13.3 三角形的内角与外角-【拔尖特训】2025-2026学年新教材八年级上册数学（人教版2024）

拔尖特训·数学（人教版）八年级上 13.3 三角形的内角与外角 第1课时三角形的内角 ☑基础进阶 淘素能攀升 1.(2025·定西渭源期中改编)如图，将△ABC 5.（2024·宜宾叙州期末改编)如图，在三角形 沿着平行于BC的直线折叠，点A落到点A' 纸片ABC中，∠A=90°，∠B=68°，D为边 处.若∠C=135°，∠A=15°，则∠A'DB的度 AC上靠近点C的一定点，E为边BC上的一 数为 动点，沿DE折叠三角形纸片，当点C落在 A.90° B.100° C.110°D.120° △ABC内部的点C'处时，∠ADC'+∠BEC 等于 () A22 B.33 C.44° D.68 (第1题) (第2题) 2.(2025·天津红桥期中)如图，在△ABC中， ∠C=90°.若∠A:∠ABC=2:1,则 ∠CBD的度数为 () ---c2C A.120°B.130°C.140° D.150° (第5题) (第6题) 6.如图，∠A=65°，∠B=40°，∠C=25°，则∠D十 3.将一副直角三角尺按如图所示的方式放置， ∠E的度数为 ∠E=60°，∠C=45°，EF∥BC,则∠BND的 A.25° B.40° 度数为 C.50° D.65 7.如图，在△ABC中，O是三个内角的平分线 的交点，过点O作∠ODC=∠AOC,交边 B (第3题) BC于点D.若∠ABC=n°，则∠BOD的度 4.如图，在△ABC中，AD是高，AE,BF是角 数为 () 平分线，且相交于点O,∠C=70° 90+之 B45+2 (1)∠AOB的度数为 (2)若∠ABC=60°，求∠DAE的度数. C.90°- 1 D.90° ED (第7题) (第8题)》 (第4题) 8.(2024·聊城期末改编)如图，在△ABC中， BD是边AC上的高，CE是∠ACB的平分 线，BD,CE相交于点F.若∠AEC=80°， ∠BFC=128°，则∠ABC的度数为 8 第十三章三角形 9.(2024·西安期中)如图，O为△ABC的三条爸思维拓展 角平分线的交点，∠BOC=120°，则∠BAC= 12.定义：在一个三角形中，如果有一 个角的度数是另一个角度数的， 那么我们称这两个角互为“和谐角”， 这个三角形叫作“和谐三角形”， (第9题) 例如：在△ABC中，如果∠A=70°，∠B= (第10题) 10.如图，BI平分∠ABC,CI平分· 35°，那么∠A与∠B互为“和谐角”，△ABC ∠ACB,把△ABC折叠，使点A与 为“和谐三角形”， 点I重合.若∠1+∠2=132°，则 如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A= ∠BIC的度数为 60°，D是线段AB上一点（不与点A,B重 11.将一把三角尺（△MPN,其中∠MPN= 合)，连接CD. 90°)放置在△ABC上(，点P在△ABC内)， (1)△ABC是“和谐三角形”吗？为什么？ 如图①，三角尺的两边PM,PN恰好经过 (2)若CD⊥AB,则△ACD,△BCD是“和 点B和点C.现进行如下探究：∠ABP与 谐三角形”吗？为什么？ ∠ACP之间是否存在某种数量关系？ (3)如图②，在△ABC中，∠ACB=60°， (1)若∠A=50°，则∠PBC+∠PCB= ∠A=80°，D是线段AB上一点（不与点 ;∠ABP+∠ACP= A,B重合)，连接CD.若△ACD是“和谐三 (2)猜想∠ABP,∠ACP,∠A之间的数量 角形”，求∠ACD的度数， 关系，并说明理由 (3)如图②，改变三角尺的位置，使点P在 △ABC外，三角尺的两边PM,PN仍恰好 经过点B和点C,猜想∠ABP,∠ACP, ② ∠A之间的数量关系，并说明理由， (第12题) ③ (第11题) 拔尖特训·数学（人教版）八年级上 第2课时 三角形的外角 自基础进阶 幻素能攀升 1.(2023·东营)如图，ABCD, 6.如图，在△ABC中，∠B=32°，将△ABC沿 点E在线段BC上（不与点B,C 直线m翻折，使点B落在点D的位置，则 重合)，连接DE.若∠D=40°， (第1题) ∠1一∠2的度数是 () ∠BED=60°，则∠B的度数为 ( A.32° B.45 C.60°D.64° A.10°B.20° C.40° D.60 E 2.若三角形的三个顶点处的相应外角的度数之 比为2：3：4，则与之对应的三个内角的度 B 数之比为 () (第6题) (第7题) A.4:3:2 B.2:3:4 7.如图，在△ABC中，∠ABC= C.5:3:1 D.1:3:5 ∠ACB,BD是△ABC的内角 3.如图，∠BCD是△ABC的一个外角，∠B= ∠ABC的平分线，AD是△ABC的 50°，∠BCD=110°，CE平分∠ACB,则 外角∠EAC的平分线，CD是△ABC的外角 ∠BEC= ∠ACF的平分线.下列结论中，不正确的是 () A.AD∥BC B.∠ACB=2∠ADB (第3题) (第4题) C.∠ADC=90°-∠ABD 4.(2024·凉山)如图，在△ABC中，∠BCD D.DB平分∠ADC 30°，∠ACB=80°，CD是边AB上的高，AE 8.如图，在△ABC中，BD为△ABC的内角平 是∠CAB的平分线，则∠AEB的度数为 分线，CE为△ABC的外角平分线.如果 5.如图，在△ABC中，AD⊥BC,∠DAC=10°， ∠BDC=130°，∠E=50°，那么∠BAC的度 AE是△ABC的外角∠MAC的平分线，E为 数为 AE与BC延长线的交点，BF平分∠ABC,交 AE于点F.若∠ABC=46°，求∠AFB的度数. (第8题) 9.“三等分一个任意角”是数学史上一个著名的 DC 问题.今天人们已经知道，仅用圆规和直尺是 (第5题) 不可能作出的.有人曾利用如图所示的图形 进行探索，其中四边形ABCD是长方形，F 是DA延长线上的一点，连接CF交AB于 点E,G是CF上的一点，且∠ACG= 10 第十三章三角形 ∠AGC,∠GAF=∠F,请写出∠ECB和罚思维拓展 ∠ACB之间的数量关系，并说明理由 11.(2024·达州改编)如图，在△ABC中，AE1, BE1分别是内角∠CAB和外角∠CBD的三 等分线，且∠E,AD=号∠CAB,∠E,BD= (第9题) 吉∠CBD, (1)若∠C=60°，则∠E1= (2)在△ABE1中，AE2,BE2分别是内角 ∠E1AB和外角∠E1BD的三等分线，且 ∠EAD= 3∠EAB.∠E:BD 吉E,BD,以此规律继续作下去若 ∠C=m°，试用含m,n的式子表示∠E,的 度数 10.(1)如图①，请探究∠ADB与∠A,∠B, ∠ACB之间的数量关系，并给出证明， B (2)如图②，DE平分∠ADB,CE平分 (第11题) ∠ACB,∠A=24°，∠B=66°，求∠E的 度数. (第10题) 116(cm.,F为CE的中点，.S△Ar= 1 -X6=3(cm). 一方法归纳 与两个三角形的面积有关的 常用结论 (1)等底等高的两个三角形面 积相等 (2)同底（或等底）的两个三角 形，面积比等于高的长的比. (3)等高的两个三角形的面积 比等于底边长的比」 (4)三角形的一条中线将三角 形分成面积相等的两个三角形. 10.警 解析：连接BE.BC=8, D是BC的中点，.BD=DC= 2BC=4:EFLBC,且EF=9 3 :Sam=2BD,EF=名X4X 智=号：A证=日DE易得 1 .4040 ∴.易得S△ABD=S△AC=S△DR十 5aw+5m=g9+g9-警 -9 11.AD⊥BC,CE⊥AB, 易得BF⊥AC :合AB·CE=3BC·AD 1 AC BF, AB=5,BC=4,AC=6, 号×5CE=号×4MD=号×6BR. .CE:AD:BF=12:15:10. 12.:BE,CF分别是△ABC的边 AC,AB上的中线， ·.AE=2AC,AF=2AB. 1 八SaAR=SaAp=2SAAC. ·AM⊥CF,AN⊥BE, 2CF·AM=2BE:AN BE=CF, .AM=AN. 13.(1).AB=AC,边AC上的中 线BD把△ABC的周长分为15和17 两部分， .分两种情况讨论： ①当AB+AD=AC+号AC=15 时，解得AC=10=AB. :BC=17-7X10=12 10,10,12能构成三角形， .AB和BC的长分别为10,12. ②当AB+AD=AC+2AC=I7 时，解得AC=34=AB. 3 =15-× :号学等能构成三角形。 :AB和BC的长分别为号学 综上所述，AB和BC的长分别为10， 12或号 (2)如图，过点D作DM⊥BC于点 M,DN⊥AB于点N. .AB<BC, ..AB=10,BC=12. ,BD是△ABC的中线， .S△AD=S△D: ZAB·DN=号BC·DM ,点D到边BC的距离DM为4， .点D到边AB的距离DN= 12×4_24 10 5 (第13题) 13.3三角形的内角与外角 第1课时三角形的内角 1.D2.D3.1059 4.(1)125. 3 (2):在△ABC中，AD是高，∠C= 70°，∠ABC=60, ∴.∠DAC=90°-∠C=90°-70°= 20°，∠BAC=180°-∠ABC-∠C= 180°-60°-70°=50° AE是∠BAC的平分线， ∠CAE-名∠RMC=25 ∴.∠DAE=∠CAE-∠DAC= 25°-20°=5. 5.C6.C 7.D解析：∠ABC=n°， ∴.∠BAC+∠BCA=180-∠ABC= 180°-n°.0是三个内角的平分线 的交点，∠OBC=2∠ABC= 1 2n,∠0CA=2∠BCA,∠0AC= 3∠BAC.·∠OAC+∠0CA- 3(∠BAC+∠BCA)=2(I8G n)=90-2.∠A0c=180° (∠OAC+∠0CA)=180°-（90° 3）=90+3.:∠0DC ∠A0C,∠0DC=90+7 ∴.∠BD0=180°-∠ODC=180° (9r+2）=9w-2:∠0c V,.∠BOD=180°-∠BD0- 1 ∠OBC=90°. 8.42°解析：BD是边AC上的 高，.∠BDC=90°.又∠BFC= 128°，.∴.∠CFD=180°-∠BFC= 52°..∠ACE=90°-∠CFD=90° 52°=38.又.∠AEC=80°，∴.∠A= 180°-∠AEC-∠ACE=180° 80°-38°=62.又CE是∠ACB的 平分线，∴.∠ACB=2∠ACE=76. ∴.∠ABC=180°-∠A-∠ACB= 180°-62°-76°=42. 9.60解析：由已知，可得∠BOC= 180-3(∠ABc+∠ACB)=120, ∴.∠ABC+∠ACB=120°.∴.∠BAC= 180°-（∠ABC+∠ACB)=60°. 10.123 11.(1)90°；40° (2)∠ABP+∠ACP=90°-∠A. 理由：（∠PBC+∠PCB)+ (∠ABP+∠ACP)+∠A=180, ∴.90°+（∠ABP+∠ACP)+ ∠A=180. ∴.∠ABP+∠ACP+∠A=90. ∴.∠ABP+∠ACP=90°-∠A. (3)∠ACP-∠ABP=90°-∠A 理由：设AB交PC于点O :∠AOC=∠POB, ∴.∠ACO+∠A=∠P+∠PBO,即 ∠ACP+∠A=90°+∠ABP. ∴.∠ACP-∠ABP=90°-∠A. 12.(1)△ABC是“和谐三角形” :∠ACB=90°，∠A=60°， .∠B=30° &∠B=3∠A .△ABC是“和谐三角形”. (2)△ACD,△BCD是“和谐三角形” :∠ACB=90°，∠A=60, .∠B=30 ,CD⊥AB, '.∠ADC=∠BDC=90 ∴.易得∠ACD=30°，∠BCD=60. 在△ACD中，.∠A=60°，∠ACD=30, ·∠ACD=2∠A ∴.△ACD是“和谐三角形”. 在△BCD中，：∠BCD=60°， ∠B=30°， &∠B=∠BCD, ∴.△BCD是“和谐三角形”， (3)△ACD是“和谐三角形”， :易得∠ACD=2∠A或∠ACD 支∠Ax 当∠ACD=号∠A时，∠ACD 合×0=40： 当∠ACD=∠ADC时，∠A+ 3∠ACD=180°，即3∠ACD=100°， ÷∠AcD-(9) 综上所述，∠ACD的度数为40°或 (罗为 第2课时三角形的外角 1.B2.C3.95°4.100 5.AD⊥BC, ∴.∠ADB=90 ∴.∠BAD=90°-∠ABC=44. 又：∠DAC=10, ∴.∠BAC=∠BAD+∠DAC=54. ∴.∠MAC=180°-∠BAC=126. ".AE是△ABC的外角∠MAC的平 分线， ·∠MAE=2∠MAC=63 :BF平分∠ABC, ∴.∠ABF= ∠ABC=23°. 2 ∴.∠AFB=∠MAE-∠ABF= 63°-23°=40°. 6.D7.D8.120 9.∠ACB=3∠ECB. 理由：，∠GAF=∠F, ∴.∠AGC=∠F+∠GAF=2∠F, ,∠ACG=∠AGC, .∠ACG=2∠F, .易知AD∥BC, '.∠ECB=∠F ∴.∠ACG=2∠ECB. .∠ACB=∠ACG+∠ECB= 2∠ECB+∠ECB=3∠ECB. 10.(1)∠ADB=∠A+∠B+ ∠ACB. 如图，连接CD并延长至点O, .'.∠ADO=∠A+∠ACO,∠BDO= ∠B+∠BCO :∠ADB=∠ADO+∠BDO, '.∠ADB=∠A+∠ACO+ ∠B+∠BCO. 4 ∴.∠ADB=∠A+∠B+∠ACB. (2)由(1)，可得∠ADB=∠A+ ∠B+∠ACB,∠ADE=∠A+ ∠E+∠ACE. 'DE平分∠ADB,CE平分∠ACB, 1 ·.∠ADE=Z∠ADB,∠ACE B∠ACB, :合∠ADB=∠A+∠E+ 2∠ACBR,即∠ADB=2∠A十 2∠E+∠ACB ∴.∠A+∠B+∠ACB=2∠A+ 2∠E+∠ACB. 整理，得∠E=合（∠B-∠A. ∠A=24°，∠B=66, ·∠E=2×(6-249)=21 B 0 (第10题) 11.(1)20°.解析：如图，依题意，得 ∠C=60,∠1=号∠CAB,∠2= 3∠CBD,∠CBD=∠C+∠CAB. ∴.3∠2=60°+3∠1，即∠2=20°+ ∠1.∠2=∠1+∠E1,.20°+ ∠1=∠1+∠E1.∴.∠E1=20°. （2)由题意，得∠E,AD=名∠CAB, ∠EBD=号<CBD. ∴.设∠E1AD=a,∠EBD=B,则 ∠CAB=3a,∠CBD=3,8. 由三角形的外角性质，得B=α十 ∠E1,33=3a+∠C, &∠E=g∠C. 同理，可得∠E,=号∠E (3)∠c,∠E,=(）广∠c ·∠E,=(得) B D (第11题) 专题特训一三角形内、 外角的平分线的夹角探究 1.20 2.∠APB的度数不变. 理由：：△AOB的角平分线AC与 BD交于点P, :∠PAB=2 ∠OAB,∠PBA= 2∠OBA. &∠PAB+∠PBA=-号∠OAB+ 2∠OBA=号（∠0AB+∠OBA)- 2CI80-∠A0B)=90-7∠A0B. ∴.∠APB=180°-（∠PAB+ ∠PBA)=180°-(90°-2∠A0B)= 90+2∠A0B. ,∠AOB=80°， ·∠APB=90+7×80=130,即 随着点A,B位置的变化，∠APB的 度数不变，始终为130. 3.(1)50°.解析：∠ABC, ∠ACB的三等分线交于点O1,O2, 六∠0，c-号∠AC,∠0.0B= 号∠ACB,B0,平分∠0，BC,00, 平分∠OCB.∴.易得OO1平分 ∠BO2C..∴.∠O2BC+∠O2CB= 号（∠ABC+∠ACB)=号XIs0 ∠A)=号×(180-609)=号 2 120°=80°.∴.∠B02C=180° (∠O2BC+∠O2CB)=180°-80°= 10o.∠B0.0,=2∠0，C= 3×100=50 (2)∠2是△O2O1B的外角， ∴.∠2=∠1+∠O1B02. ,∠1=115°，∠2=135， ∴.∠01B02=∠2-∠1=135° 115°=20°. 由题意知，BO2,BO1是∠ABC的 三等分线， ∴.∠O1BC=∠O,BO2=20°，∠ABC= 3∠O1B02=3×20°=60°. ∴.∠O1CB=180°-∠2-∠O1BC= 180°-135°-20°=25°. :CO1是∠ACB的平分线， ∴.∠ACB=2∠O,CB=2X25°= 50. ∴.∠A=180°-∠ABC-∠ACB= 180°-60°-50°=70°. 4.D5.B6.90 7.(1)①45. ②不发生变化 理由：由题意知，AD平分∠BAO, BC平分∠ABN, .∠BAD=2 ∠BAO,∠CBA= 合∠NBA :∠CBA=∠D+∠BAD, ∴.∠D=∠CBA-∠BAD= 2∠NBA-2∠BAO=2(∠NBA 1 ∠BAO)=2∠MON,. ∠MON=90, .∠D=45. .∠D的度数不发生变化. (2)由(1)②知，∠D=∠CBA- ∠BAD. :∠CBA=3∠ABN,∠BAD= 3∠BA0, ·∠D=号∠ABN-子∠BA0= 3(∠ABN-∠BAO)=寸∠MON. ,∠MON=90°， 5 '.∠D=30° (3a 8.59°解析：在△ABC中，∠C= 62°，.∠ABC+∠BAC=180° 62°=118°.∴.∠DAB+∠EBA= 180°-∠BAC+180°-∠ABC= 242°.AG,BG分别平分∠DAB, ∠EBA,.∠BAG+∠ABG= 1 2∠DAB+2∠EBA=2(∠DAB+ ∠EBA)=2 1 242°=121°.∴.∠G 180°-（∠BAG+∠ABG)=180° 121°=59°」 专题特训二三角形 中的数学思想方法 1.A2.24 3.设∠A=x,则∠C=∠ABC= 2. :BD是边AC上的高， ∴.∠ADB=∠CDB=90°. ∴.∠ABD=90°-∠A=90°-x, ∠DBc=0°-∠C=90°-2x. :'∠ABD+∠DBC=∠ABC, 090-x十90-号=号x,解得 -3 x=45 ∠DBC=90°-∠C=90°-3 = 22.5. 4.AD是△ABC的边BC上的 中线， .CD=BD △ADC的周长比△ABD的周长 多5cm, ∴.AC+CD+AD-(AB+BD+ AD)=5 cm. .AC-AB=5cm①. 又AB+AC=13cm②， ∴.①+②，得2AC=18cm ∴.AC=9cm. 5..∠AKG=∠A+∠B,∠DHG= ∠C+∠D,∠FGK=∠E+∠F,