第12章 专题特训9 线段垂直平分线与角平分线的应用-【拔尖特训】2025-2026学年新教材八年级上册数学（华东师大版2024）

拔尖特训·数学（华师版）八年级上 专题特训九线段垂直平分线与角平分线的应用 类型一 根据线段垂直平分线的性质求线段的长 5.如图，线段AB、DE的垂直平分线 1.如图，在△ABC中，DE是AB的垂直平分 交于点C,且∠ABC=∠EDC= 线，△ABC的周长为24cm,△BCD的周长 72°，∠AEB=92°，求∠EBD的 为16cm,则BE的长为 ( 度数 A.3 cm B.4cm C.5 cm D.6 cm D (第5题) B D E (第1题) (第2题》 2.如图，在△ABC中，AB=AE,且AD⊥BC 于点D,EF垂直平分AC,交AC于点F,交 BC于点E.若△ABC的周长为16，AC=6, 则DC的长为 3.如图，AB比AC长2cm,BC的垂直平分线 交AB于点D,交BC于点E,△ACD的周长 是14cm,分别求AB和AC的长， 类型三根据角平分线的性质求距离或线段的长 E 6.如图，两条笔直的公路11、l2相交于点A,村 (第3题) 庄C的村民要在公路的旁边建三个加工厂A、 B、D.已知AB=BC=CD=DA=5km,村庄 C到公路l1的距离为4km,则村庄C到公路 12的距离为 A.3 km B.4km C.5km D.6 km 类型二根据线段垂直平分线的性质求角的度数 0 B (第6题) (第7题) 4.已知MN是线段AB的垂直平分线，P、Q是 7.如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线， 直线MN上两点，且∠PAB=35°，∠QBA AB=9,AC=6,BC=10,则CD的长 60°，则∠QAP的度数为 为 78 第12章全等三角形 类型四根据角平分线的性质判断两角之间的 10.★如图，在△ABC中，∠BAC的平 数量关系 分线AD与BC的垂直平分线DE 8.如图，C是∠MAN的平分线上一点，CE⊥ 相交于点D,DM⊥AB于点M AB于点E,点B、D分别在AM、AN上，且 DN⊥AC交AC的延长线于点N.求证： AE=2(AD+AB).试探究∠1和∠2之间 (1)BM=CN. 的关系，并说明理由， (2)AM=2(AB+AC). D M 2 E BM (第8题) (第10题) 类型五线段垂直平分线与角平分线的综合应用 9.如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线ED 交BC于点E,交BA的延长线于点D,过点 C作CF⊥BD于点F,交DE于点G.若 BC=2DF,求证：点G在∠ABC的平分 线上 D (第9题) 79∠CMD=∠BND, ∠MCD=∠NBD, DM-DN, '.△CDM≌△BDN(AAS). .'CD=BD. M C D NB F (第10题) 11.(1)如图. (2)AB=2BE-BC. 如图，过，点D作DF⊥AB于点F, ,BM平分∠ABC,DF⊥AB, DE⊥BC, .'DE=DF. .AD=CD, ∴.易得Rt△ADF≌Rt△CDE(H). .AF=CE. .DE=DF,BD=BD, ∴易得Rt△BDF≌Rt△BDE(HI,). .BF=BE. .AB=BF+AF=BE+CE=BE+ BE-BC=2BE-BC. (3)AB=BC+2BE. (第11题) 专题特训九线段垂直平分线 与角平分线的应用 1.B解析：△ABC的周长为 24 cm,.'AB+BC +AC=24 cm. :DE是AB的垂直平分线， :DA=DB,BE=号AR:△BCD 的周长为16cm,∴.BC+CD+DB= 16 cm..BC+CD+DA BC+ AC=16cm..AB=24-16= 8(cm)..'.BE=4cm. 2.5解析：△ABC的周长为16， .'AB+BC+AC=16..'AC=6, ∴.AB+BC=10..EF垂直平分 AC,.'.AE=CE..AB=AE,AD BC,..AB=CE,BD=DE..AB+ BD-CE+DE-(AB+RC)-5 .DC=CE+DE=5. 3.:'△ACD的周长是14cm, .∴.AD+DC+AC=14cm. ,DE是BC的垂直平分线， .DB=DC. .AD+DC=AD+DB-AB. ∴.AB+AC=14cm. 又：AB比AC长2cm, ∴.AB-AC=2cm. ∴.AB=8cm,AC=6cm. 4.25或95°解析：MN是线段 AB的垂直平分线，.QA=QB. ∴.∠QAB=∠QBA=60°.如图①，当 点P、Q在AB的同侧时，∠QAP= ∠QAB-∠PAB=60°-35°=25°；如 图②，当点P、Q在AB的异侧时， ∠QAP=∠QAB+∠PAB=60°+ 35°=95°.综上所述，∠QAP的度数 为25或95°. M ② (第4题) 5.连结CE ,线段AB、DE的垂直平分线交于 点C, .'CA=CB,CE=CD. .'.∠BAC=∠ABC=72°，∠DEC= ∠EDC=72 ∴.易得∠ACB=∠DCE=36. .'.∠ACB-∠BCE=∠DCE ∠BCE,即∠ACE=∠BCD. 28 在△ACE和△BCD中， (CA=CB, ∠ACE=∠BCD, CE=CD ∴.△ACE≌△BCD(SAS). ∴.∠AEC=∠BDC. 设∠AEC=∠BDC=a, 则∠BDE=∠EDC-∠BDC=72°- a,∠CEB=∠AEB-∠AEC= 92°-a. ∴.∠BED=∠DEC-∠CEB=T2- (92°-a)=a-20°. .∠EBD=180°-∠BDE- ∠BED=180°-(72°-a)-(a- 20°)=128°. 6.B解析：如图，连结AC,过点C 作CE⊥l2于点E,CF⊥l1于点F. .村庄C到公路l1的距离为4km, ∴.CF=4km.在△CAD和△CAB (AD=AB, 中，AC=AC,∴.△CAD≌△CAB CD=CB, (SSS).∴.∠CAD=∠CAB,即AC 平分∠BAD.∴.CE=CF=4km,即 村庄C到公路12的距离为4km E D A /B 0 F (第6题) 7.4解析：如图，过点D作DE⊥ AB于点E,DF⊥AC于点F.AD 平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC, .DE DF.. S△ADB= S△AC 1 AB·DE 2AC·DF -子：易得 AC CD2.:BC=10,易得CD= BD 3 E B D (第7题) 8.∠1+∠2=180. 理由：如图，过点C作CF⊥AN于 点F .AC平分∠MAN, .∠3=∠4. 又.CE⊥AM,CF⊥AN, ∴.CF=CE,∠CFA=∠CEA=90. 在Rt△ACF和Rt△ACE中， AC=AC, CF=CE, '.Rt△ACF≌Rt△ACE(HL). .AF=AE. AE-(AD+AB)-(AF- DF+AE+BE)=AE+名(BE DF), .'BE=DF. 在△BEC和△DFC中， CE=CF, ∠CEB=∠CFD=90°， BE=DE, .∴.△BEC≌△DFC(SAS). ∴.∠2=∠5. .∠1+∠5=180°， .∠1+∠2=180°. N 2 E BM (第8题) 9.ED是边BC的垂直平分线， 、1 ·BE=CE=2BC. CF⊥BD,DE⊥BC, .∠DFG=∠CEG=90. .BC=2DF, ·DF=2BC. .DF=CE. 在△DFG和△CEG中， ∠FGD=∠EGC, ∠DFG=∠CEG, DE=CE, .△DFG≌△CEG(AAS). ∴.GF=GE 又·CF⊥BD,DE⊥BC, '.点G在∠ABC的平分线上 10.(1)连结BD,CD. :AD平分∠BAC,DM⊥AB, DN⊥AC, .DM=DN. DE垂直平分BC, .'BD=CD. 在Rt△BDM和Rt△CDN中， (BD=CD, DM-DN. ∴.Rt△BDM≌Rt△CDN(HL). ∴.BM=CN. (2)由(1)，得BM=CN, 即AB-AM=AN-AC, .AM+AN=AB+AC. 在Rt△ADM和Rt△ADN中， (AD-AD. DM=DN, .'.Rt△ADM≌Rt△ADN(HL). .AM=AN. AM=- (AB+AC). 一方法归纳 巧添辅助线证全等 当证明两条线段或两个角相 等时，常证它们所在的两个三角形 全等，而这两条线段或两个角刚好 是对应边或对应角，从而得出结论 成立.如果没有现成的三角形，往 往需要作辅助线来构造出全等三 角形.本题的已知条件里有“垂直 平分线”，所以根据垂直平分线的 性质要连结BD、CD,正所谓“缺则 补之” 第12章整合拔尖 [高频考点突破] 典例1A [变式]C解析：如果两个角互补， 29 那么这两个角可能都为90°，.选项 C是假命题 典例2.AG⊥BD,AF⊥CE, ∴∠AGB=∠AFC=90°. 在Rt△AGB和Rt△AFC中， (AB=AC, AG-AF, '.Rt△AGB≌Rt△AFC(HI). .∠B=∠C. 在△ABD和△ACE中， ∠B=∠C, RAB=AC, ∠BAD=∠CAE, '.△ABD2△ACE(ASA). .AD-AE. 一方法归纳 两头凑法证明三角形全等 两头凑的方法是先由已知条 件并结合已经学过的定义、定理、 公理推导，看能推导出什么结论： 同时由结论出发，反过来寻找使结 论成立所需的条件，一步步逆推， 当正好和由已知推导出的结论相 吻合时，问题即可得证，即已知 中间条件结论 [变式]32解析：如图，延长AB、 DE相交于点F.:∠DAB的平分线 交BC于点E,∴.∠DAE=∠FAE :DE⊥AE,∴.∠AED=∠AEF= 90°.在△AED和△AEF中， ∠DAE=∠FAE, RAE-AE, .'.△AED≌ ∠AED=∠AEF, AAEF(ASA)..DE=EF,AD= AF.:AB∥DC,.∠CDE=∠F. 在△DEC和 △FEB中， ∠CDE=∠F, DE=FE, ∴.△DEC≌ ∠DEC=∠FEB, △FEB(ASA)..'.DC=BF. .'AB+DC=AB+BF=AF=AD. .四边形ABCD的周长为AD+ AB+BC+DC=2AD+BC=2X