2.4 等腰三角形的判定定理-【拔尖特训】2025-2026学年新教材八年级上册数学（浙教版2024）

又因为∠BAC=∠ADE+∠AED, ∠BAC=∠BAF+∠CAF, 所以∠CAF=∠AED. 所以DE∥AF. 5.B解析：连结PC.因为AB= AC,AD是边BC上的中线，所以AD 垂直平分BC.所以PB=PC.所以 PB+PE=PC+PE.所以当C,P,E 三，点在同一条直线上时，PB十PE的 值最小，最小值是CE的长 6.A解析：过点A,C分别作AE⊥ BC于点E,CF⊥AD于点F.因为 AB=AC,AE⊥BC,所以BE=CE 2C=3×4=2,∠BC=2∠CE 因为∠BAC=2∠CAD,所以∠CAE= ∠CAD.所以AC平分∠EAD.又因 为CE⊥EA,CF⊥AD,所以CE 1 CF=2.所以S△ACn=2AD·CF= 2×7x2=7. 7.4解析：因为AB=AC,AD BC,所以CD=BD.所以S△Ax 2Sam,即号AC·BF=2X7AB· DE.因为AC=AB,DE=2,所以 BF=2DE=4. 8.如图，作法如下： ①作∠MAN=∠a: ②作∠MAN的平分线AH: ③在AH上截取AD=a: ④过点D作AH的垂线，分别交 AM,AN于B,C两点. 所以△ABC即为所求作的等腰三 角形 (第8题) 9.过点E作EF⊥AC于点F. 所以∠AFE=90 又因为EA=EC, 所以AF=FC=AC. 因为AC=2AB,即AB=2AC, 所以AF=AB, 因为AD平分∠BAC, 所以∠BAD=∠CAD. 在△BAE和△FAE中， (AB-AF, 因为∠BAE=∠FAE, AE-AE, 所以△BAE≌△FAE(SAS)」 所以∠ABE=∠AFE=90, 所以EB⊥AB. 10.(1)因为在△ABC中，AB=AC, AD是BC边上的高线， 所以∠BAD=∠CAD,∠ADC=90°. 因为∠BAD=30°， 所以∠CAD=30°. 因为AD=AE, 所以∠ADE=∠AED-2X(180 30°)=75 所以∠EDC=∠ADC-∠ADE= 90°-75°=15. (2)因为在△ABC中，AB=AC,AD 是BC边上的高线， 所以∠BAD=∠CAD,∠ADC=90°. 因为∠BAD=40, 所以∠CAD=40°」 因为AD=AE, 所以∠ADE=∠AED= ×(180° 2 40°)=70° 所以∠EDC=∠ADC-∠ADE= 90°-70°=20°. (3)∠BAD=2∠EDC. (4)仍有∠BAD=2∠EDC. 理由：因为AD=AE, 所以∠ADE=∠AED, 所以∠BAD+∠B=∠ADC= ∠AIDE+∠EDC=∠AED+∠EDC= (∠EDC+∠C)+∠EDC= 2∠EDC+∠C. 因为AB=AC, 18 所以∠B=∠C. 所以∠BAD=2∠EDC. 2.4等腰三角形的 判定定理 1.D2.B3.10 4.(1)因为BD是△ABC的角平 分线， 所以∠CBD=∠EBD. 因为DE∥BC, 所以∠CBD=∠EDB. 所以∠EBD=∠EDB. (2)CD-DE. 理由：因为AB=AC, 所以∠C=∠ABC. 因为DEBC, 所以∠ADE=∠C,∠AED=∠ABC. 所以∠ADE=∠AED. 所以AD=AE. 所以AC-AD=AB-AE,即CD=BE. 由(1)，得∠EBD=∠EDB, 所以BE=DE. 所以CD=DE. 5.D解析：①因为AB=AC,所以 △ABC是等腰三角形.②因为AB AC,∠A=36°，所以∠ABC=∠C= 72°.因为BD是△ABC的角平分线， 所以∠ABD=∠CBD= F2∠ABC= 36°.所以∠A=∠ABD=36°.所以 BD=AD.所以△ABD是等腰三角 形.③在△BCD中，因为∠BDC= 180°-∠CBD-∠C=180°-36° 72°=72°，所以∠C=∠BDC=72.所 以BC=BD.所以△BCD是等腰三角 形.④因为BE=BC,所以BD=BE 所以△BDE是等腰三角形.⑤因为 ∠BED=7×180-36)=72,所 以∠ADE=∠BED-∠A=72° 36°=36°.所以∠A=∠ADE.所以 DE=AE.所以△ADE是等腰三角 形.综上所述，题图中等腰三角形共有 5个. 6.B解析：因为△ABC是等边三角 形，所以∠BAE=60°，AB=AC.在 [AB=AC, △ABE和△ACD中，因为∠1=∠2， BE=CD, 所以△ABE≌△ACD(SAS).所以 AE=AD,∠BAE=∠CAD=60°.所 以△ADE是等边三角形. 7.18解析：因为BD平分∠ABC, CD平分∠ACB,所以∠ABD= ∠DBC,∠ACD=∠DCB.因为EF∥ BC,所以∠EDB=∠DBC,∠FDC= ∠DCB.所以∠ABD=∠EDB, ∠ACD=∠FDC.所以EB=ED, DF=CF.所以△AEF的周长为 AE+EF+AF=AE+ED+DF+ AF-AE+EB+CF+AF=AB+ AC.因为△ABC的周长为25，所以 AC=25-AB-BC=25-10-7=8. 所以△AEF的周长为AB+AC= 10+8=18. 8.过点D作DG∥AC,交BC于 点G 所以∠GDF=∠E,∠DGB=∠ACB. 在△GDF和△CEF中， ∠GDF=∠E, 因为DF=EF, ∠DFG=∠EFC 所以△GDF≌△CEF(ASA). 所以GD=CE. 因为BD=CE, 所以BD=GD. 所以∠B=∠DGB. 所以∠B=∠ACB. 所以AB=AC. 所以△ABC是等腰三角形. 9.BE=EF+CF 理由：因为BP平分∠ABC,CP平分 ∠ACD, 所以∠ABP=∠PBD,∠ACP= ∠PCD. 因为EF∥BC, 所以∠EPB=∠PBD,∠EPC= ∠PCD 所以∠ABP=∠EPB,∠ACP= ∠EPC. 所以BE=PE,CF=PF」 因为PE=EF+PF, 所以BE=EF+CF. 10.(1)因为BD=BC,∠DBC=60°， 所以△DBC是等边三角形. 所以∠BDC=6O°，DB=DC=BC. 在△ADB和△ADC中， AB=AC. 因为AD=AD, DB=DC, 所以△ADB≌△ADC(SSS) 所以∠ADB=∠ADC: 1 所以∠ADC=∠ADB=2(360°- ∠BDC)=150° (2)△ABE是等边三角形 因为∠ABE=∠DBC=60°， 所以易得∠ABD=∠EBC. 在△ABD和△EBC中 ∠ADB=∠ECB=150°， 因为BD=BC, ∠ABD=∠EBC, 所以△ABD≌△EBC(ASA) 所以AB=EB. 因为∠ABE=60°， 所以△ABE是等边三角形. 11.(1)因为△ADE和△ABC都是 等边三角形， 所以AE=AD,AB=AC,∠EAD= ∠BAC=60°. 所以∠EAD-∠BAD=∠BAC- ∠BAD,即∠EAB=∠DAC. 在△AEB和△ADC中， (AE=AD, 因为∠EAB=∠DAC, AB-AC, 所以△AEB≌△ADC(SAS). 所以BE=CD. (2)△AMN是等边三角形， 因为△AEB≌△ADC, 所以∠AEM=∠ADN,BE=CD. 因为M,N分别是BE,CD的中点， 19 所以EM=2BE,DN=2CD. 所以EM=DN 在△AEM和△ADN中， AE-AD, 因为∠AEM=∠ADN, EM-DN, 所以△AEM≌△ADN(SAS) 所以AM=AN,∠EAM=∠DAN. 因为∠EAD=60°， 所以∠EAM+∠MAD=60° 所以∠DAN+∠MAD=∠MAN=6O°. 所以△AMN是等边三角形， 方法归纳 等边三角形判定方法的选择 (1)若已知三边关系，则考虑 用“三条边都相等的三角形是等边 三角形”来判定 (2)若已知三角关系，则考虑 用“三个角都相等的三角形是等边 三角形”来判定 (3)若已知该三角形是等腰三 角形，则考虑用“有一个角是60°的 等腰三角形是等边三角形”来判定 专题特训三等腰 三角形的分类讨论 及有关的计算与证明 1.D解析：因为2a一3b+5+ (2a+3b-13)2=0,|2a-36+5|≥ 0,(2a+3b-13)2≥0，所以 2a-3b+5=0, a=2, 解得 分两种 2a+3b-13=0, b=3. 情况讨论：①当a为底边长时，三角 形的三边长为2,3,3.因为2+3>3， 所以能构成三角形，此时周长为2+ 3+3=8.②当b为底边长时，三角形 的三边长为2,2,3.因为2+2>3，所 以能构成三角形，此时周长为2+2+ 3=7.综上所述，此等腰三角形的周长 为7或8. 2.(1)设底边长为a,则腰长为 2.5a. 因为等腰三角形的周长为30， 所以2.5a+2.5a+a=30,解得拔尖特训·数学（浙教版）八年级上 2.4等腰三角形的判定定理 自基础进阶 幻素能攀升 1.当△ABC的两个内角的度数满足下列条件5.如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC,BD 时，△ABC不为等腰三角形的是( 是△ABC的角平分线.若在边AB上截取 A.∠A=65°，∠B=65 BE=BC,连结DE,则图中等腰三角形共有 B.∠A=75°，∠C=309 () C.∠A=55°，∠B=70° A.2个B.3个C.4个D.5个 D.∠B=52°，∠C=48 2.下列推理中，错误的是 () A.因为∠A=∠B=∠C,所以△ABC是 等边三角形 (第5题) (第6题) (第7题) B.因为AB=AC,且∠B=∠C,所以 6.如图，E是等边三角形ABC的边 △ABC是等边三角形 AC上的点，∠1=∠2，BE=CD,连 C.因为∠A=60°，∠B=60°，所以△ABC 结AD,DE,则△ADE的形状是 是等边三角形 ) D.因为AB=AC,且∠B=60°，所以 A.直角三角形 B.等边三角形 △ABC是等边三角形 C.不等边三角形D.无法确定 3.如图，在△ABC中，D为 7.如图，在△ABC中，∠ABC和 AB上一点，AD=DC= ∠ACB的平分线交于点D,过点D BC,且∠A=30°，AD=5,A D 作EF∥BC,交AB于点E,交AC (第3题) 则AB= 于点F.若AB=10,BC=7,△ABC的周长 4.如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC, 为25，则△AEF的周长为 交AB于点E. 8.如图，点E在△ABC的边AC的延长线上， (1)求证：∠EBD=∠EDB, 点D在边AB上，DE交BC于点F,DF= (2)当AB=AC时，请判断CD与DE之间 EF,BD=CE.求证：△ABC是等腰三角形 的数量关系，并说明理由， (第8题) E (第4题) 40 第2章特殊三角形 9.如图，在△ABC中，BP平分∠ABC,CP平思维拓展 金 分∠ACD,过点P作EF∥BC与边AB,AC 11.★如图，D为等边三角形ABC的边BC上一 分别相交于点E,F.请判断线段BE,EF, 点，以AD为边作等边三角形ADE,连 CF之间的数量关系，并说明理由 结BE. (1)求证：BE=CD (2)分别取BE,CD的中点M,N,连结 C (第9题) AM,AN,MN.试判断△AMN的形状，并 加以证明 (第11题) 10.如图，在△ABC中，AB=AC,点D 在△ABC内部，连结DB,DC,DA BD=BC,∠DBC=60°，点E在 △ABC外部，连结EA,EB,EC,∠ECB= 150°，∠ABE=60° (1)求∠ADC的度数 (2)判断△ABE的形状，并加以证明 B4 (第10题) 41