第18章 数学活动 探究比例的性质及x2＋取值的规律（Word教案）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（人教版2024）

数学活动　探究比例的性质及x2＋取值的规律 1.探究比例的基本性质及x2＋取值的规律. 2.通过观察、猜想、验证、归纳等数学活动，培养学生的逻辑推理能力和数学探究能力. 3.体会从特殊到一般、类比等数学思想方法. 4.激发学生对数学的探究兴趣，培养学生勇于探索、敢于创新的精神. 重点：探究并理解比例的各种性质在分式中的表现形式及应用 难点：比例性质的推导过程，尤其是等比性质的证明，运用比例性质解决复杂分式问题. 知识链接 （1）前面我们学习过比例的基本性质，大家还记得吗？我们一起回顾一下. （2）我们知道，x＋ 与x2＋ 之间有一些数量关系，你能进行推导吗？今天我们来探究 x2＋ 的值与x的取值之间的关联. 创设情境——见配套课件 活动探究一：比例的性质 情境探究：找一组都不为0的数，a，b，c，d，使得分式 ＝ 成立（即a，b，c，d成比例）. 问题1：取a＝1，b＝2，c＝3，d＝6.代入分式 和 ，你发现了什么？ 我们发现＝. 问题2：在问题1的基础上，将对应数值代入分式 和 ，你发现了什么？将对应数值代入 和 呢？你又能发现什么？多找几组满足 ＝ 的数，验证一下. 若＝，则有＝，＝. 问题3：在问题1的基础上，将对应的数值代入分式 和 ，你发现了什么？多选几组数值代入，关系会发生变化吗？尝试证明你的猜想. ＝.证明如下：设＝＝k，则a＝b k，c＝d k，所以＝＝k＋1；＝＝k＋1.所以当＝时，＝. 问题4：在问题1的基础上，将对应数值代入分式 和 ，等量关系仍然成立吗？多选几组值代入，数量关系会发生变化吗？试着证明. 等量关系仍然成立，多选几组值代入，数量关系不会发生变化.证明过程同问题3. 拓展：（1）若＝，那么 与 相等吗？试着证明你的猜想. 相等，证明过程同问题3. （2）已知 ＝＝（b≠0，d≠0，f≠0），探究 与 的关系. （课件中展示具体解答过程） ①引导列举一些实例，从简单的数字代入求证；②根据等比设参的性质进行结论的一般性推导和证明. 总结：等比性质：若＝＝…＝＝k（b1≠0，b2≠0，…，bn≠0），则＝k. 应用：若已知某零件图上长度m与实际长度n的比例为＝，现测量图上零件与标注尺寸总和为m＋n，那么通过上述总结的性质可快速得出图上零件与标注尺寸总和与实际长度的比例关系，你能计算出实际尺寸吗？（答案在课件中展示） 活动探究二：x2＋取值的规律 思考回顾：在前面分式的求值的学习中，我们结合完全平方公式探究过x＋与x2＋之间的关系，若已知x＋＝k，如何用k表示x2＋？ 情境探究：填写下表，完成表格. x －3 －2 －1 － － 1 2 3 x2＋ 2 2 猜想结论：根据填写完成的表格，你能提出关于x2＋的值的一些猜想吗？ 猜想①：当x的取值互为相反数时，x2＋的值相等. 猜想②：当x的取值的绝对值互为倒数时，x2＋的值也相等. 证明结论：尝试证明上述猜想. 证明结论①：设x1＝a，代入x2＋得x2＋＝a2＋，将x2＝－a代入x2＋得（－a）2＋＝a2＋，故当x的取值互为相反数时，x2＋的值相等.（猜想②由学生讨论完成）. 1.已知＝＝＝k，求k的值.（提示：分x＋z＋y＝0和x＋z＋y≠0两种情况讨论） 2.在生活中寻找更多与比例性质相关的实际例子，并尝试用所学知识进行解释. 3.与大家探究“活动探究二”中的取值规律，看看能否有其他发现. 略. 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 学科网（北京）股份有限公司 $