第12章 专题特训6 全等三角形的基本模型-【拔尖特训】2025-2026学年新教材八年级上册数学（华东师大版2024）

拔尖特训·数学（华师版）八年级上 专题特训六全等三角形的基本模型 类型一平移模型 4.如图，AB=AC,BD=CD,过点DI 1.如图，点B、C、E、F在同一条直线上，BE= 作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为 CF,AC⊥BC,DF⊥EF,垂足分别为C、F, E、F.求证： AB=DE.求证：AC=DF. (1)∠B=∠C. (2)BE=CF. C E (第1题) (第4题) 2.如图，点E、C在BF上，BE=CF,AB= DE,∠B=∠DEF.判断AC与DF之间的 关系，并证明. 类型三旋转共顶点模型 E 5.如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交 (第2题) 点，且MQ=VQ.若PQ=5,VQ=9,求MH 的长 M 类型二对称模型 0 3.如图，在△ABE中，AB=AE,AD=AC, (第5题) ∠BAD=∠EAC,BC、DE相交于点O.求 证：∠C=∠D, (第3题) 62 第12章全等三角形 类型四旋转不共顶点模型 类型五一线三等角模型 6.★如图，点A、E、F、C在同一条直线上， 8.(1)如图①，在△ABC中，∠BAC AE=CF,过点E、F分别作DE⊥AC,BF⊥ 90°，AB=AC,直线m经过点A AC,连结AB、CD、BD,BD交AC于点G. BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分 若AB=CD,求证：G是EF的中点. 别为D、E.求证：DE=BD十CE. (2)如图②，将(1)中的条件改为在△ABC G/ 中，AB=AC,D、A、E三点都在直线m上， 且∠BDA=∠AEC=∠BAC=a,其中a为 0 任意钝角，请问结论DE=BD十CE是否成 (第6题) 立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明 理由. D A E m ⊙ ② (第8题) 7.如图，A、F、C、D四点在同一条直线上， AB⊥BC,DE⊥EF,AC=DF,AB=DE,连 结BF、CE.求证：BFCE, (第7题) 63.∴.∠AMB=∠CNA=90° 在Rt△AMB和Rt△CNA中， AB=CA, BM=AN, ..Rt△AMB≌Rt△CNA(HI). (2)由(1)，得Rt△AMB≌Rt△CNA, .∠BAM=∠ACN. ,∠CNA=90°， ..∠CAN+∠ACN=90. .∠CAN+∠BAM=90 ∴.∠BAC=180°-（∠CAN+ ∠BAM)=90 ∴.AB⊥AC. 10.:AD、AF分别是钝角三角形 ABC和钝角三角形ABE的高， ∴.∠D=∠F=90° 在Rt△ADC和Rt△AFE中， AC=AE, AD-AF, .'.Rt△ADC≌Rt△AFE(HI). .CD=EF 在Rt△ABD和Rt△ABF中， (AB=AB, AD-AF, ..Rt△ABD2Rt△ABF(HI). .'BD=BF. .'BD-CD=BF-EF. .'BC=BE. 方法归纳 判定直角三角形全等的 “四种思路 (1)若已知条件中有一组直角边和 一组斜边分别相等，则用“HL”判定. (2)若有一组锐角和一组斜边分别 相等，则用“AAS”判定 (3)若有一组锐角和一组直角边分 别相等，①直角边是锐角的对边， 则用“AAS”判定：②直角边是锐角 的邻边，则用“ASA”判定 (4)若两组直角边分别相等，则用 “SAS”判定 1L.如图，过B、C两点分别作CA、 BA的垂线，分别交CA、BA的延长 线于点FG 在△ABF和△ACG中， ∠F=∠G=90°， ∠FAB=∠GAC, AB=AC, .△ABF≌△ACG(AAS). .∴.BF=CG 在Rt△BEF和Rt△CDG中， (BE=CD, BF=CG, ∴.Rt△BEF≌Rt△CDG(HL). ∴.∠AEB=∠ADC. 、4 D c (第11题) 专题特训六全等三角形的 基本模型 1..BE=CF, .BE-CE=CF-CE,即BC=EF AC⊥BC,DF⊥EF, ∴.∠ACB=∠F=90°. ∴.△ABC、△DEF都是直角三角形. 在Rt△ABC和Rt△DEF中， (AB=DE, BC=EF, ∴.Rt△ABC≌Rt△DEF(HL). .AC=DF 2.AC=DF,AC∥DF. BE=CF, ∴.BE+EC=CF+EC,即BC=EF, 在△ABC和△DEF中， AB=DE, ∠B=∠DEF, BC=EF, .'.△ABC≌△DEF(SAS). ∴.AC=DF,∠ACB=∠F ∴.AC∥DF. 3.∠BAD=∠EAC, ∴.∠BAD+∠DAC=∠EAC+ ∠DAC,即∠BAC=∠EAD. 在△ABC和△AED中， AB=AE, ∠BAC=∠EAD, AC=AD, 20 ∴.△ABC≌△AED(SAS) .∠C=∠D 4.(1)如图，连结AD. 在△ABD和△ACD中， (AB=AC, BD=CD, AD-AD, ∴.△ABD≌△ACD(SSS) .∠B=∠C. (2)DE⊥AB于点E,DF⊥AC于 点F, ∴.∠BED=∠CFD=90. 在△BDE和△CDF中， ∠BED=∠CFD, ∠B=∠C, BD=CD, ∴.△BDE≌△CDF(AAS). .BE=CF」 B (第4题) 5.由题意，得∠MQP=∠NQH= ∠NRP=90. ∴.∠PMQ+∠P=∠HNQ+ ∠P=90. ∴.∠PMQ=∠HNQ. 在△MQP和△NQH中， f∠PMQ=∠HNQ, MQ-NQ, ∠MQP=∠NQH, '.△MQP≌△NQH(ASA). .PQ=HQ-5. NQ=MQ=9, .MH=MQ-HQ=9-5=4. 6.AE=CF, .AE+EF=CF+EF,即AF= CE. .BF⊥AC,DE⊥AC, .'.∠BFA=∠DEC=90 在Rt△ABF和Rt△CDE中， AB=CD, AF=CE, .∴.Rt△ABF≌Rt△CDE(HI). .BF=DE 在△BFG和△DEG中， ∠BGF=∠DGE, ∠BFG=∠DEG, BF=DE, ∴.△BFG≌△DEG(AAS). .FG=EG,即G是EF的中点 一方法归纳 运用“分析法”证明三角形全等 在解答题目的过程中可采用 “分析法”，即逆向推导，先明确要 判定全等的两个三角形，再寻找已 知条件，根据已知条件得出缺少的 条件，从而证得结论.在证明与线 段相等或角相等的有关问题时，常 常需要先证明线段或角所在的两 个三角形全等. 7.AB⊥BC,DE⊥EF, .∠ABC=∠DEF=90°. 在Rt△ABC和Rt△DEF中， AC=DF, AB=DE, ∴.Rt△ABC≌Rt△DEF(HL) ∴.∠A=∠D .AC=DF, .AC-FC=DF-FC,AF=DC. 在△ABF和△DEC中， (AF=DC, ∠A=∠D, AB-DE, ∴.△ABF≌△DEC(SAS). ∴.∠AFB=∠DCE. .∠BFC=∠ECF. ∴.BFCE 8.(1)BD⊥直线m,CE⊥直 线， .∠BDA=∠AEC=90°. .∠BAD+∠ABD=90. .∠BAC=90° '.∠BAD+∠CAE=90°. ∴.∠ABD=∠CAE. 在△ADB和△CEA中， ∠BDA=∠AEC, ∠ABD=∠CAE, AB-CA, .△ADB≌△CEA(AAS). ∴.BD=AE,AD=CE .DE=AE+AD=BD+CE. (2)成立 ,∠BDA=∠BAC=a, .∠ABD+∠BAD=∠BAD+ ∠CAE=180°-a. .∠ABD=∠CAE. 在△ADB和△CEA中， I∠BDA=∠AEC, ∠ABD=∠CAE, AB-CA. .'.△ADB≌△CEA(AAS)」 .BD=AE,AD=CE. .DE=AE+AD=BD+CE. 专题特训七全等三角形的 性质与判定的综合 1.设BF交AE于点O. ∠BAC=∠DAE, .'.∠BAC-∠DAC=∠DAE- ∠DAC,即∠BAD=∠CAE. 在△BAD和△CAE中， (AB=AC, ∠BAD=∠CAE, AD=AE, ∴.△BAD≌△CAE(SAS). ∴.∠ADB=∠AEC. ∴.∠ADO=∠FEO. :∠AOD=∠EOF, ∴.∠DAO=∠F. :∠DAO=∠BAC, .∠F=∠BAC. 2.(1)BF=CE, ∴.BF+CF=CE+CF,即BC=EF. 在△ABC和△DEF中， (AB=DE, ∠B=∠E, BC=EF, ∴.△ABC≌△DEF(SAS). .∠A=∠D. (2)AC⊥DF, 21 .∴.∠CGF=90°. :△ABC≌△DEF, ∴.∠ACB=∠DFE= 2×(180° 90°)=45° ∠A=∠D=55, ∴.∠E=180°-∠DFE-∠D= 180°-45°-55°=80° 3.CB=DA. 理由：由题意，知AC=BD. ·CB⊥AB,DA⊥AB, ∴.∠DAB=∠CBA=90°. 在Rt△DAB和Rt△CBA中， (BD=AC, AB=BA, ∴.Rt△DAB≌Rt△CBA(HL). .CB=DA. 4.(1)BF∥AE, ∴.∠E=∠BFM. 在△AME和△BMF中， ∠AME=∠BMF, EM-FM, ∠E=∠BFM, ∴.△AME≌△BMF(ASA). .AE=BF. (2)∠E=∠BFM=90°， ∴.∠BFD=90°. .∠E=∠BFD, 在△AEC和△BFD中， ∠E=∠BFD, AE=BF, ∠CAE=∠DBF, .∴.△AEC≌△BFD(ASA). .EC=FD ∴.EC-CF=FD-CF,即EF= CD=4. EM=FM, 1 ·EM=2EF=2. 5.:AF平分∠CAB, ∴.∠CAF=∠DAF. 在△ACF和△ADF中， AC-AD, ∠CAF=∠DAF, AF-AF. ∴.△ACF≌△ADF(SAS).