专题04 追及、相遇问题 讲义 -2025-2026学年高一上学期物理人教版必修第一册

追及、相遇问题04 题型1 追及相遇问题 5 题型2 图像中的追及相遇问题 11 储备区 知识储备 技巧总结 1 知识清单 1．追及相遇问题中的一个条件和两个关系 2．初速度小者追初速度大者 3．初速度大者追初速度小者 2 知识储备 追及相遇问题中的一个条件和两个关系知识点 一 1. 一个条件：即两者速度相等，它往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点. 2. 两个关系：即时间关系和位移关系，这两个关系可通过画过程示意图得到. 追及、相遇问题的常见形式知识点 二 1.初速度小者追初速度大者 追及类型 图像描述 相关结论 匀加速追匀速 设 x0为开始时两物体间的距离，t0为速度大小相等的时刻，则应有下面结论∶ a.t=t0以前，后面物体与前面物体间距离增大; b.t=t0时，两物体相距最远，为x0＋△x; c.t=t0以后，后面物体与前面物体间距离先逐渐减小再逐渐增大; d.一定能追上且只能相遇一次 匀速追匀减速 匀加速追匀减速 匀加速追匀速 2.初速度大者追初速度小者 追及类型 图像描述 相关结论 匀减速追匀速 设x0为开始时两物体间的距离，开始追赶时，后面物体与前面物体间距离在减小，当两物体速度相等时，即t=t0时刻，则应有下面结论∶ a. 若△x=x0，则恰能追上，两物体只能相遇一次，这也是避免相撞的临界条件; b. 若△x<x0，则不能追上，此时两物体间距离最小，为x0-△x; c.若△x>x0，则相遇两次，设t1时刻两物体第一次相遇，则t2=2t0-t1时刻两物体第二次相遇 匀速追匀加速 匀减速追匀加速 匀减速追匀减速 3 技巧总结 一、解追及、相遇类问题的思路和技巧 (1)解题思路和方法 ―→―→―→ (2)解题技巧 ①紧抓“一图三式”，即：过程示意图，时间关系式、速度关系式和位移关系式． ②审题应抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”、“恰好”、“最多”、“至少”等，它们往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件． 二、追及、相遇类问题的提醒 1.速度小者追速度大者 （1）当两者速度相等时两者间有最大距离； （2）当追赶者位移等于被追赶者位移与初始间距之和时，两者相遇 2.速度大者追速度小者 （1）当两者速度相等时,追赶者位移仍小于被追赶者位移与初始间距之和，则永远追不上，此时二者同有最小距离. （2）若速度相等时，追赶者位移恰等于被迫赶者位移与初始问距之和，则刚好追上，也是二者相遇时避免碰撞的临界条件. （3）若相遇时追赶者速度仍大于被追赶者的速度,则被追赶者还能再一次追上追赶者 三、解答追及相遇问题的三种方法 物理分析法 抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，建立物体运动情景图，分析两物体的速度大小关系，利用速度相等时两物体的位置关系，判断能否追上、二者相距最近或最远 函数方程 判断法 (B追A)设经过时间t，二者间的距离Δx＝xB＋x0－xA，假设追上，Δx＝0，方程中Δ＝b2－4ac，Δ<0，追不上；Δ＝0，恰好追上，一解；Δ>0，两解或发生了碰撞；或利用函数极值求解二者间距离的最大值或最小值 图像法 将两个物体运动的速度—时间关系或位移—时间关系画在同一图像中，然后利用图像分析求解相关问题 拓展区 拓展延伸 走进985 初速度小者追初速度大者规律总结 实物图 (设经t0时间两物体速度相等) t＝t0以前(v2<v1) 两物体距离增大 t＝t0时(v1＝v2) 相距最远 t＝t0以后(v2>v1) 两物体距离减小 追及情况 只能追上一次 初速度大者追初速度小者规律总结 实物图 (设经时间t0两物体速度相等) t0时刻以前(v2>v1) 两物体距离减小(甲未追上乙时) t0时刻(v2＝v1)Δx＝x甲－x乙 若Δx＝x0，恰好追上，相遇一次 若Δx<x0，追不上，有最小距离 若Δx>x0，相遇两次 强化区 巩固强化 成果展示 题型1 追及相遇问题 【典例1】（2025春•琼山区校级期末）如图所示，车临时停在一水平路面上，车在后面以速度匀速向车靠近，车司机发现后经的反应时间启动了车，车启动后做匀加速直线运动，加速度大小为。以车司机发现车为计时起点，已知车在第内与车的距离缩短了，两车恰好没有相撞。 （1）求车运动的速度大小； （2）求车司机发现车时两车的距离； （3）若车司机一直没有发现车，车的制动加速度最大为，为了避免辆车相撞，求在车与车相距后，车司机最多还可向前行驶多长的距离然后再制动（忽略车司机的反应时间）。 【答案】（1）车运动的速度大小为； （2）车司机发现车时两车的距离为； （3）在车与车相距后，车司机最多还可向前行驶的距离然后再制动。 【分析】（1）车在第内与车缩短的距离即为车在司机反应时间内行驶的距离，根据求车运动的速度大小； （2）两车恰好没有相撞，速度相等，且两车的距离恰好为0，根据速度—时间公式求出时间，再根据位移—时间公式和位移关系求车司机发现车时两车的距离； （3）根据速度—位移公式求出车制动的距离，再求在车与车相距后，车司机最多还可向前行驶多长的距离。 【解答】解：（1）车司机的反应时间为，车在第内与车的距离缩短了，则有 解得车的速度为 （2）两车恰好没有相撞，即两车的速度达到相等时，两车的距离恰好为0。 根据 解得 该段时间内车的位移大小 解得 车的位移大小 解得 车司机发现车时两车的距离 （3）车制动的距离为 解得 车司机最多还可向前行驶的距离△ 答：（1）车运动的速度大小为； （2）车司机发现车时两车的距离为； （3）在车与车相距后，车司机最多还可向前行驶的距离然后再制动。 【典例2】（2025春•凉州区校级期末）如图所示，一辆轿车和一辆卡车在同一平直公路上均由静止开始同时在相邻车道相向做匀加速直线运动，加速度大小分别为和，刚开始运动时两车车头相距，轿车车身全长为，卡车车身全长为。两车从相遇到分离的时间为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据相遇和分离时的关系，根据匀变速直线运动的公式可求解时间。 【解答】解：设相遇时间为，则有 代入数据解得 设两车从启动到刚好分离用时，则有 代入数据解得 故两车从相遇到分离的时间为△ 代入数据解得△，故正确，错误； 故选：。 【典例3】（2025春•海珠区校级期末）猎豹追捕猎物时运动的最大加速度可达，最大速度可达。羚羊被追捕时运动的最大加速度可达，最大速度可达。猎豹某次觅食中，距羚羊时被羚羊发现，此时两者同时由静止开始沿同一直线运动，尽力奔跑，以最大加速度运动至各自的最大速度后开始匀速。则　　 A．猎豹和羚羊加速运动的时间相等 B．在猎豹达到最大速度之前，猎豹和羚羊间的距离越来越大 C．在羚羊达到最大速度之前，猎豹和羚羊间的距离越来越大 D．在羚羊恰好达到最大速度时，猎豹和羚羊相距最远 【答案】 【分析】根据加速度定义式求解加速时间，羚羊最大加速度大，最大速度小，则羚羊先达到最大速度，再分析距离关系；速度相同时二者距离最远。 【解答】解：．结合已知数据和加速度定义式可知猎豹和羚羊加速运动的时间分别为 ， 故错误； ．羚羊的最大加速度大，在羚羊达到最大速度之前，羚羊的速度一直小于猎豹的速度，猎豹和羚羊间的距离越来越大。羚羊最大加速度大，最大速度小，羚羊的速度先达到最大，猎豹的最大速度大于羚羊的最大速度，所以在猎豹达到最大速度之前，猎豹和羚羊间的距离先变大后变小，故错误，正确； ．根据运动规律可知，当猎豹与羚羊的速度相同，即猎豹达到羚羊的最大速度时，猎豹和羚羊相距最远，故错误。 故选：。 【典例4】（2025春•潍坊期末）2024年11月珠海航展中，我国多款无人机受到人们的广泛关注。在航展中甲、乙两款无人机沿着同一直线同向飞行，展示“空中停车”性能（即无人机减速到0并悬停在空中）。时刻无人机甲在无人机乙前方处做“空中停车”测试，无人机甲的初速度，加速度大小，同时无人机乙由静止开始做匀加速直线运动，加速度大小。为了避免与前方的无人机甲相撞，无人机乙加速后开始以大小为的加速度做匀减速直线运动。 （1）无人机乙加速过程中，求无人机甲的位移； （2）无人机乙加速过程中，求无人机甲和乙的最大距离； （3）为了避免两无人机相撞，求的最小值。 【答案】（1）无人机乙加速过程中，无人机甲的位移为； （2）无人机乙加速过程中，无人机甲和乙的最大距离为； （3）为了避免两无人机相撞，的最小值为。 【分析】（1）根据匀变速直线运动速度公式，求得无人机甲的速度，再根据匀变速直线运动速度与位移的关系式，求得无人机乙加速过程中，无人机甲的位移； （2）当无人机甲与无人机乙共速时，两者间相距最远。根据匀变速直线运动速度公式，求得无人机甲与无人机乙达到共速时所经历的时间，再根据匀变速直线运动位移公式，求得在无人机甲与无人机乙共速时，无人机甲与无人机乙运动的位移，进而求得无人机乙加速过程中，无人机甲和乙的最大距离； （3）根据匀变速直线运动位移公式，求得无人机乙加速运动的位移，进而求得此时无人机甲与无人机乙间的距离。再根据匀变速直线运动速度公式，位移公式，求得无人机甲和无人机乙同时减速到零时运动的位移的关系，然后据此分析出两无人机会发生相撞的情况时，无人机甲是否早已停下，从而求得为了避免两无人机相撞，的最小值。 【解答】解：（1）由题意可知，无人机乙加速运动的时间。 则此时，无人机甲的速度 无人机甲运动的位移 （2）当无人机甲与无人机乙共速时，两者间相距最近。设无人机甲与无人机乙达到共速时所经历的时间为，则有， 代入数据，解得，则共速 在此过程中，无人机甲运动的位移 无人机乙运动的位移 则无人机甲与无人机乙间的最大距离 （3）时，无人机乙的速度 无人机乙运动的位移 则此时，无人机甲与无人机乙间的距离△ 后无人机甲减速到零时所需经历的时间 此时无人机甲运动的位移 假设无人机乙同时减速到零，则无人机乙运动的位移 △，则无人机乙还未追上无人机甲就已经停下了。 假设后，无人机乙经历时间追上无人机甲时，无人机乙刚好停止，则有，代入数据，解得，则为了避免两无人机相撞，的最小值为。 答：（1）无人机乙加速过程中，无人机甲的位移为； （2）无人机乙加速过程中，无人机甲和乙的最大距离为； （3）为了避免两无人机相撞，的最小值为。 题型2 图像中的追及相遇问题 【典例5】（2025•娄底二模）某实验小组利用甲、乙两小车的传感器来比较它们的运动情况，如图为测绘出它们在同一平直赛道上运动时的图像，时刻，乙车在甲车前方位置处，时刻，甲车位移为，则下列描述正确的是 A．若它们在第一次相遇，则 B．若它们在第一次相遇，则 C．若它们在第一次相遇，则下次相遇时刻为 D．若它们在第一次相遇，则下次相遇时刻为 【答案】 【分析】若它们在第一次相遇，甲车位移为，确定乙的位移与甲的位移关系，再求；根据对称性结合位移关系分析项。 【解答】解：结合图像与时间轴所围的面积表示位移，可得 、若它们在第一次相遇，甲车位移为，由“面积法”可知乙的位移为，则，解得，故错误； 、甲车停止运动的时刻为，根据图像的对称性可知，若它们在第一次相遇，则下次相遇时刻为，但是若它们在第一次相遇，如果对称，应该在时刻相遇，但到时刻，甲车停止，两边不对称，所以第二次相遇不在时刻，故错误，正确。 故选：。 【典例6】（2025春•北碚区校级期中）甲、乙两车在两条相邻平直车道上同向并排行驶，甲车在前乙车在后，甲车一直做匀减速直线运动，乙车先做匀减速后做匀速直线运动，两车运动过程的已知量及图像如图所示。若开始时两车相距，则以下判断正确的是　　 A．无论多大，之前，两车距离逐渐减小 B．无论多大，之后，两车距离逐渐增大 C．时，两车共相遇3次 D．时，两车共相遇2次 【答案】 【分析】由图像分析甲、乙两车的加速度，根据运动学公式 【解答】解：根据图像中斜率表示加速度，由图可知，甲车的加速度大小为 乙车减速运动时的加速度大小为 、由图可知，时，两车速度相等，则有 两车运动的位移分别为， 可知，若， 两车在之前乙车追上甲车，之后乙车速度大于甲车，则之前，两车距离先减小到零后增大，故错误； 、由图可知，时，甲车的位移为 ， 乙车位移为 ， 可知，若 此时，甲车在乙车前方停止，乙车继续运动，两车距离逐渐减小，故错误； 、若，设前两车相遇的时间为，则有 解得 ， 即前两车相遇两次，时两车的距离为 即甲车在乙车前，此时甲车的速度为 乙车的速度为 设两车再经过时间，两车相遇，则有 解得 （舍去）， 即在甲车停止前两车又相遇一次，之后乙车在前，两车距离逐渐增大，不再相遇，综上所述可得，时，两车共相遇3次，故正确； 、若时，设前两车相遇的时间为，则有 解得 （舍去）， 即前两车相遇一次，时两车的距离为 即乙车在甲车前，此时甲车的速度为 乙车的速度为 设两车再经过时间速度相等，则有 解得 两车从开始，经过的时间运动的距离分别为 则有 △ 可知，甲车未追上乙车，之后乙车速度大于甲车速度，两车距离逐渐增大，不会再相遇，综上所述，时，两车共相遇1次，故错误。 故选：。 【典例7】（2025•贵州模拟）甲、乙两汽车在同一平直公路上同向行驶，其图像如图所示，在时，两车恰好再次并排行驶，则下列说法正确的是　　 A．时，乙车在甲车前处 B．时，乙车在甲车前面 C．内两车的距离一直在减小 D．内，甲车的平均速度小于乙车的平均速度 【答案】 【分析】图像反映了做直线运动的物体的速度随时间变化的规律，斜率表示加速度的大小及方向，图线与时间轴所包围的“面积”表示位移。两图线交点，说明两物体在该时刻的速度相等。 【解答】解：．内，由于图线与坐标轴所围区域的面积表示物体发生的位移，所以甲、乙两车的位移大小分别为， 所以时，甲车在乙车前，二者相距，解得 故错误； ．内，甲、乙两车的位移大小分别为， 由于 则甲车在乙车前面，故正确； ．时甲车的速度等于。内，甲、乙两车的位移大小分别为： ， 由于 则时乙车在甲车前面，时二者共速，两车距离达到最大，所以内两车的距离先增大后减小，故错误； ．内，甲、乙两车的位移大小分别为， 由于甲车位移等于乙车位移，所以甲车的平均速度等于乙车的平均速度，故错误。 故选：。 【典例8】（2025春•五华区校级期中）汽车在平直公路上行驶，发现前方沿同方向行驶的汽车速度较小。为避免相撞，车距车处开始制动，此后它们的图像如图所示，则下列说法中不正确的是　　 A．车的加速度大小为 B．、两车在时的速度相同 C．、两车在内的位移相同 D．、两车不会相撞 【答案】 【分析】通过给出图像，要求学生能够从图像中读取速度变化信息，计算加速度，并理解加速度的方向。图像中车的速度从减小到，而车的速度保持不变，这为学生提供了直观的视觉信息，帮助他们理解两车的相对运动状态。 【解答】解：图像中图线斜率代表加速度，由图像得的加速度为，故正确， 由图像得，在时的速度相同，故正确； 由于图像与坐标轴围成面积代表位移，时间轴上方位移为正，时间轴下方位移为负；所以在内的位移物体小于物体，故错误， 由于图像与坐标轴围成面积代表位移，初始时刻距车处，速度相同是相撞或不相撞的临界条件，在时刻车的位移为：，而的位移为，由于，由此判断两车不会相撞，故正确， 本题选择不正确；故选：。 学科网（北京）股份有限公司 $ 追及、相遇问题04 题型1 追及相遇问题 5 题型2 图像中的追及相遇问题 7 储备区 知识储备 技巧总结 1 知识清单 1．追及相遇问题中的一个条件和两个关系 2．初速度小者追初速度大者 3．初速度大者追初速度小者 2 知识储备 追及相遇问题中的一个条件和两个关系知识点 一 1. 一个条件：即两者速度相等，它往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点. 2. 两个关系：即时间关系和位移关系，这两个关系可通过画过程示意图得到. 追及、相遇问题的常见形式知识点 二 1.初速度小者追初速度大者 追及类型 图像描述 相关结论 匀加速追匀速 设 x0为开始时两物体间的距离，t0为速度大小相等的时刻，则应有下面结论∶ a.t=t0以前，后面物体与前面物体间距离增大; b.t=t0时，两物体相距最远，为x0＋△x; c.t=t0以后，后面物体与前面物体间距离先逐渐减小再逐渐增大; d.一定能追上且只能相遇一次 匀速追匀减速 匀加速追匀减速 匀加速追匀速 2.初速度大者追初速度小者 追及类型 图像描述 相关结论 匀减速追匀速 设x0为开始时两物体间的距离，开始追赶时，后面物体与前面物体间距离在减小，当两物体速度相等时，即t=t0时刻，则应有下面结论∶ a. 若△x=x0，则恰能追上，两物体只能相遇一次，这也是避免相撞的临界条件; b. 若△x<x0，则不能追上，此时两物体间距离最小，为x0-△x; c.若△x>x0，则相遇两次，设t1时刻两物体第一次相遇，则t2=2t0-t1时刻两物体第二次相遇 匀速追匀加速 匀减速追匀加速 匀减速追匀减速 3 技巧总结 一、解追及、相遇类问题的思路和技巧 (1)解题思路和方法 ―→―→―→ (2)解题技巧 ①紧抓“一图三式”，即：过程示意图，时间关系式、速度关系式和位移关系式． ②审题应抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”、“恰好”、“最多”、“至少”等，它们往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件． 二、追及、相遇类问题的提醒 1.速度小者追速度大者 （1）当两者速度相等时两者间有最大距离； （2）当追赶者位移等于被追赶者位移与初始间距之和时，两者相遇 2.速度大者追速度小者 （1）当两者速度相等时,追赶者位移仍小于被追赶者位移与初始间距之和，则永远追不上，此时二者同有最小距离. （2）若速度相等时，追赶者位移恰等于被迫赶者位移与初始问距之和，则刚好追上，也是二者相遇时避免碰撞的临界条件. （3）若相遇时追赶者速度仍大于被追赶者的速度,则被追赶者还能再一次追上追赶者 三、解答追及相遇问题的三种方法 物理分析法 抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，建立物体运动情景图，分析两物体的速度大小关系，利用速度相等时两物体的位置关系，判断能否追上、二者相距最近或最远 函数方程 判断法 (B追A)设经过时间t，二者间的距离Δx＝xB＋x0－xA，假设追上，Δx＝0，方程中Δ＝b2－4ac，Δ<0，追不上；Δ＝0，恰好追上，一解；Δ>0，两解或发生了碰撞；或利用函数极值求解二者间距离的最大值或最小值 图像法 将两个物体运动的速度—时间关系或位移—时间关系画在同一图像中，然后利用图像分析求解相关问题 拓展区 拓展延伸 走进985 初速度小者追初速度大者规律总结 实物图 (设经t0时间两物体速度相等) t＝t0以前(v2<v1) 两物体距离增大 t＝t0时(v1＝v2) 相距最远 t＝t0以后(v2>v1) 两物体距离减小 追及情况 只能追上一次 初速度大者追初速度小者规律总结 实物图 (设经时间t0两物体速度相等) t0时刻以前(v2>v1) 两物体距离减小(甲未追上乙时) t0时刻(v2＝v1)Δx＝x甲－x乙 若Δx＝x0，恰好追上，相遇一次 若Δx<x0，追不上，有最小距离 若Δx>x0，相遇两次 强化区 巩固强化 成果展示 题型1 追及相遇问题 【典例1】（2025春•琼山区校级期末）如图所示，车临时停在一水平路面上，车在后面以速度匀速向车靠近，车司机发现后经的反应时间启动了车，车启动后做匀加速直线运动，加速度大小为。以车司机发现车为计时起点，已知车在第内与车的距离缩短了，两车恰好没有相撞。 （1）求车运动的速度大小； （2）求车司机发现车时两车的距离； （3）若车司机一直没有发现车，车的制动加速度最大为，为了避免辆车相撞，求在车与车相距后，车司机最多还可向前行驶多长的距离然后再制动（忽略车司机的反应时间）。 【典例2】（2025春•凉州区校级期末）如图所示，一辆轿车和一辆卡车在同一平直公路上均由静止开始同时在相邻车道相向做匀加速直线运动，加速度大小分别为和，刚开始运动时两车车头相距，轿车车身全长为，卡车车身全长为。两车从相遇到分离的时间为　　 A． B． C． D． 【典例3】（2025春•海珠区校级期末）猎豹追捕猎物时运动的最大加速度可达，最大速度可达。羚羊被追捕时运动的最大加速度可达，最大速度可达。猎豹某次觅食中，距羚羊时被羚羊发现，此时两者同时由静止开始沿同一直线运动，尽力奔跑，以最大加速度运动至各自的最大速度后开始匀速。则　　 A．猎豹和羚羊加速运动的时间相等 B．在猎豹达到最大速度之前，猎豹和羚羊间的距离越来越大 C．在羚羊达到最大速度之前，猎豹和羚羊间的距离越来越大 D．在羚羊恰好达到最大速度时，猎豹和羚羊相距最远 【典例4】（2025春•潍坊期末）2024年11月珠海航展中，我国多款无人机受到人们的广泛关注。在航展中甲、乙两款无人机沿着同一直线同向飞行，展示“空中停车”性能（即无人机减速到0并悬停在空中）。时刻无人机甲在无人机乙前方处做“空中停车”测试，无人机甲的初速度，加速度大小，同时无人机乙由静止开始做匀加速直线运动，加速度大小。为了避免与前方的无人机甲相撞，无人机乙加速后开始以大小为的加速度做匀减速直线运动。 （1）无人机乙加速过程中，求无人机甲的位移； （2）无人机乙加速过程中，求无人机甲和乙的最大距离； （3）为了避免两无人机相撞，求的最小值。 题型2 图像中的追及相遇问题 【典例5】（2025•娄底二模）某实验小组利用甲、乙两小车的传感器来比较它们的运动情况，如图为测绘出它们在同一平直赛道上运动时的图像，时刻，乙车在甲车前方位置处，时刻，甲车位移为，则下列描述正确的是 A．若它们在第一次相遇，则 B．若它们在第一次相遇，则 C．若它们在第一次相遇，则下次相遇时刻为 D．若它们在第一次相遇，则下次相遇时刻为 【典例6】（2025春•北碚区校级期中）甲、乙两车在两条相邻平直车道上同向并排行驶，甲车在前乙车在后，甲车一直做匀减速直线运动，乙车先做匀减速后做匀速直线运动，两车运动过程的已知量及图像如图所示。若开始时两车相距，则以下判断正确的是　　 A．无论多大，之前，两车距离逐渐减小 B．无论多大，之后，两车距离逐渐增大 C．时，两车共相遇3次 D．时，两车共相遇2次 【典例7】（2025•贵州模拟）甲、乙两汽车在同一平直公路上同向行驶，其图像如图所示，在时，两车恰好再次并排行驶，则下列说法正确的是　　 A．时，乙车在甲车前处 B．时，乙车在甲车前面 C．内两车的距离一直在减小 D．内，甲车的平均速度小于乙车的平均速度 【典例8】（2025春•五华区校级期中）汽车在平直公路上行驶，发现前方沿同方向行驶的汽车速度较小。为避免相撞，车距车处开始制动，此后它们的图像如图所示，则下列说法中不正确的是　　 A．车的加速度大小为 B．、两车在时的速度相同 C．、两车在内的位移相同 D．、两车不会相撞 学科网（北京）股份有限公司 $