第12章 专题特训8 等腰三角形中常用辅助线的作法-【拔尖特训】2025-2026学年新教材八年级上册数学（华东师大版2024）

.∴.∠EBO=∠EOB,∠FCO=∠FOC ∴.BE=OE,CF=OF. ∴.EF=OE-OF=BE-CF. .(1)中的结论不成立. 10.(1).△ADE和△ABC都是等 边三角形， ∴.AE=AD,AB=AC,∠EAD= ∠BAC=60°. ∴.∠EAD-∠BAD=∠BAC ∠BAD,即∠EAB=∠DAC. 在△AEB和△ADC中， AE-AD, ∠EAB=∠DAC, AB=AC, ∴.△AEB≌△ADC(SAS). .BE=CD. (2)△AMN是等边三角形 ,△AEB≌△ADC, .∠AEM=∠ADN,BE=CD M、N分别是BE、CD的中点， ∴EM=2BE,DN=2CD, .'EM=DN. 在△AEM和△ADN中， AE-AD, ∠AEM=∠ADN, EM=DN, .'.△AEM≌△ADN(SAS). .AM=AN,∠EAM=∠DAN. :∠EAD=60, ∴.∠EAM+∠MAD=60° ∴.∠DAN+∠MAD=∠MAN=60, ∴.△AMN是等边三角形 方法制归纳 等边三角形判定方法的选择 (1)若已知三边关系，则考虑用“三 条边都相等的三角形是等边三角 形”来判定， (2)若已知三角关系，则考虑用“三 个角都相等的三角形是等边三角 形”来判定 (3)若已知该三角形是等腰三角 形，则考虑用“有一个角是60°的等 腰三角形是等边三角形”来判定 专题特训八等腰三角形中 常用辅助线的作法 1.连结DE、DF .AB=AC, ∴.∠B=∠C 在△BDE和△CFD中， (BE=CD, ∠B=∠C, BD=CF, ∴.△BDE≌△CFD(SAS). ∴.DE=FD. ,G是EF的中点， .DG⊥EF 2.连结CD. 在Rt△ECD和Rt△FCD中， CD=CD. CE=CF, ∴.Rt△ECD≌Rt△FCD(HL). ∴.∠CDE=∠CDF CA=CB,D是AB的中点， .CD⊥AB ∴.∠CDA=∠CDB. ∴.∠CDA-∠CDF=∠CDB ∠CDE,即∠ADF=∠BDE. 3.过点A作AG⊥BC于点G,则 ∠AGB=90°. .∠B+∠BAG=180°-∠AGB= 90°」 DF⊥AB, .∠BDF=90°. .∴.∠B+∠F=180°-∠BDF=90°. ∴.∠F=∠BAG .AB=AC,AG⊥BC, '.∠BAG= ∠AC ∴∠F= ∠BAC. 21 4.(1)如图，过点D作DH∥AC,交 BC于点H,则∠DHB=∠ACB, ∠DHF=∠ECF .AB=AC, .∠B=∠ACB. .'.∠B=∠DHB .'BD=HD. 24 CE=BD, .HD=CE. 在△DHF和△ECF中， ∠DFH=∠EFC, ∠DHF=∠ECF, HD=CE ∴.△DHF≌△ECF(AAS). .DF=EF (2)由(1)，得BD=HD .DG⊥BC, BG=GH,即GH=2BH. 由(I),得△DHF≌△ECF. 1 .HF=CF,即HF=2CH, 1 FG=GH+HF三BH十) cH=号Bc. .BC=2FG. B GH F E (第4题) 5.如图，在CD上截取DE=BD,连 结AE. :AD⊥BC, ∴.∠ADB=∠ADE=90°. 在△ABD和△AED中， BD-ED, ∠ADB=∠ADE, AD-AD, ∴.△ABD≌△AED(SAS). .AB=AE,∠B=∠AED. AB+BD=CD,DE=BD, .AB+DE=CD. 又，CD=DE+EC, ∴AB=EC. .AE=EC. 设∠EAC=∠C=x. ∠AEB为△AEC的外角， ∴.∠AEB=∠EAC+∠C=2x. ∴.∠B=2x. ∴.∠BAE=180°-2x-2x= 180°-4x. .∠BAC=120°， ∴.∠BAE+∠EAC=120°，即180°- 4x+x=120°. ∴.x=20. .∠C=20. A B D E (第5题) 6.如图，延长AD至点E,使ED= AD,连结BE 在△EDB和△ADC中， ED=AD, ∠EDB=∠ADC, BD=CD, '.△EDB≌△ADC(SAS). '.EB=AC,∠E=∠DAC. .AD平分∠BAC, .∠DAB=∠DAC .∠DAB=∠E .'.AB=EB. ∴.AB=AC. '.∠ABC=∠C. B4 C D E (第6题) 7.如图，延长AD至，点G,使DG AD,连结BG. AD为边BC上的中线， .'BD=CD. 在△BDG和△CDA中， BD=CD, ∠BDG=∠CDA, DG-DA, '.△BDG≌△CDA(SAS). .BG=CA,∠G=∠CAD, .AE=EF, .∠CAD=∠AFE. 又.·∠BFG=∠AFE, .∴.∠G=∠BFG .BG=BE ∴.AC=BF G (第7题) 8.如图，在AC上截取AE=AB,连 结DE. :AD平分∠BAC, ∴.∠BAD=∠EAD. 在△ABD和△AED中， (AB=AE, ∠BAD=∠EAD, AD-AD, .'.△ABD≌△AED(SAS). ∴.∠B=∠AED,BD=ED. 又∠B=2∠C, ∴.∠AED=2∠C :∠AED=∠C+∠EDC, ∴.∠EDC=∠C .ED=CE. .BD=CE. ∴.AB+BD=AE+CE=AC. D (第8题) 方法归纳 利用倍角关系构造 等腰三角形的方法 已知在△ABC中，∠ACB 1 ∠ABC. (1)如图①，作∠ABC的平分线 BD,则可构造等腰三角形BDC. (2)如图②，作∠BCE=2∠ACB, 交BA的延长线于点E,则可构造 等腰三角形BCE. 25 (3)如图③，延长CB至，点D,使 BD=AB,连结AD,则可构造等腰 三角形ABD和等腰三角形ADC. (4)如图④，作∠BCE=∠ACB, 交AB的延长线于点E,则可构造 等腰三角形BCE. A C ② ② B ③ A B ⊙ 12.4逆命题和逆定理 第1课时互逆命题和互逆定理 1.D2.C3.如果m、n互为倒数， 那么m=1真真 4.如果两个角的平分线在一条直线 上，那么这两个角是对顶角假 5.(1)这个命题是假命题. 如图，在△ABC和△ABD中，AB= AB,AD=AC,∠B=∠B,但△ABC 与△ABD显然不全等. ∴此命题是假命题。 (2)逆命题：如果两个三角形全等，那 么这两个三角形的两边及其中一边所 对的角对应相等。 逆命题是真命题！ B D (第5题) 6.B7.A8.①③ 9.假解析：如果二次三项式x2十 k.y十y2是完全平方式，那么k=士2，拔尖特训·数学（华师版）八年级上 专题特训)八等腰三角形中常用辅助线的作法 类型一 连结线段构造等腰三角形 3.如图，在△ABC中，AB=AC,D为边AB上 1.如图，在△ABC中，AB=AC,点D、E、F分 一点，过点D作DF⊥AB,交AC于点E,交 别在BC、AB、AC上，且BD=CF,BE= BC的延长线于点F.求证：∠P-∠BAC. CD,G是EF的中点.求证：DG⊥EF. D B (第1题) (第3题) 类型三作平行线构造等腰三角形 4.如图，在△ABC中，AB=AC,点D 类型二作“三线”中的“一线” 在边AB上，点E在AC的延长线 上，且CE=BD,连结DE交BC于 2.如图，在△ABC中，CA=CB,D是AB的 点F 中点，∠E=∠F=90°，CE=CF.求证： (1)求证：DF=EF. ∠ADF=∠BDE. (2)过点D作DG⊥BC,垂足为G.求证： BC=2FG. (第2题) (第4题) 70 第12章全等三角形 类型四用“截长补短法”构造等腰三角形 7.如图，在△ABC中，AD为边BC上 5.如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AD⊥BC 的中线，E为AC上一点，BE与AD 于点D,且AB十BD=CD,求∠C的度数. 交于点F.若AE=EF,求证 AC=BF. B D (第5题) (第7题) 类型五用“倍长中线法”构造等腰三角形 类型六运用转化倍角构造等腰三角形 6.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,交BC 8.★如图，在△ABC中，AD平分 于点D,BD=CD.求证：∠ABC=∠C ∠BAC,∠B=2∠C.求证：AB+ BD=AC. B D B D (第6题) (第8题) 7列