边三角形的三条边有什么数量关系？ 由定义可知：等边三角形的三条边都相等. 如图，∵ △ABC 是等边三角形， ∴ AB = BC = AC. 等腰三角形的性质对于等边三角形同样适用 A B C 探究点一： 等边三角形的性质 新知探究 问题2：从角的角度比较两者，等边三角形的三个内角有什么数量关系？角度是多少？你能得到什么结论？试着证明下. 等腰三角形 等边三角形 AB = AC ∠B = ∠C AB = AC = BC ∠A，∠B，∠C ? 探究点一： 等边三角形的性质 新知探究 已知：AB ＝AC ＝BC ，求证：∠A = ∠B = ∠C= 60°. 证明：∵AB = AC ， ∴ ∠B = ∠C (等边对等角). 同理 ∠A = ∠C， ∴ ∠A = ∠B = ∠C. ∵ ∠A + ∠B + ∠C =180°， ∴ ∠A = ∠B = ∠C = 60°. 结论：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个 角都等于 60°. 探究点一： 等边三角形的性质 新知探究 问题3：从“三线合一 ”的角度比较两者，等边三角形的“三线 ”有怎样的关系？等边三角形有几条对称轴？ 等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都“三线合一” ．等边三角形有三条对称轴. 三线合一 一条对称轴 三条对称轴 A B C A B C 探究点一： 等边三角形的性质 新知探究 根据前面的探究结果完成下表. 图形 等腰三角形 等边三角形 性质 边 角 三线合一 对称性 每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合 三个角都相等，且都是 60° 3 条对称轴 1 条对称轴 两个底角相等 底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合 两条边相等 三条边都相等 探究点一： 等边三角形的性质 新知探究 例1 如图，△ ABC 是等边三角形 ，DE∥BC，分别交AB，AC 于点 D，E. 求证：△ADE 是等边三角形. A C B D E 证明： ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A =∠B =∠C. ∵ DE∥BC， ∴∠ADE = ∠B，∠AED = ∠C. ∴∠A = ∠ADE = ∠AED. ∴△ADE 是等边三角形. 想一想：本题还有其他证法吗？ 探究点一： 等边三角形的性质 新知探究 思考1：对于一般△ABC，如何判定这个三角形是等边三角形，请提出猜想并验证. 探究点二：等边三角形的判定 分析： 三角相等 两角相等(等腰三角形的判定) 三角形 三边相等(等边三角形的定义) 边 角 一角 60° 新知探究 思考2：通过前面的学习，我们知道从边的角度可以判断一个三角形是等边三角形，那么从角的角度如何判断呢？ 通过上面性质的学习，我们很容易联想到： 三个角都相等的三角形是等边三角形. 探究点二：等边三角形的判定 新知探究 已知：如图，在△ABC 中，∠A = ∠B = ∠C. 求证：△ABC 是等边三角形. 证明：∵∠A = ∠B ， ∴ BC = AC . ∵∠B = ∠C ， ∴ AB = AC . ∴ AB = AC = BC . ∴ △ABC 是等边三角形. 探究点二：等边三角形的判定 新知探究 论证： 已知：如上图，在△ABC 中，AB ＝AC ，若∠A ＝60°，求证：△ABC 是等边三角形. 猜想：对于一个等腰三角形，如果有一个角是 60°， 那么它是等边三角形吗？ 有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形. 证明： ∵AB ＝AC ， ∴ ∠B＝∠C. ∵ ∠A +∠B +∠C＝180°，∠A＝60°， ∴ 60° + 2∠B ＝180°. ∴ ∠B＝60°. ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°. ∴△ABC 是等边三角形. 探究点二：等边三角形的判定 A B C 新知探究 图形 等腰三角形 等边三角形 判定 从边看 从角看 两条边相等的三角形是等腰三角形 两个角相等的三角形是等腰三角形 三条边都相等的三角形是等边三角形 三个角都相等的三角形是等边三角形 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 结合以上几点，请你总结一下等腰三角形和等边三角形的判定. 探究点二：等边三角形的判定 新知探究 例2 如图，等边三角形 ABC 中，AD 是 BC 上的高，∠BDE =∠CDF = 60°，图中有哪些与 BD 相等的线段？ 与 BD 相等的线段有： DC，DE，DF，AE， BE，AF，CF. 探究点二：等边三角形的判定 新知探究 定义 等边三角形 __________的三角形等边三角形 判定 性质 ____________的三角形是等边三角形 等边三角形的三个内角______，并且每一个内角________ 三个角都相等 都相等 有____个角是___的______三角形是等边三角形 一 60° 等腰 三边都相等 等于 60° 课堂小结 1. 如图，△ABC是等边三角形，D是BC的中点， 则∠BAD的度数为(　A　) A. 30° B. 40° C. 45° D. 无法求出 A 当堂反馈 2. [规范作答]如图，在△ABC中. (1)∵AB＝AC＝ ⁠， ∴△ABC是等边三角形； BC　 (2)∵∠A＝∠B＝ ⁠， ∴△ABC是等边三角形； (3)∵AB＝AC，且 ⁠＝60°， ∴△ABC是等边三角形. ∠C　 ∠A(或∠B或∠C)　 当堂反馈 3. 如图，在等边三角形ABC中，点D在边BC上，过点D作DE∥AB交AC于点E，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F. (1)求∠F的度数； (1)解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝∠B＝60°. ∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°. ∵DE⊥EF，∴∠DEF＝90°. ∴∠F＝90°－∠EDF＝90°－60°＝30°. 当堂反馈 如图，在等边三角形ABC中，点D在边BC上，过点D作DE∥AB交AC于点E，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F. (2)求证：CD＝CF. (2)证明：由(1)得∠EDC＝∠ECD ＝60°， ∴∠DEC＝60°. ∴△DEC是等边三角形.∴CE＝CD. ∵∠ECD＝∠F＋∠CEF，∠F＝30°， ∴∠CEF＝∠F＝30°. ∴EC＝CF. ∴CD＝CF. 当堂反馈 Lavf58.46.101 $