第10章 专题特训1 运用实数的有关概念及运算解题-【拔尖特训】2025-2026学年新教材八年级上册数学（华东师大版2024）

方体容器的棱长是acm,则a3=9× 1X3,.a=27=3. 13.0或一10解析：x2=(一5)2， y=-5,.x=±5，y=-5.当 x=5,y=一5时，x十y=0:当x -5,y=-5时，x+y=-10.综上所 述，x+y的值为0或一10. 14.(1)x=13. (3)x=-51 1 15.(1)5.848:12.60. (2)在开立方运算中，当被开方数的 小数点向左或向右移动3位时，立方 根的小数点就相应地向左或向右移动 n位(n为正整数). 16.设截去的小正方体的棱长为xcm 由题意，得1000一8x3=488, .8x3=512,解得x=4. ∴.截去的小正方体的棱长是4cm. 17.(1)答案不唯一，如8的立方根是 2,一8的立方根是一2. .2+(-2)=0,8+(-8)=0 .结论“若两个数的立方根互为相反 数，则这两个数也互为相反数”成立. (2)根据(1)中的结论，可知/1一2x 与3x一5的被开方数也互为相反 数，即1-2x+3x一5=0，解得x=4. ∴.-7-√=-7√4=-7-2=-9. .一7-：的立方根是一9=一丽】 方法归纳一 已知两个数的立方根的关系， 求式子的值的思路 一个数有且只有一个立方根， 如果两个数互为相反数，那么它们 的立方根也互为相反数.已知两个 数的立方根的关系，求式子的值 时，常见的有两种类型：(1)已知 A=B,利用A=B列方程求 解：(2)已知石与B互为相反 数，利用A十B=0列方程求解. 10.2实数 1.C2.B3.D4.D5.1 6.(1)>(2)< 7.(1)④⑤(2)①③⑥ (3)②⑦⑧ 易错警示 对无理数的概念理解不透彻 此类题易把无理数与无限小 数及带根号的数混为一谈，造成这 种错误的原因是没有理解“无限不 循环小数叫做无理数”这一概念 在判断一个数是不是无理数时，一 定要根据概念，看它是不是“无限” 且“不循环”的小数.常见的无理数 有以下几类：(1)含有根号，且被开 方数开方开不尽，如5、一√2等： (2)圆周率π及一些含有元的数， 如子等：(3)具有特定结构的载， 如0.7171171117（每相邻两个 7之间1的个数逐次加1)等. 8.(1)16.51. (2)3.07. 9.D10.C 11.D解析：一|一√251= -√2历=-5，-6的倒数为-6， 64的相反数是一64=一4， -9<-√<-8，-√7T< 一6<一5<一4..最小的数是一√7们. 12.4解析：1<√2<2,5<5.1< 6,∴.在2和5.1之间的整数为2、3、 4、5..A、B两点之间表示整数的，点 有4个. 13.小颖解析：4<6<9，∴√4< √6<，即2<6<3.∴.1<6-1< 2.∴.赢家是小颖」 14.-2 15.√2-3解析：5-√2关于1的平 衡数是2-(5-√2)=√2-3. 16.(1)-1.28. (2)-0.22. 17.(1)正方形ABCD的面积为4× 42×1×3X4=10. 2 (2),正方形ABCD的面积为10， .正方形ABCD的边长为√J10. ∴.AE=AD=√10 ∴.点E表示的数比-1大√0，即点 E表示的数为-1十√0. 18..m是满足不等式-√3<a<√6 的所有整数a的和 ∴.m=-1+0+1+2=2. .637<7, 2×87-25 21 :n是满足不等式<-的最 2 大整数， .n=2. ..m+n=2+2=4. ∴.m十n的平方根是士2. 19.(1)x≥0. (2)当输人x的值为16时，取16的 算术平方根，为4,4是有理数，再取4 的算术平方根，为2,2也是有理数，然 后取2的算术平方根，为2，√2是无 理数，故输出y的值为W2. (3)存在.当输人x的值为0或1时， 始终输不出y值 (4)输人x的值不唯一，如3、9. 专题特训一运用实数的有关 概念及运算解题 1.C解析：由正方体的表面积公式 和体积公式可得，6a2=m,a3=n, ·a=后a是号的算术平方根， a是n的立方根，√ =a.故选项 A、B、D错误，选项C正确 2.D解析：：立方根等于它本身的 数是0、1或-1，算术平方根等于它本 身的数是0或1，∴.一个数的立方根 与它的算术平方根相同的是0或1. 3.-2 4.由题意，得这个物体的最高点与地 面的距离是AB+BC :AB=927=3(cm),BC=9/512= 8(cm), .AB+BC=3+8=11(cm). 这个物体的最高点与地面的距离 是11cm. 5.(1)x=4或x=0. 2》=是 6.(1)3a-5的立方根是-2， .3a-5=-8,解得a=-1. b的两个不同平方根分别为m和 1-5m 1 .1-5m十m=0,解得m=4 6=m2= (2)a=-1,b= 1 16 1 1,1 9一 3 4 7.D 8.答案不唯一，如2解析：，|2a 7=7-2a,2a-7<0.a≤ ∴.根据题意，得a可以是2. 9.由题意，得a十b=0,cd=1, ∴.v2(a+b)+8cd=√+8= 0+2=2. 10.方法一（估算法）：·√4< √5<， ∴.2<53. ∴.√5-3<0,5-2>0. :522>0 2 45-52 方法二（利用计算器）：利用计算器可 求得√5-3≈2.236-3=-0.764， 5-2≈2.236-2=0.118. 2 2 ,-0.764<0.118, ·5-35-2 2 一方法归纳 比较无理数大小的两种常用方法 涉及无理数的大小比较问题， 估算法或利用计算器计算是比较 常用的方法.利用估算法比较时， 要注意不等式的基本性质的应用： 利用计算器计算时，要注意按键 顺序， 38 1.1-1+×日 =-1-号×-=-1 4 3 12.B解析：0是有理数，故选项A 不符合题意..1<√2<2，∴.0< √2-1<1.∴.√2-1是无理数且表示 的点在线段AB上.故选项B符合题 意.=9<一8=-2，.一⑨ 表示的点不在线段AB上.故选项C 不符合题意.3，.π表示的点不 在线段AB上.故选项D不符合题意. 13.C解析：0<c<1,.0< √<1.故选项A错误.-5<a< -4,.-2<9a<-1.又-3< b<-2,∴.a>b.故选项B错误. d=4,.√a=2.又0<c<1, ∴.c<√a.故选项C正确4< -a<5,d=4,.√一a>√a.故选 项D错误. 14.(1)-5w5 (2)√5+1. (3)由题意，得点A表示的数为一1， 点B表示的数为一√5，点C表示的数 为4，点D表示的数为5， ∴.点A与点B之间的距离为|一1 (-5)|=√5-1，点C与点D之间 的距离为4一√5引=4一√5. ∴.a的值为5-1，b的值为4-√5. 第10章整合拔尖 [高频考点突破] 典例1D 3 易错警示 细审题，勿被形式迷惑 本题若不认真读题，易由题目 中出现的√8，误以为是求√8T的 值，而错选A [变式]√3 典例2：/5.x+32=-2, ∴.5.x+32=(-2)3,即5.x+32= -8,解得x=-8. .x+17=-8+17=9. ∴.x十17的立方根是】 [变式]7解析：x+29的立方 根为4，.x十29=43，即x十29=64. .x=35..10.x-7=350-7=343. 又，73=343，.10x-7的立方根 为7. 典例3由题意，可知5-n=2,m 1=3,解得m=4,n=3. .m+12=16,2-30=-27. .M=√/16=4，N=3-27=-3. ∴.M-N=7. [变式]士10解析：由题意，得 x-2=4, 2x+y+7=27, =6:2+ 解得 y=8. y2=100..x2+y2的平方根是 ±10. 典例4正实数集合：{15、至， 分数集合： /1 5 ，-3.14、7 -0.064、…: 负实数集合：{一√5、一3.14、一、 3-0.064、…}: 无理数集合：{至、一5、万.… [变式]3解析：：√(-13)= 13,它是整数 327 3 64 =一4，它是分 数，2是分数，无是无理数，“有理 数的个数是3.拔尖特训·数学（华师版）八年级上 专题特训一运用实数的有关概念及运算解题 类型一平方根与立方根 (2)4(2x+3)3-54=0. 1.一个正方体的棱长为a,表面积为m,体积为 n,则下列说法正确的是 A.m的算术平方根是a B.n的立方根为士a C.a是n的立方根 D.√m=6a 2.若一个数的立方根与它的算术平方根相同， 则这个数是 () A.±1 B.0 类型三利用开方的定义求代数式的值 C.1 D.0或1 6.已知3a一5的立方根是一2，b的两个不同平 3.一√64的立方根是 方根分别为m和1一5m.求： 4.已知大正方体的体积是512cm3,小正方体的 (1)a、b的值. 体积是27cm3.若把这两个正方体摞在一起 放在水平地面上（如图），则这个物体的最高 1 (2 2a十b的值. 点与地面的距离是多少厘米？ (第4题) 类型二利用开方解方程 类型四实数的有关概念 5.根据开平（立）方的意义解下面的方程： 7.下列说法中，错误的是 (1)2(x-2)2-8=0. A.√7与一√7互为相反数 B.7与一7互为相反数 C.绝对值等于π的数是士π 山号是无盟统，也是分数 8.若|2a-7=7-2a,则a= (请写出 一个符合条件的正无理数). 8 第10章数的开方 9.若实数a、b互为相反数，c、d互为 类型六实数与数轴的关系的应用 倒数，求√2(a+b)+⑧cd的值 12.如图，下列各数是无理数且表示的点在线段 AB上的为 () -2A 2 -3-2-101B23 (第12题) A.0 B.√2-1 C.-9 D.π 13.数形结合思想若实数a、b、c、d在数 轴上的对应点的位置如图所示，则 下列结论正确的是 () b d -543-2-1012345 类型五实数的比较与运算 (第13题) A.√c>1 B.a<b 10*比较厅-3和5，的大小 C.c</d D.-a<√a 14.如图，实数一√5、一1、√5、4在数轴上分别对 应点A、B、C、D中的某一个 (1)点B表示的数为 ,点D表示 的数为 (2)点A与点D之间的距离为 (3)记点A与点B之间的距离为a,点C与 点D之间的距离为b,分别求a、b的值 88” (第14题) 1计算1-+会×日2。