1.1 菱形的性质与判定 课后练习题 2025-2026学年北师大版九年级数学上册

1.1菱形的性质与判定 课后练习题 一．选择题 1．已知菱形的面积为120cm2，一条对角线长为10cm，则这个菱形的周长为（　　）cm． A．13 B．24 C．52 D．60 2．如图，点E，F分别在▱ABCD的边AB，BC上，AE＝CF，连接DE，DF．请问下列条件中不能使▱ABCD为菱形的是（　　） A．∠1＝∠2 B．DE＝DF C．∠3＝∠4 D．AD＝CD 3．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC、BD 相交于点O，BD＝8，BC＝5，AE⊥BC 于点E，则AE的长等于（　　） A．5 B． C． D． 4．如图，已知菱形ABCD的周长为4，两条对角线AC、BD的和为6，则菱形ABCD的面积为（　　） A．2 B．3 C．4 D．2 5．菱形ABCD的两条对角线AC＝8cm，BD＝6cm，那么菱形的边长是（　　） A．6cm B．5cm C．4cm D．8cm 6．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE垂直平分CD，垂足为点E，则∠BAD＝（　　） A．100° B．120° C．135° D．150° 7．如图，平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点O为原点，A（2，0），∠C＝60°，BC交y轴于点D，连接AD，交OB于点E，则点E的坐标为（　　） A．（） B．（） C．（） D．（） 8．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，若∠DHO＝15°，则∠ADC的度数是（　　） A．120° B．130° C．140° D．150° 9．如图，菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，点E是AD边上一动点（不与A，D重合），点F是CD边上一动点，若DE+DF＝2，则△BEF面积的最小值为（　　） A． B． C． D． 10．如图，已知点P是菱形ABCD的对角线AC延长线上一点，过点P分别作AD、DC延长线的垂线，垂足分别为点E、F．若∠ABC＝120°，AB＝2，则PE﹣PF的值为（　　） A． B． C．2 D． 二．填空题 11．已知菱形的两条对角线长分别为4cm，5cm．则它的面积是 　 　 cm2． 12．如图，菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，AH为菱形的高，则AH＝　 　 ． 13．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，已知BO＝12，S菱形ABCD＝120，则AH＝　 　 ． 14．如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线交对角线BD于点F，垂足为点E，连接AF、AC，若∠DCB＝70°，则∠FAC＝　 　 ． 15．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝12，点E是CD的中点，点F是OA的中点，连结EF，则线段EF的长为 　 　 ． 三．解答题 16．如图，在平行四边形ABCD中，DB＝DA，延长CB到点E，使BE＝BC，连接AE． （1）求证：四边形AEBD是菱形； （2）若∠C＝70°，求∠AEC的度数． 17．如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，EG∥AB，交BC于点G，连接AG交BE于点F，连接CF． （1）求证：四边形ABGE是菱形； （2）若∠ABC＝60°，AB＝4，AD＝5，求CF的长． 18．如图，在△ABC中，AB＝BC，D，E分别是AB，AC的中点，AF∥DE，EF∥AD． （1）求证：四边形ADEF是菱形； （2）连接CF，若AB＝10，AC＝12，求CF的长． 19．如图，AD是△ABC的角平分线，AD的垂直平分线分别交AB、AC于点E、F，连接DE、DF． （1）判断四边形AEDF的形状，并证明； （2）当AB＝9，AC＝6时，求DF的长． 20．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝10，∠ABC的平分线与CD的延长线交于点E，与AD交于点F，且点F为边AD的中点，∠BAD的平分线交BC于点M，交BE于点N，连接AE，FM． （1）求证：四边形ABMF为菱形； （2）若AM＝6，求AE的长． 21．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝45°，对角线AC与BD相交于点O，DE⊥AB于点E，交AC于点F． （1）求证：△AEF≌△DEB； （2）若DE+EF＝10，求菱形ABCD的周长． 22．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若AB＝3，BD＝4，求OE的长． 23．如图，四边形ABCD为菱形，∠BCD＝60°，E为对角线AC上一点，且AE＝AB，F为CE的中点，连接DF、BF，BG⊥BF与AC交于点G； （1）若AB＝2，求EF的长； （2）求证：CG﹣EFBG． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C C B B D D B D 二．填空题 11．10． 12．． 13．． 14．20°． 15．5． 三．解答题 16．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∵点E在CB的延长线上，BE＝BC， ∴AD∥BE，且AD＝BE， ∴四边形AEBD是平行四边形， ∵DB＝DA， ∴四边形AEBD是菱形． （2）解：∵DB＝DA，四边形ABCD是平行四边形， ∴∠DBA＝∠DAB＝∠C＝70°， ∴∠ADB＝180°﹣∠DBA﹣∠DAB＝40°， ∵四边形AEBD是菱形， ∴∠AEC＝∠ADB＝40°， ∴∠AEC的度数是40°． 17．（1）证明：∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC且AD＝BC， ∴∠CBE＝∠AEB， ∴∠ABE＝∠AEB＝∠CBE， ∴AB＝AE， ∵AE∥BD，AB＝∥EG， ∴四边形ABGE是平行四边形， 又∵AB＝AE， ∴四边形ABGE是菱形； （2）解：过点F作FM⊥BC于点M，如图所示： ∵四边形ABGE是菱形， ∴∠GBE∠ABC＝30°，BG＝AB＝8，BC＝AD＝10， 在Rt△BFG中，BF＝cos∠GBF×BG＝cos30°×88＝4， 在Rt△BFM中，FMBF42， BM＝cos∠GBF×BF＝cos30°×BF46， ∴CM＝BC﹣BM＝10﹣6＝4， ∴Rt△FMC中，CF2 18．（1）证明：∵AF∥DE，EF∥AD， ∴四边形ADEF是平行四边形， ∵D，E分别是AB，AC的中点， ∴ADAB，DE是△ABC的中位线， ∴DEBC， ∵AB＝BC， ∴AD＝DE， ∴四边形ADEF是菱形； （2）解：连接DF交AE于O， ∵四边形ADEF是菱形， ∴AE⊥DF，AO，OD， ∵D，E分别是AB，AC的中点，AB＝10，AC＝12， ∴AD＝5，AE＝6， ∴AO＝3， ∴DO4， ∴OF＝DO＝4，OC＝AC﹣AO＝12﹣3＝9， ∴CF． 故答案为：． 19．解：（1）四边形AEDF是菱形，理由如下： ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， 又∵EF⊥AD， ∴∠AOE＝∠AOF＝90° 在△AEO和△AFO中， ， ∴△AEO≌△AFO（ASA）， ∴EO＝FO， ∵EF垂直平分AD， ∴EF、AD相互平分， ∴四边形AEDF是平行四边形， 又EF⊥AD， ∴平行四边形AEDF为菱形； （2）DF． 20．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD∥BC， ∴∠DAM＝∠AMB， ∵∠BAD的平分线交BC于点E， ∴∠DAM＝∠BMA， ∴∠BAM＝∠BMA， ∴AB＝BM，同理可得AB＝AF， ∴AF＝BM， ∴四边形ABMF是平行四边形， ∵AB＝AF． ∴四边形ABMF是菱形． （2）解：由（1）得四边形ABMF是菱形， ∴ANAM＝3，NFBF， ∵F为边AD的中点， ∴AF＝5， 在Rt△ANF中，NF4， ∴BF＝8， 在△FAB和△FDE中， ， ∴△FAB≌△FDE（AAS）， ∴EF＝BF＝8， 在Rt△ANE中，AE3． 21．（1）证明：∵DE⊥AB， ∴∠AED＝∠DEB＝90°， ∵∠BAD＝45°， ∴∠ADE＝∠BAD＝45°， ∴AE＝DE， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴∠OAB+∠ABD＝∠BDE+∠ABD＝90°， ∴∠OAB＝∠BDE， 在△AEF和△DEB中， ， ∴△AEF≌△DEB（ASA）； （2）解：由（1）知，△AEF≌△DEB， ∴EF＝EB， ∴AB＝AE+EB＝DE+EF＝10， ∵四边形ABCD是菱形， ∴菱形ABCD的周长＝4AB＝4×10＝40． 22．（1）证明：∵AB∥CD， ∴∠OAB＝∠DCA， ∵AC为∠DAB的平分线， ∴∠OAB＝∠DAC， ∴∠DCA＝∠DAC， ∴CD＝AD＝AB， ∵AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AD＝AB， ∴四边形ABCD是菱形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC，BD⊥AC， ∵CE⊥AB， ∴OEAC＝OA＝OC， ∵BD＝4， ∴OBBD＝2， 在Rt△AOB中，AB＝3，OB＝2， ∴OA， ∴OE＝OA． 23．（1）解：连接BD交AC于O，如图所示： ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠BAD＝∠BCD＝60°，AC⊥BD，OB＝OD，OA＝OC，∠OAB∠BAD＝30°， ∴OBAB＝1，OAOB， ∴AC＝2OA＝2， ∵AE＝AB＝2， ∴CE＝AC﹣AE＝22， ∵F为CE的中点， ∴EFCE1； （2）证明：设AB＝2a， 同（1）得：OBAB＝a，OAOBa， ∴AC＝2OA＝2a， ∵AE＝AB＝2a， ∴CE＝AC﹣AE＝（22）a，OE＝AE﹣OA＝（2）a， ∵F为CE的中点， ∴EFCE＝（1）a， ∴OF＝OE+EF＝（2）a+（1）a＝a， ∴OB＝OF， ∵AC⊥BD， ∴△BOF是等腰直角三角形， ∴∠BFG＝45°， ∵BG⊥BF， ∴△BFG是等腰直角三角形， ∴GFBG， ∵GF＝CG﹣CF＝CG﹣EF， ∴CG﹣EFBG． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/9/11 14:02:16；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $