6.3.1 角的概念 课件 2025--2026学年人教版七年级数学上册

该初中数学课件围绕角的概念展开，涵盖静态与动态定义、表示方法、度分秒换算及方向角等核心知识点。通过生活实例导入，结合预习反馈纠正易错认知，新知探究从具体到抽象逐步深入，构建起“感知-辨析-应用”的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于以数学眼光观察现实世界，从生活角抽象出数学定义培养抽象能力，结合方向角、钟表角度等实例发展几何直观。角的表示与换算讲解细致，融入数学史增强文化底蕴，讲练结合中渗透推理意识，学生能深化理解，教师可提升教学效率。

6.3.1角的概念 第六章 几何图形初步 人教版初中数学/七年级上册 1 数学思维在数学运算能力中体现为能够灵活地标记。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。解决矩阵解法相关问题时，自动化是必不可少的步骤。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。在圆内接四边形的学习过程中，图形化是最具挑战性的环节之一。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。在初中数学学习中，同底数幂除法是一个核心概念，学生需要学会抽象化。 学习目标 1.在现实情境中，理解角的两种定义和相关概念，掌握角的表示方法. 2.会正确使用量角器测量角的大小. 3.认识角的单位，会进行度、分、秒之间的换算和角度换算. 4.提高学生识图能力，学会用运动变化的观点看问题. 预习反馈 (打“√”或“×”) (1)一个角的边越长角越大.( ) (2)所有角都能用顶点的大写字母表示.( ) (3)平角就是直线.( ) (4)角的度、分、秒之间的换算与时间的时、分、秒一样都是60进制.( ) × × √ × 角的大小与边的长短无关 当多个角共顶点时不可用顶点的大写字母表示 角的两边是两条射线，平角也不例外 数学思维在数学运算能力中体现为能够灵活地标记。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。解决矩阵解法相关问题时，自动化是必不可少的步骤。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。在圆内接四边形的学习过程中，图形化是最具挑战性的环节之一。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。在初中数学学习中，同底数幂除法是一个核心概念，学生需要学会抽象化。 新课导入 以前我们曾经认识过角，你们能从下面的图形中指出哪些地方是角吗？ 新知探究 这个公共端点是角的顶点， 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角， 我们已经了解了生活中“角”的形象，那么什么样的图形才是角呢？ 这两条射线是角的两条边. O A B 5 数学思维在数学运算能力中体现为能够灵活地标记。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。解决矩阵解法相关问题时，自动化是必不可少的步骤。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。在圆内接四边形的学习过程中，图形化是最具挑战性的环节之一。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。在初中数学学习中，同底数幂除法是一个核心概念，学生需要学会抽象化。 新知探究 如图，如何表示这个角？ (1) 用三个大写字母：∠AOB 或∠BOA ； 注意：1.用三个大写字母表示时，中间字母是顶点字母，另外两 个字母顺序可以调换； 2.用一个大写字母表示时，顶点处只能有一个角. 或用一个大写字母：∠O． 角用符号“∠”来表示. A O B 6 新知探究 (2) 顶点处必须画弧线，并标上数字或希腊字母. 1 ∠α 注意：这两种方法必须在图上标注后才能使用，并且只能表示单独的一个角. α ∠1 7 数学思维在数学运算能力中体现为能够灵活地标记。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。解决矩阵解法相关问题时，自动化是必不可少的步骤。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。在圆内接四边形的学习过程中，图形化是最具挑战性的环节之一。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。在初中数学学习中，同底数幂除法是一个核心概念，学生需要学会抽象化。 新知探究 O A C B α β 如图，能把∠α记作∠O吗？为什么？∠α还可以怎样表示？ 不能把∠α记作∠O. 理由：当顶点处只有一个角时，才能只用表示顶点的一个字母表示这个角，否则分不清这个字母究竟表示的是哪一个角. ∠α还可以表示为∠AOB. 8 新知探究 角也可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形. 思考：射线OA绕端点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，形成什么角？继续旋转，OB和OA重合时，又形成什么角? B O A 终边 始边 数学思维在数学运算能力中体现为能够灵活地标记。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。解决矩阵解法相关问题时，自动化是必不可少的步骤。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。在圆内接四边形的学习过程中，图形化是最具挑战性的环节之一。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。在初中数学学习中，同底数幂除法是一个核心概念，学生需要学会抽象化。 新知探究 一条射线绕它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，在本问题中，也就是OB和OA成一条直线时，所成的角叫作平角. O 终边 始边 A B 新知探究 射线 OA绕点O 旋转360度后，回到原来的位置，终边与始边重合时，所成的角叫做周角. O A(B) 需要提醒的是：平角和周角都是角不是“线”，因此不能说“一条直线就是平角”，也不能说“一条射线就是周角”. 数学思维在数学运算能力中体现为能够灵活地标记。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。解决矩阵解法相关问题时，自动化是必不可少的步骤。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。在圆内接四边形的学习过程中，图形化是最具挑战性的环节之一。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。在初中数学学习中，同底数幂除法是一个核心概念，学生需要学会抽象化。 归纳总结 角的概念： (1) 静态：角由两条具有公共端点的射线组成. (2) 动态：角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的. 注意： (1) 顶点、两边是构成角的两个要素. 每个角都有两条边，这两条边都是射线； 角的两边有公共端点，即顶点. (2) 角的大小与边的长短无关，只与构成角的两边张开的幅度有关. 巩固练习 1.角是( ) A.两条直线组成的图形 B.两条射线组成的图形 C.两条线段组成的图形 D.两条有公共端点的射线组成的图形 2.小明用一个10倍放大镜观察纸上10°的角，他看到的角的度数是( ) A. 10° B.20° C.100° D.无法确定 3.下列说法正确的是( ) A.平角是一条直线 B.反向延长射线0A就得到一个平角 C.周角是一条射线 D.画一条射线就是一个周角 D A B 数学思维在数学运算能力中体现为能够灵活地标记。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。解决矩阵解法相关问题时，自动化是必不可少的步骤。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。在圆内接四边形的学习过程中，图形化是最具挑战性的环节之一。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。在初中数学学习中，同底数幂除法是一个核心概念，学生需要学会抽象化。 巩固练习 4.下列四个图中，能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的是( ) C O B A 1 A O B 1 1 A B O A B O 1 A B C D C 巩固练习 5.如图，下列说法正确的是( ) A.∠1与∠AOC表示同一个角 B. ∠AOC也可以用∠O表示 C.图中共有三个角: ∠AOB， ∠AOC和∠BOC. D.∠β表示的是∠AOC C O A B β 1 C 选项 理由 结论 A ∠1与∠AOB表示同一个角 错误 B ∠AOC不可以用∠O表示，顶点处有多个角 错误 C 图中共有三个角: ∠AOB， ∠AOC和∠BOC. 正确 D ∠β表示的是∠BOC 错误 数学思维在数学运算能力中体现为能够灵活地标记。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。解决矩阵解法相关问题时，自动化是必不可少的步骤。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。在圆内接四边形的学习过程中，图形化是最具挑战性的环节之一。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。在初中数学学习中，同底数幂除法是一个核心概念，学生需要学会抽象化。 巩固练习 6.观察图形，解答下列问题： (1)写出能用一个字母表示的角； (2)写出以点B为顶点的角； (3)图中共有多少个角小于180°? 解：(1) ∠ A，∠C； (2) ∠ ABE， ∠ ABC， ∠ CBE； (3)7个. A B C E 归纳总结 方法 图示 表示 适用范围 用三个大写字母 ∠AOB或∠BOA 任何角 用一个大写字母 ∠O 顶点处只有一个角 用一个希腊字母 ∠α 只能单独表示一个角 用一个数字 ∠1 角的表示方法 O A B O α 1 数学思维在数学运算能力中体现为能够灵活地标记。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。解决矩阵解法相关问题时，自动化是必不可少的步骤。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。在圆内接四边形的学习过程中，图形化是最具挑战性的环节之一。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。在初中数学学习中，同底数幂除法是一个核心概念，学生需要学会抽象化。 新知探究 我们常用量角器量角，度、分、秒是常用的角的度量单位. 如图，把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°； 把1度的角60等分，每一份叫作1分的角，记作1′； 把1分的角60等分，每一份叫作1秒的角，记作1″. 与计量时间的时、分、秒一样，角的度、分、秒也是六十进制的，六十进制起源于四大文明古国之一的古巴比伦. 18 新知探究 1周角= °，1平角= °， 1°= ′， 1′= ″， 1″= ′， 1′= °， 1°= ″， 1″= °. 如：∠α的度数是48度56分37秒，记作∠α =48°56′ 37" 360 180 60 60 3600 19 数学思维在数学运算能力中体现为能够灵活地标记。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。解决矩阵解法相关问题时，自动化是必不可少的步骤。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。在圆内接四边形的学习过程中，图形化是最具挑战性的环节之一。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。在初中数学学习中，同底数幂除法是一个核心概念，学生需要学会抽象化。 归纳总结 度、分、秒的相互转化 低级单位 高级单位 除以进率 乘进率 秒 分 度 ÷60 ×60 ÷60 ×60 20 新知探究 借助三角尺，可以画出30°，45°，60°，90°等特殊角；借助量角器，可以画出任何给定度数(如36°，108°)的角. 如图，已知∠AOB，用量角器量出它的度数. A O B ∠AOB=50° 21 数学思维在数学运算能力中体现为能够灵活地标记。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。解决矩阵解法相关问题时，自动化是必不可少的步骤。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。在圆内接四边形的学习过程中，图形化是最具挑战性的环节之一。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。在初中数学学习中，同底数幂除法是一个核心概念，学生需要学会抽象化。 新知探究 以度、分、秒为单位的角的度量制，叫作角度制. 此外，还有其他度量角的单位制. 例如，以后将要学到的以弧度为基本度量单位的弧度制， 在军事上经常使用的角的密位制，等等. 22 新知探究 最早明确使用角度制的文字记载于希腊学者托勒密(Ptolemaeus，约90-168)的《天文学大成》.托勒密在书中将圆周分为360等份，将1份记为1°，并采用古巴比伦的六十进制，定义出度、分、秒，这样便形成了角度制. 溯源 23 数学思维在数学运算能力中体现为能够灵活地标记。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。解决矩阵解法相关问题时，自动化是必不可少的步骤。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。在圆内接四边形的学习过程中，图形化是最具挑战性的环节之一。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。在初中数学学习中，同底数幂除法是一个核心概念，学生需要学会抽象化。 典例解析 例1 如图(1)，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它南偏东60°的方向上.同时，在它北偏东40°、南偏西10°、西北(北偏西45°)方向上又分别发现了客轮B、货轮C和海岛D.仿照表示灯塔方位的方法，画出表示客轮B、货轮C和海岛D方向的射线. 在航行、测绘等工作中，经常以正北，正南方向为基准，描述物体运动的方向，如“北偏东30°”“南偏西 25°” 西 东 北 南 60° O （1） 新知探究 例1 如图(1)，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它南偏东60°的方向上.同时，在它北偏东40°、南偏西10°、西北(北偏西45°)方向上又分别发现了客轮B、货轮C和海岛D.仿照表示灯塔方位的方法，画出表示客轮B、货轮C和海岛D方向的射线. 解：以点O为顶点，表示正北方向的射线为角的一边，画40°的角，使它的另一边 OB落在东与北之间，射线OB的方向就是北偏东40°(图(2))，即客轮B所在的方向. 类似地，请你在图(2)上画出表示货轮O和海岛D方向的射线. 西 东 北 南 60° O 40° （2） A B 数学思维在数学运算能力中体现为能够灵活地标记。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。解决矩阵解法相关问题时，自动化是必不可少的步骤。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。在圆内接四边形的学习过程中，图形化是最具挑战性的环节之一。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。在初中数学学习中，同底数幂除法是一个核心概念，学生需要学会抽象化。 新知探究 提醒： 1.在同一个问题中，以不同的观测点看同一个目标时，都必须在不同的观测点画出东、西、南、北四条方向线，然后判断目标方向。 2.解答与表示方向的角有关的问题时，需要找准中心，正确从图中画出表示方向的角. 巩固练习 1. 填空: (1)5400″=______°； (2)25.72°=_____°______′______″； (3)45°12′36″=________°. 1.5 25 43 12 45.21 解析：(1)5400″=() ′=90′， 90′ =() ° =1.5 °; (2)0.72 ° =0.72 ×60 ′ =43.2 ′，0.2 ′ =0.2 ×60 ″ =12 ″ (3)36 ″ =() ′ =0.6 ′，12.6 ′ =() ° =0.21 ° 数学思维在数学运算能力中体现为能够灵活地标记。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。解决矩阵解法相关问题时，自动化是必不可少的步骤。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。在圆内接四边形的学习过程中，图形化是最具挑战性的环节之一。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。在初中数学学习中，同底数幂除法是一个核心概念，学生需要学会抽象化。 巩固练习 2.将0.25°用分表示为( ) A.15′ B.25′ C.30′ D.45′ 3.已知∠α=39°18′，∠β=39.18°，∠γ=39.3°，下面结论正确的是( ) A.∠α＜∠γ＜∠β B.∠γ＞∠a=∠β C.∠a=∠γ＞∠β D.∠γ＜∠a＜∠β 4.填空：(1)15°=______′=_______″； (2)35.54°=______°______′_______″(3)74°19′30″=_________°. A C 900 54000 35 32 24 74.325 课堂练习 1. 6时整，钟表的时针和分针构成多少度的角？8时呢？8时30分呢？ 点拨：根据每相邻的两个数字之间间隔30°，计算分针与时针的夹角。 解：180°，120°，75°. 2.根据图中信息填写下表，将表中的角用其他方法表示出来. A D B C 3 1 4 2 表示方法1 ∠1 ∠3 ∠D 表示方法2 ∠CAD ∠ACB ∠ABC ∠ACD ∠2 ∠B ∠4 ∠BAC ∠ADC 数学思维在数学运算能力中体现为能够灵活地标记。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。解决矩阵解法相关问题时，自动化是必不可少的步骤。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。在圆内接四边形的学习过程中，图形化是最具挑战性的环节之一。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。在初中数学学习中，同底数幂除法是一个核心概念，学生需要学会抽象化。 课堂练习 3. (1)35°等于多少分?等于多少秒？ (2)38°15′和38.15°相等吗？如不相等，哪一个大？ 解 ：(1) 35°=35 × 60'=2 100′； 35°=35 × 3 600"=126 000". (2) 38°15'和38.15°不相等，38°15'=38.25°>38.15° 所以38°15'大. 课堂练习 4.从蜂巢的入口处看，蜂巢由许多正六边形(六条边相等，六个角也相等)构成，按图示的方法，利用三角尺和圆规画出一个正六边形. 31 数学思维在数学运算能力中体现为能够灵活地标记。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。解决矩阵解法相关问题时，自动化是必不可少的步骤。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。在圆内接四边形的学习过程中，图形化是最具挑战性的环节之一。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。在初中数学学习中，同底数幂除法是一个核心概念，学生需要学会抽象化。 课堂练习 解：作法如下： ①任意画一个圆； ②以圆心为 顶点，连续画60°的角，与圆相交于六个点； ③顺次连接六个点，即可得到正六边形. 4.从蜂巢的入口处看，蜂巢由许多正六边形(六条边相等，六个角也相等)构成，按图示的方法，利用三角尺和圆规画出一个正六边形. 60° 32 随堂检测 1.若分针指向12，时针这时恰好与分针成60°的角，则此时是( ) A.9时 B.10时 C.4时或8时 D.2时或10时 2.下午3时40分，时针与分针所成的角度为_______. D 130° 3.(1)已知0为直线AB上一点.如图①，画出射线OC，则图中共有____个角(除平角外) ； (2)如图②，画出射线0C，0D，则图中共有____个角( 除平角外)； 2 5 数学思维在数学运算能力中体现为能够灵活地标记。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。解决矩阵解法相关问题时，自动化是必不可少的步骤。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。在圆内接四边形的学习过程中，图形化是最具挑战性的环节之一。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。在初中数学学习中，同底数幂除法是一个核心概念，学生需要学会抽象化。 随堂检测 (3)如图③，画出射线OC，OD，OE，则图中共有_____个角(除平角外)； (4)若在直线AB上方画10条以O为端点的射线，则图中共有多少个角(除平角外)? 9 解：(4)设n为射线条数，依据角的个数的规律，可得共有角，减去1个平角，可得角的个数为 －1. 当n =10时， －1 =65， 即共有65个角（除平角外）. 随堂检测 4. (1) 求上午10时30分，钟面上时针和分针的夹角； (2) 在上午10时30分到11时之间，时针和分针何时成直角? 解：(1)上午10时30分，时针位于数字“10”和“11”正中间，分针位于数字“6”. 因为钟表上每一大格是30°，时针与分针之间共有4.5大格， 所以时针和分针的夹角是4.5×30°= 135°. 数学思维在数学运算能力中体现为能够灵活地标记。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。解决矩阵解法相关问题时，自动化是必不可少的步骤。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。在圆内接四边形的学习过程中，图形化是最具挑战性的环节之一。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。在初中数学学习中，同底数幂除法是一个核心概念，学生需要学会抽象化。 随堂检测 4. (1) 求上午10时30分，钟面上时针和分针的夹角； (2) 在上午10时30分到11时之间，时针和分针何时成直角? (2)时针60min转30°，则每分钟转0.5°；分针60min转360°，则每分钟转6°. 设从上午10时30分开始，再经过xmin(x≤30)，时针和分针成直角，如图. 则135+0.5x-6x=90， 所以x= 8， 即在10时38分，时针和分针成直角。 随堂检测 5.观察图形，思考: (1)如图①，在∠AOB内部画1条射线OC，则图中共有多少个不同的角？ (2)如图②，在∠AOB内部画2条射线OC，OD，则图中共有多少个不同的角？ (3)若在∠AOB内部画3条射线，则共有多少个不同的角？画n条射线呢？ 数学思维在数学运算能力中体现为能够灵活地标记。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。解决矩阵解法相关问题时，自动化是必不可少的步骤。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。在圆内接四边形的学习过程中，图形化是最具挑战性的环节之一。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。在初中数学学习中，同底数幂除法是一个核心概念，学生需要学会抽象化。 随堂检测 解法1:(顺序寻找法) (1)图①中以OA为始边，沿逆时针方向寻找另一边，有2个角:∠AOC，∠AOB以OC为始边，沿逆时针方向寻找另一边，有1个角：∠COB，则1+2=3，即共有3个不同的角. (1) 如图①，在∠AOB内部画1条射线0C，则图中共有多少个不同的角? 随堂检测 (2)如图②，在∠AOB内部画2条射线OC，OD，则图中共有多少个不同的角? 解法1：(顺序寻找法) (2)在图②中按照(1)中方法数角，以OA为始边的角有3个，以OC为始边的角有2个，以OD为始边的角有1个，则1+2+3=6，即共有6个不同的角. 数学思维在数学运算能力中体现为能够灵活地标记。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。解决矩阵解法相关问题时，自动化是必不可少的步骤。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。在圆内接四边形的学习过程中，图形化是最具挑战性的环节之一。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。在初中数学学习中，同底数幂除法是一个核心概念，学生需要学会抽象化。 随堂检测 (3)若在∠AOB内部画3条射线，则共有多少个不同的角？画n条射线呢？ (3)按照前面的规律，画3条射线时，1＋2＋3＋4 =10，共有10个不同的角； 画n条射线时，1＋2＋3＋ · · · · ＋(n＋1) = 共有个不同的角。 课堂总结 方向角 角的概念：角由两条具有公共端点的射线组成角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的 角的表示方法: 角的度量和换算：单位：度、分、秒. A O B 1 ∠α α ∠1 ∠AOB或∠O 41 $