1.1 认识三角形-【拔尖特训】2025-2026学年新教材八年级上册数学（浙教版2024）

第1章三角形的初步知识 1.1认识三角形 第1课时三角形内角和定理、分类及三边关系 ☑基础进阶 幻素能攀升 1.如图，在△ABC中，E是AB边上一点，连结6.(2024·温州鹿城期中)将一副三角尺按如图 CE,则下列说法中，错误的是 ( 所示的方式摆放，若∠BDE=75°，则∠AMD A.∠A,∠B,∠ACB是△ABC的内角 的度数是 ) B.△AEC的三条边分别是AE,EC,AC C.图中共有3个三角形 D.以∠BEC为内角的三角形有2个 D B (第6题) A.75 B.80° B (第1题) (第4题) C.85 D.90° 2.(2024·绍兴期末)以下列长度的各组线段为 7.已知a,b,c是△ABC的三边长，b,c满足 边，能够组成三角形的是 ( (b-2)2+|c一3=0，且a为方程x-4|= A.3,5,8 B.3,4,6 2的解，则△ABC的周长为 () C.10,9,1 D.5,2,2 A.4 B.5 3.在△ABC中，若∠A=30°，∠B=50°，则 C.7或11 D.7 ∠C= ,此三角形为 角三 8.在△ABC中，∠A=70°，∠A比∠B大10°， 角形 则∠B= °，∠C 4.如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，且 △ABC是 角三角形 AD=AC,则有下列大小关系： 9.若一个三角形的两边的长分别为3cm和 (1)AB AC+BD 6cm,且其中两边相等，则这个三角形的周长 (2)2AC CD. 为 5.如图，在△ACE中，若AE∥BD,∠A=55°， ∠BDE=125°，求∠C的度数. 10.如图，图①中有1个三角形，图② 中共有5个三角形，图③中共有 9个三角形…依此类推，图⑥中 共有 个三角形 A\B (第5题) B (第10题) 2 注：标“★的题目设有方法归纳”，标“易错题”的设有“易错警示”，详见“答案与解析” 第1章三角形的初步知识 11.如图，在△ABC(∠BAC=90)中，AE⊥爸思维拓展 金 BC,垂足为E,D是边BC上的一点，连 13.新考法·新定义题当三角形中一个内角阝是 结AD. (1)写出△ABE的三个内角， 另外一个内角。的时，我们称此三角形为 (2)在△ABD中，∠B的对边是 “友好三角形”，α为友好角.如果一个“友好 在△ABC中，∠B的对边是 三角形”中有一个内角为54°，求这个“友好 (3)图中的三角形中，哪些是直角三角形？ 三角形”的友好角的度数. 哪些是锐角三角形？哪些是钝角三角形？ (4)线段AD是哪些三角形的公共边？ (5)∠ADC和∠AED分别是哪些三角形 的公共角？ (第11题) 14.易错题以长为8cm,6cm,10cm,4cm, 13cm的五条线段中的三条线段为边，能画 出几个三角形？请求出可以画出的三角形 12.在△ABC中，∠A-∠B=20°，∠B- 的周长 ∠C=35°，试判断△ABC的形状. 3 拔尖特训·数学（浙教版）八年级上 第2课时三角形的高线、中线和角平分线 自基础进阶 幻素能攀升 1.如图，在△ABC中，∠1=∠2=∠3=∠4，则5.如图，在△ABC中，∠1=∠2，G为AD的中 下列说法中，正确的是 点，延长BG交AC于点E,F为AB上的一 A.AD是△ABE的中线 点，CF⊥AD于点H.下列判断中，错误的是 B.AE是△ABC的角平分线 () C.AF是△ACE的高线 A.AG是△ABE的角平分线 D.AE是△ABC的中线 B.CH为△ACD的边AD上的高线 C.BE是△ABD的边AD上的中线 D.AH为△AFC的高线 DE C (第1题) (第2题) 2.如图，AD⊥BC于点D,E为DC上一点，那 D 么图中以AD为高线的三角形有() (第5题) (第6题) A.3个B.4个C.5个D.6个 6.如图，AD是△ABC的角平分线，点O在AD 3.*如图，在△ABC中，AD是边BC上的中 上，且OE是△COD的高线.若∠BAC=60°， 线，E是AD的中点，连结CE.若S△Ac= ∠ACB=80°，则∠EOD的度数为() 10,则S△AEc A.20°B.30°C.10°D.15° 7.如图，在△ABC中，D,E,F分别为 AE,CF,BD的中点，△DEF的面 积为5，则△ABC的面积为() B (第3题) 4.如图，AD是△ABC的角平分线，CE是 △ABC的高线，∠BAC=60°，∠BCE=40°. B 求∠ADB的度数. (第7题) A.20 B.25C.30 D.35 8.方程思想如图，BD是△ABC的中线， △ABD的周长比△BCD的周长多2cm.若 (第4题) △ABC的周长为18cm,且AC=4cm,则 AB= cm. A D B (第8题) 第1章三角形的初步知识 9.如图，在△ABC中，∠ACB=60°，∠BAC= 思维拓展 75°，AD⊥BC于点D,BE⊥AC于点E,AD 11.如图，在△ABC中，∠ABC=50 与BE交于点H,连结CH,则∠CHD= ∠C=30°，BD平分∠ABC,交AC 于点D,E是BC边上一动点，连结 AE,交BD于点F.设∠BAE=x°，是否存 在这样的x,使得△ADF中有两个相等的 角？若存在，求出x的值；若不存在，请说明 (第9题) 理由. 10.新考法·探究题如图，在△ABC中，AD是 边BC上的高线，AE是角平分线，∠B= 20°，∠C=60°. (第11题) (1)求∠CAD,∠AEC和∠EAD的度数. (2)若图形发生了变化，当∠B=30°，∠C= 60°时，则∠EAD= °；当∠C ∠B=30时，则∠EAD= (3)若∠B和∠C的度数分别用a和B来表 示，你能找到∠EAD与α和B之间的数量 关系吗？请直接写出你的结论， ED (第10题) 5第1章 三角形的初步 知识 1.1认识三角形 第1课时三角形内角和定理、 分类及三边关系 1.D2.B3.100°钝4.(1)< (2)> 5.因为AE∥BD,∠BDE=125, 所以∠E=180°-∠BDE=55°. 又因为∠A=55°， 所以∠C=180°-∠E-∠A=70°. 6.D解析：由三角尺的摆放方式，可 知∠B=60°，∠A=30,∠FDE= 45.因为∠BDE=75°，所以 ∠ADF=180°-75°-45°=60°.所以 ∠AMD=180°-∠A-∠ADF= 180°-30°-60°=90°. 7.D解析：因为(b-2)2+|c一3= 0,(b-2)2≥0，|c-3|≥0， ,b一2=0解得 b=2, 所以 根据三角 c-3=0, c=3. 形的三边关系，得c一b<a<c十b,即 1<a<5.因为a为方程x一4=2的 解，所以a一4=2，解得a=2或a 6.所以a=2.所以△ABC的周长为 2+2+3=7. 8.6050锐解析：因为∠A 70°，∠A比∠B大10°，所以∠B= ∠A-10°=60°.所以∠C=180°- ∠A-∠B=50°.所以△ABC是锐角 三角形 9.15cm解析：因为该三角形中有 两边相等，且其中两边的长分别为 3cm和6cm,所以第三边的长可能是 3cm或6cm.因为长度为3cm,3cm, 6cm的三条线段不能组成三角形；长 度为3cm,6cm,6cm的三条线段能 组成三角形，所以该三角形的周长为 3+6+6=15(cm). 10.21解析：由题意，得题图@中的 三角形的个数是1+4(n一1)=4n一3. 所以题图⑥中共有4×6一3=21（个） 三角形 11.(1)△ABE的三个内角是 ∠BAE,∠B,∠AEB. (2)AD;AC. (3)直角三角形是△ABC,△ABE, △ADE,△AEC:锐角三角形是 △ADC;钝角三角形是△ABD. (4)线段AD是△ABD,△ADE, △ADC的公共边 (5)∠ADC是△ADE,△ADC的公 共角；∠AED是△ABE,△ADE的 公共角。 12.设∠B=x°，则∠A=20°+x, ∠C=x°-35. 因为∠A十∠B+∠C=180, 所以x+20+x+x一35=180，解得 x=65,即∠B=65 所以∠A=20°+65°=85°，∠C= 65°-35°=30° 因为∠C<∠B<∠A90°， 所以△ABC为锐角三角形， 13.①若54角是a,则友好角的度数 为54°： ②若54°角是8，则2a=3=54°，所以 a=108°，即友好角的度数为108°： ③若54°角既不是a也不是3， 则a十3+54°=180°， 1 所以a+2a十54°=180，解得a= 84°，即友好角的度数为84 综上所述，友好角的度数为54°或84° 或108. 14.把这五条线段的长按从小到大的 顺序排列为4cm,6cm,8cm,10cm, 13cm. 分十种情况讨论： ①当三条线段的长为4cm,6cm, 8cm时， 因为4+6>8， 所以能构成三角形，周长为4十6十 8=18(cm). ②当三条线段的长为4cm,6cm, 10cm时， 因为4+6=10： 所以不能构成三角形， ③当三条线段的长为4cm,6cm, 1 13cm时， 因为4+6<13， 所以不能构成三角形. ④当三条线段的长为4cm,8cm, 10cm时， 因为4+8>10， 所以能构成三角形，周长为4十8十 10=22(cm). ⑤当三条线段的长为4cm,8cm, 13cm时， 因为4+8=12<13， 所以不能构成三角形 ⑥当三条线段的长为4cm,l0cm, 13cm时， 因为4+10>13， 所以能构成三角形，周长为4十10十 13=27(cm). ⑦当三条线段的长为6cm,8cm, 10cm时， 因为6+8>10， 所以能构成三角形，周长为6十8十 10=24(cm) ⑧当三条线段的长为6cm,8cm, 13cm时， 因为6+8>13， 所以能构成三角形，周长为6十8十 13=27(cm). ⑨当三条线段的长为6cm,10cm, 13cm时， 因为6+10>13， 所以能构成三角形，周长为6+10+ 13=29(cm). ⑩当三条线段的长为8cm,10cm, 13cm时， 因为8+10>13， 所以能构成三角形，周长为8十10+ 13=31(cm) 综上所述，能画出7个三角形 易错警示 不要忽视三角形的三边关系 本题在求解时要全面分析所有 的可能情况，不要遗漏：还要注意所 选取的三条线段的长是否满足三角 形的三边关系，只有满足三角形的 三边关系才能求相应的周长。 第2课时三角形的高线、 中线和角平分线 1.B2.D 3.2.5 方法归纳 与两个三角形的面积 有关的常用结论 (1)等底等高的两个三角形面 积相等.(2)同底（或等底）的两个 三角形，面积比等于高线的长的 比.(3)等高的两个三角形的面积 比等于底边长的比.(4)三角形的 一条中线将三角形分成面积相等 的两个三角形 4.因为AD是△ABC的角平分线， ∠BAC=60°， 所以∠DAC=∠BAD=号∠B4C=3 因为CE是△ABC的高线，∠BCE=40°， 所以∠B=90°-∠BCE=50°. 所以∠ADB=180°-∠B ∠BAD=180°-50°-30°=100. 5.C解析：因为∠1=∠2，所以AG 是△ABE的角平分线.故A正确.因 为CF⊥AD,所以CH为△ACD的 边AD上的高线.故B正确.因为G 为AD的中点，所以BG是△ABD的 边AD上的中线.故C错误.因为 CF⊥AD,所以AH为△AFC的高 线.故D正确. 6.A解析：因为∠BAC=60,AD 是∠BAC的平分线，所以∠DAC= ∠BAC=30.因为∠ACB=80, 1 所以∠ADC=180°-∠DAC ∠ACB=180°-30°-80°=70°.又因 为OE是△COD的高线，所以OE⊥ BC,即∠OED=90°.所以∠EOD= 180°-∠OED-∠ODE=180° 90°-70°=20°. 7.D解析：连结AF,BE,CD. 因为D为AE的中点，所以S△AF= S△DwF=5.因为F为BD的中点， 所以S△AF=S△ADF=5.同理，可得 S△mE=S△BCE=5,S△cE=S△Ac 5.所以S△AC=S△ADF十S△AF十 S△FE+S△E+S△cpE十S△Ax十 S△DwF=7X5=35. 8.8解析：因为BD是△ABC的中 线，所以AD=DC.因为△ABD的周 长比△BCD的周长多2cm,所以 AB+BD+AD-(BD+BC+DC)= 2cm.所以AB-BC=2cm①.又因为 AB+BC+AC=18 cm,AC=4 cm, 所以AB+BC=14cm②.联立①②， 易得AB=8cm. 9.45°解析：如图，延长CH交AB 于点F,因为三角形的三条高线交于 一点，所以易得CF⊥AB.所以 ∠AFC=90°.因为∠BAC=75°，所以 ∠ACF=180°-90°-75=15°.因为 ∠ACB=60°，所以∠BCF=60° 15°=45°.因为AD⊥BC,所以∠ADC= 90°.在△CDH中，∠CHD=180° 90°-45°=45. B D (第9题) 10.(1)因为∠B=20°，∠C=60°， 所以∠BAC=180°-∠B-∠C= 100. 因为AE平分∠BAC, 所以∠BAE=∠EAC=7∠BAC=8C 所以∠AEB=180°-∠BAE ∠B=110°. 所以∠AEC=180°-∠AEB=70°. 因为AD是边BC上的高线， 所以∠ADC=90. 所以∠CAD=180°-∠ADC- ∠C=30°. 所以∠EAD=∠EAC-∠CAD=20°. 综上所述，∠CAD=30°，∠AEC= 70°，∠EAD=20. (2)15;15.解析：易得∠EAD= 1 ∠EAC-∠CAD=2∠BAC- 2 ∠CAD=[180-(∠B+∠C]- (180°-∠ADC-∠C)=2(∠C ∠B),所以当∠B=30°，∠C=60时， ∠EAD=15°；当∠C-∠B=30时， ∠EAD=15°. (3)当a<3时，∠EAD=2g-a): 1 当a>B时，∠EAD=a-B. 11存在. 因为∠ABC=50°，∠C=30, 所以∠BAC=180°-∠ABC ∠C=100°. 因为BD平分∠ABC, 所以∠ABD=2∠ABC=25°. 所以∠ADF=180°-∠ABD ∠BAC=55.因为∠BAE=x, 所以∠DAF=(100-x)°，∠AFD= 180°-∠AFB=180°-(180° ∠ABD-∠BAE)=∠ABD+ ∠BAE=(25+x)°， 若∠AFD=∠ADF=55°，即25+ x=55,则x=30;若∠DAF= ∠ADF=55°，即100-x=55,则x= 45:若∠AFD=∠DAF,即25+x= 100一x,则x=37.5. 综上所述，当x=30或45或37.5时， △ADF中有两个相等的角. 1.2定义与命题 第1课时定义与命题 1.A2.B3.③①②④⑤⑥ 4.(1)如果两个有理数的乘积等于 1,那么这两个有理数互为倒数， 条件：两个有理数的乘积等于1；结 论：这两个有理数互为倒数. (2)如果两个角相等，那么它们的补 角相等。 条件：两个角相等：结论：它们的补角 相等 (3)如果一个数是自然数，那么这个 数必为有理数. 条件：一个数是自然数；结论：这个数