第12章 专题特训7 全等三角形的性质与判定的综合-【拔尖特训】2025-2026学年新教材八年级上册数学（华东师大版2024）

拔尖特训·数学（华师版）八年级上 专题特训七全等三角形的性质与判定的综合 类型一证明角相等 类型二 证明线段相等 1.如图，AB=AC,AD=AE,∠BAC= 3.如图，小明和小芳以相同的速度分别从点A、 ∠DAE,延长BD交CE的延长线于点F. B同时出发，小明沿AC行走，小芳沿BD行 求证：∠F=∠BAC. 走，并同时到达点C、D.若CB⊥AB,DA⊥ AB,则CB与DA相等吗？请说明理由， D (第1题) (第3题) 4.如图，M是线段AB上的一点，ED 2.如图，在△ABC和△DEF中，B、C、E、F四 是过点M的一条线段，连结AE 点在同一条直线上，AC与DF交于点G.已 BD,过点B作BFAE交ED于点 知AB=DE,∠B=∠E,BF=CE, F,且EM=FM,C是线段DF上一点，连 (1)求证：∠A=∠D. 结AC. (2)若AC⊥DF,∠A=55°，求∠E的度数. (1)求证：AE=BF. D (2)若∠E=90°，∠CAE=∠DBF,CD=4, 求EM的长. C (第2题) (第4题) 64 第12章全等三角形 类型三证明位置关系 类型四探究线段之间的数量关系 5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CE⊥AB于 7.如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC, 点E,AD=AC,AF平分∠CAB交CE于点F, ∠ABC的平分线BD交AC于点D,CE⊥I DF的延长线交AC于点G.求证：DFBC. BD,交BD的延长线于点E.试猜想CE与 BD之间的数量关系，并说明理由. (第5题) (第7题) 6.★如图，BE、CF是△ABC的高，它们相交于 点O,点P在BE上，点Q在CF的延长线 8.如图，在四边形ABCD中，∠B十 上，且BP=CA,AB=QC. ∠D=180°，∠BCD=150°，CB= (1)求证：△ABP2△QCA. CD,M、N分别为AB、AD上的动 (2)探究AP和AQ的位置关系，并给出 点，且∠MCN=75°.求证：MN-BM=DN. 证明. B (第8题) (第6题) 65.∴.Rt△ABF≌Rt△CDE(HI). .BF=DE 在△BFG和△DEG中， ∠BGF=∠DGE, ∠BFG=∠DEG, BF=DE, ∴.△BFG≌△DEG(AAS). .FG=EG,即G是EF的中点 一方法归纳 运用“分析法”证明三角形全等 在解答题目的过程中可采用 “分析法”，即逆向推导，先明确要 判定全等的两个三角形，再寻找已 知条件，根据已知条件得出缺少的 条件，从而证得结论.在证明与线 段相等或角相等的有关问题时，常 常需要先证明线段或角所在的两 个三角形全等. 7.AB⊥BC,DE⊥EF, .∠ABC=∠DEF=90°. 在Rt△ABC和Rt△DEF中， AC=DF, AB=DE, ∴.Rt△ABC≌Rt△DEF(HL) ∴.∠A=∠D .AC=DF, .AC-FC=DF-FC,AF=DC. 在△ABF和△DEC中， (AF=DC, ∠A=∠D, AB-DE, ∴.△ABF≌△DEC(SAS). ∴.∠AFB=∠DCE. .∠BFC=∠ECF. ∴.BFCE 8.(1)BD⊥直线m,CE⊥直 线， .∠BDA=∠AEC=90°. .∠BAD+∠ABD=90. .∠BAC=90° '.∠BAD+∠CAE=90°. ∴.∠ABD=∠CAE. 在△ADB和△CEA中， ∠BDA=∠AEC, ∠ABD=∠CAE, AB-CA, .△ADB≌△CEA(AAS). ∴.BD=AE,AD=CE .DE=AE+AD=BD+CE. (2)成立 ,∠BDA=∠BAC=a, .∠ABD+∠BAD=∠BAD+ ∠CAE=180°-a. .∠ABD=∠CAE. 在△ADB和△CEA中， I∠BDA=∠AEC, ∠ABD=∠CAE, AB-CA. .'.△ADB≌△CEA(AAS)」 .BD=AE,AD=CE. .DE=AE+AD=BD+CE. 专题特训七全等三角形的 性质与判定的综合 1.设BF交AE于点O. ∠BAC=∠DAE, .'.∠BAC-∠DAC=∠DAE- ∠DAC,即∠BAD=∠CAE. 在△BAD和△CAE中， (AB=AC, ∠BAD=∠CAE, AD=AE, ∴.△BAD≌△CAE(SAS). ∴.∠ADB=∠AEC. ∴.∠ADO=∠FEO. :∠AOD=∠EOF, ∴.∠DAO=∠F. :∠DAO=∠BAC, .∠F=∠BAC. 2.(1)BF=CE, ∴.BF+CF=CE+CF,即BC=EF. 在△ABC和△DEF中， (AB=DE, ∠B=∠E, BC=EF, ∴.△ABC≌△DEF(SAS). .∠A=∠D. (2)AC⊥DF, 21 .∴.∠CGF=90°. :△ABC≌△DEF, ∴.∠ACB=∠DFE= 2×(180° 90°)=45° ∠A=∠D=55, ∴.∠E=180°-∠DFE-∠D= 180°-45°-55°=80° 3.CB=DA. 理由：由题意，知AC=BD. ·CB⊥AB,DA⊥AB, ∴.∠DAB=∠CBA=90°. 在Rt△DAB和Rt△CBA中， (BD=AC, AB=BA, ∴.Rt△DAB≌Rt△CBA(HL). .CB=DA. 4.(1)BF∥AE, ∴.∠E=∠BFM. 在△AME和△BMF中， ∠AME=∠BMF, EM-FM, ∠E=∠BFM, ∴.△AME≌△BMF(ASA). .AE=BF. (2)∠E=∠BFM=90°， ∴.∠BFD=90°. .∠E=∠BFD, 在△AEC和△BFD中， ∠E=∠BFD, AE=BF, ∠CAE=∠DBF, .∴.△AEC≌△BFD(ASA). .EC=FD ∴.EC-CF=FD-CF,即EF= CD=4. EM=FM, 1 ·EM=2EF=2. 5.:AF平分∠CAB, ∴.∠CAF=∠DAF. 在△ACF和△ADF中， AC-AD, ∠CAF=∠DAF, AF-AF. ∴.△ACF≌△ADF(SAS). .∠ACF=∠ADF. ,∠ACB=90, .∠CAE+∠B=90 CE⊥AB, .∠AEC=90°. .∠ACF+∠CAE=90. ∴.∠ACF=∠B, .∠ADF=∠B. ∴.DFBC. 6.(1)·BE、CF是△ABC的高， ∴.∠AEB=90,∠AFC=90. ∴.∠ABP+∠BAE=90°，∠QCA+ ∠BAE=90° ∴.∠ABP=∠QCA. 在△ABP和△QCA中， (BP=CA, ∠ABP=∠QCA, LAB=QC, ∴.△ABP≌△QCA(SAS). (2)AP⊥AQ: .·△ABP≌△QCA, ..∠BAP=∠Q ,∠AFC=90, .∠Q+∠BAQ=90. ∴.∠BAP+∠BAQ=90°，即 ∠PAQ=90°. .AP⊥AQ. 方法归纳 证明两条直线互相垂直 证明两条直线互相垂直是常 见的题型，解决这类问题的一般方 法是证明这两条直线的夹角为 90°，即证明组成这个夹角的几个角 的和是90°或者这个夹角所在的三 角形的另外两个角的和是90° 7.BD=2CE. 理由：延长BA、CE相交于点F, :BD平分∠ABC, ∴.∠CBE=∠FBE CE⊥BD, ∴.∠BEC=∠BEF=9O° 在△BCE和△BFE中， ∠CBE=∠FBE, BE=BE. ∠BEC=∠BEF, .△BCE≌△BFE(ASA). .CE=FE. ,∠BAC=∠BEC=90°， .∴.∠ACF+∠F=90°，∠ABD+ ∠F=90 ∴.∠ABD=∠ACF. 在△ABD和△ACF中， ∠ABD=∠ACF, AB=AC, ∠BAD=∠CAF=90°， ∴.△ABD≌△ACF(ASA). ∴BD=CF. CF=CE+EF=2CE, .∴.BD=2CE. 8.如图，延长AB至点E,使得BE= DN,连结CE. :∠ABC+∠D=180,∠ABC+ ∠CBE=180°， ∴∠CBE=∠D 在△CBE和△CDN中， (CB=CD, ∠CBE=∠D, BE-DN, ∴.△CBE≌△CDN(SAS). .CE=CN,∠BCE=∠DCN. ,∠BCD=150°，∠MCN=75°， ∴.∠MCE=∠MCB+∠BCE= ∠MCB+∠DCN=∠BCD ∠MCN=150°-75°=75°. ∴.∠MCE=∠MCN. 在△ECM和△NCM中， MC=MC, ∠MCE=∠MCN, CE=CN. ∴.△ECM≌△NCM(SAS). .'MN=ME=BM+BE=BM+ DN. .'MN-BM=DN. D E-- (第8题) 22 12.3等腰三角形 第1课时等腰三角形的性质 1.C2.C3.15 4.DE∥AF .在△ABC中，AB=AC,AF⊥BC 于点F, .∠BAF=∠CAF. .'AD=AE, .∠ADE=∠AED. 又，∠BAC=∠ADE+∠AED, ∠BAC=∠BAF+∠CAF, '.∠CAF=∠AED. .DE∥AF 5.A 6.A解析：由题意，设等腰三角形的 两个角的度数分别是x和2x一20. ①当顶角的度数是x,底角的度数是 2x一20时，x+2(2x一20°)=180°，解 得x=44°..J顶角的度数是44°. ②当底角的度数是x,顶角的度数是 2.x-20时，2.x十(2x-20)=180°，解 得x=50°..顶角的度数是2X50° 20°=80°.③当底角的度数是x和 2x-20°时，x=2x-20°，解得x= 20°..顶角是180°一20°×2=140 综上所述，这个等腰三角形的顶角的 度数是44或80°或140 7.C 8.A解析：，△ABC为等边三角 形，AD平分∠BAC,.AD⊥BC.故 ①正确.△ABC为等边三角形， ∴.∠ABC=∠BAC=60°.，AD平分 ∠BAC,.'.∠BAD=∠CAD= 2∠BAC=2X60°=309， .△ADE是等边三角形，'.∠EAD 60°，AE=AD.∴.∠EAF= ∠EAD-∠DAF=30°.∴.∠EAF= ∠DAF.∴.AF⊥ED,EF=FD.故② 正确.在△AEB和△ADB中， AE-AD, ∠BAE=∠BAD,∴.△AEB≌ AB=AB,