精品解析：内蒙古自治区鄂尔多斯市达拉特旗2020-2021学年上学期九年级期末数学学科素养检测

全旗九年级数学学科素养检测 考生须知： 1．作答前，请将自己的姓名、考号等信息填写在答题纸上相应位置． 2．答题内容一律填涂或书写在答题纸上规定的位置，在试题卷上作答无效． 3．本试题共6页，3大题，24小题，满分120分．考试时间120分钟． 一、选择题（本大题10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下面是同学们利用图形变化的知识设计的一些美丽的图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知是的直径，是弦，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 你吃过拉面吗?实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长度是面条的粗细（横截面积）的反比例函数，其图象如图所示．请写出y与的函数关系式（ ） A. B. C. D. 5. 定义运算：．例如：．则方程的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 6. 如图，正方形的边长为，以点为圆心，为半径，画圆弧得到扇形（阴影部分，点在对角线上）．若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（ ） A. B. C. D. 7. 二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，平面直角坐标系中，点在第一象限，点在轴的正半轴上，，．将绕点逆时针旋转，点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 9. 下列说法中，正确的有（ ） ①抛物线的顶点坐标是，对称轴是 ②关于x的方程有实数根，那么m的取值范围是且 ③若直径为，当点P到圆心的距离为时，则点P在内 ④若一个正六边形的周长为24，则该正六边形的边心距为 A. ①②③④ B. ①②④ C. ①④ D. ②③ 10. 如图，在中，，，于点．点从点出发，沿的路径运动，运动到点停止，过点作于点，作于点．设点运动的路程为，四边形的面积为，则能反映与之间函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题6个小题，每小题3分，共18分） 11. 反比例函数的图像经过点，则___________． 12. 经过人民路十字路口红绿灯处的两辆汽车，可能直行，也可能左转，如果这两种可能性大小相同，则至少有一辆向左转的概率是________． 13. 已知二次函数的图象如图，有下列个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有______（将你认为正确的结论序号都填出来） 14. 汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图中，中间的小正方形ABCD的边长为2，分别以A，C为圆心，2为半径作圆弧，则图中阴影部分的面积为_____． 15. 如图，正六边形ABCDEF内接于O，点M是边CD的中点，连结AM，若圆O的半径为2，则AM=____________. 16. 如图，已知△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3…△PnAn﹣1An都是等腰直角三角形，点P1、P2、P3…Pn都在函数y＝（x＞0）的图象上，斜边OA1、A1A2、A2A3…An﹣1An都在x轴上．则点A2021的坐标为____． 三、解答题（本大题8个小题，共72分，解答时要写出必要的文字说明，演算步骤或推理过程） 17. 解下列方程 （1） （2） 18. 小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券．于是，老师就设计了这样的一个游戏：一口袋装有除颜色外均相同的2个白球1个红球和1个蓝球，通过摸球来决定谁去观看演出．方案如下：第一次随机从口袋中摸出一球（不放回）；第二次再任意摸出一球，两人胜负规则如下：摸到“一白一红”，则小颖去观看；摸到“一红一蓝”，则小亮去观看． （1）这个方案公平吗?请用列表或画树状图的方法说明理由； （2）你若认为这个方案不公平，那么请你改变两人胜负规则，设计一个公平的方案． 19. 如图，边长为的正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，点的坐标分别是，． （1）作出绕点逆时针旋转90°以后的图形； （2）求出点在旋转过程中所经过的路径的长度； （3）点在轴上，当的值最小时，求点的坐标． 20. 某市某楼盘准备以每平方米元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米元的均价开盘销售． （1）求平均每次下调的百分率； （2）王先生准备以开盘价均价购买一套平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案： ①打折销售； ②不打折，一次性送装修费每平方米元，试问哪种方案更优惠? 21. 如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数图象的一个交点为． （1）求反比例函数的解析式； （2）当时，求x的取值范围； （3）求点B到直线的距离． 22. 如图，在中，，点在上，以为直径的与边相切于点，与边相交于点，且，连接并延长交于点，连接． （1）求证：是的切线． （2）若，求图形中阴影部分的面积． 23. 某超市销售一种文具，进价为元/件．售价为元/件时，当天的销售量为件．在销售过程中发现：售价每上涨元，当天的销售量就减少件．设当天销售单价统一为元/件（，且是按元的倍数上涨），当天销售利润为元． （1）求与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）要使当天销售利润不低于元，求当天销售单价所在的范围； （3）若每件文具的利润不超过，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元?并求出最大利润． 24. 如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，且． （1）求抛物线的解析式； （2）点P在抛物线的对称轴上，若线段绕点P逆时针旋转后，点A的对应点恰好也落在此抛物线上，求点P的坐标． （3）连结，H是抛物线上一动点，过点H作的平行线交x轴于点F，是否存在以点A、C、H、F为顶点所组成的四边形是平行四边形？若存在，直接写出满足要求的点F的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 全旗九年级数学学科素养检测 考生须知： 1．作答前，请将自己的姓名、考号等信息填写在答题纸上相应位置． 2．答题内容一律填涂或书写在答题纸上规定的位置，在试题卷上作答无效． 3．本试题共6页，3大题，24小题，满分120分．考试时间120分钟． 一、选择题（本大题10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下面是同学们利用图形变化的知识设计的一些美丽的图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 据此即可求解． 【详解】解：A、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意； B、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：A． 2. 在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，根据二次函数平移规律“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：抛物线先向右平移1个单位，再向下平移2个单位， 得到的抛物线解析式为：， 故选：D． 3. 如图，已知是的直径，是弦，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，先根据圆周角定理由是的直径得到，再根据互余得到，然后根据圆周角定理求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵和都是所对的圆周角， ∴． 故选：B． 4. 你吃过拉面吗?实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长度是面条的粗细（横截面积）的反比例函数，其图象如图所示．请写出y与的函数关系式（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，待定系数法求函数解析式，首先根据题意，y与s的关系为乘积一定，为面团的体积，根据反比例函数图象经过点，利用待定系数法进行解答． 【详解】解：设y与x的函数关系式为， 将，代入上式， 解得：， ∴． 故选：B． 5. 定义运算：．例如：．则方程的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根据新定义运算法则以及一元二次方程的判别式即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：， ∴， ∴没有实数根， 故选：C． 6. 如图，正方形的边长为，以点为圆心，为半径，画圆弧得到扇形（阴影部分，点在对角线上）．若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查的知识点是圆锥侧面展开图的性质(圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆的周长)正方形的性质(正方形的对角线平分内角，角度为)、扇形弧长公式(，其中为圆心角度数，为扇形半径)．先求出扇形的弧长，再根据圆锥底面圆周长等于侧面展开图扇形弧长这一关系，求出圆锥底面半径；涉及正方形性质、扇形弧长公式、圆锥侧面展开图性质等知识点． 【详解】解：∵正方形中，， ∴扇形的圆心角， 已知扇形半径，圆心角， 据扇形弧长公式，可得弧长， 设圆锥底面半径为，圆锥底面圆周长， 又因为圆锥底面圆周长等于侧面展开图扇形弧长， 所以， 解方程可得， 故选：B． 7. 二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的图象开口向上，得，与轴交于正半轴，得，根据二次函数的对称轴可得，从而得到一次函数经过一、三、四象限，反比例函数经过一、三象限，即可得到答案． 【详解】解：二次函数的图象开口向上，与轴交于负半轴， ，， 又观察二次函数的图象，二次函数的对称轴为， ， 一次函数经过一、三、四象限，反比例函数经过一、三象限，只有选项D图象符合， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象、一次函数的图象、反比例函数的图象，根据二次函数的图象得到，，，是解题的关键． 8. 如图，平面直角坐标系中，点在第一象限，点在轴的正半轴上，，．将绕点逆时针旋转，点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中图形旋转的坐标计算，核心是利用旋转性质、等腰三角形判定及直角三角形三角函数求解对应点坐标．通过旋转性质转化条件，利用等腰三角形简化计算，再借助直角三角形三角函数求线段长度，最终确定坐标．旋转后，，由， 得(等角对等边) ，过点作轴的垂线，垂足为，构造，利用求得，同理可得，，所以(的纵坐标)，(到y轴的距离，即横坐标的绝对值)，即可解答． 【详解】由旋转可知，，， 过点作轴的垂线，垂足为， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∴点的坐标为． 故选：C． 9. 下列说法中，正确的有（ ） ①抛物线的顶点坐标是，对称轴是 ②关于x的方程有实数根，那么m的取值范围是且 ③若直径为，当点P到圆心的距离为时，则点P在内 ④若一个正六边形的周长为24，则该正六边形的边心距为 A. ①②③④ B. ①②④ C. ①④ D. ②③ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数性质，方程有解的情况，点与圆的位置关系，正多边形边心距，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 根据二次函数性质，方程有解的情况，点与圆的位置关系，正多边形性质，逐个分析判断，即可解题． 【详解】解：①抛物线的顶点坐标是，对称轴是，正确； ②关于x的方程有实数根， 当时，，解得， 当时，，解得， 综上所述，m的取值范围是，故②错误； ③若直径为，即半径为， 当点P到圆心的距离为时，且， 则点P在外，故③错误； ④若一个正六边形的周长为24， 则正六边形的边长为4， 如图，， ， ， ， 则该正六边形的边心距，正确； 综上所述，正确的有①④； 故选：C． 10. 如图，在中，，，于点．点从点出发，沿的路径运动，运动到点停止，过点作于点，作于点．设点运动的路程为，四边形的面积为，则能反映与之间函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分两段来分析：①点P从点A出发运动到点D时，写出此段的函数解析式，则可排除C和D；②P点过了D点向C点运动，作出图形，写出此阶段的函数解析式，根据图象的开口方向可得答案． 【详解】解：∵，， ∴，， 又∵， ∴，， ∵，， ∴四边形是矩形， I．当P在线段AD上时，即时，如解图1 ∴， ∴， ∴四边形的面积为，此阶段函数图象是抛物线，开口方向向下，故选项CD错误； II．当P在线段CD上时，即时，如解图2： 依题意得：， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形的面积为，此阶段函数图象是抛物线，开口方向向上，故选项B错误； 故选：A． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，分段写出函数的解析式并数形结合进行分析是解题的关键． 二、填空题（本大题6个小题，每小题3分，共18分） 11. 反比例函数的图像经过点，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 直接把点代入反比例函数，．求出的值即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， 解得． 故答案为：．． 12. 经过人民路十字路口红绿灯处的两辆汽车，可能直行，也可能左转，如果这两种可能性大小相同，则至少有一辆向左转的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】可以采用列表法或树状图求解．可以得到一共有4种情况，至少有一辆向左转有3种情况，根据概率公式计算可得． 【详解】解：由题意画出“树状图”如下： ∵这两辆汽车行驶方向共有4种可能的结果，其中至少有一辆向左转有3种情况， ∴至少有一辆向左转的概率是． 故答案为：． 【点睛】此题考查了树状图法求概率．解题的关键是根据题意画出树状图，再由概率=所求情况数与总情况数之比求解． 13. 已知二次函数的图象如图，有下列个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有______（将你认为正确的结论序号都填出来） 【答案】①③⑤ 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质相关知识点．要判断这个结论是否正确，根据二次函数的图象性质，分析的符号，以及函数在特殊点的取值、对称轴、判别式等情况，即可解答． 【详解】解：由图可知开口向下，则， 与轴交于正半轴，则， ∵， ∴， 则，①正确； 则， ∵， ∴，②错误； ∵时，，对称轴是直线， ∴当时，， ∴，③正确； ∵， ∴，④错误， ∵， ∴，⑤正确； 故答案为：①③⑤． 14. 汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图中，中间的小正方形ABCD的边长为2，分别以A，C为圆心，2为半径作圆弧，则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】2π﹣4． 【解析】 【分析】阴影部分的面积是两个圆心角为，且半径为1的扇形的面积与正方形的面积的差． 【详解】解：阴影部分的面积为S阴影＝2S扇形﹣S正方形＝， 故答案为2π-4． 【点睛】本题考查扇形的面积，正方形的性质等知识，解题的关键将求阴影部分面积转化为求扇形的面积与正方形的面积的问题． 15. 如图，正六边形ABCDEF内接于O，点M是边CD的中点，连结AM，若圆O的半径为2，则AM=____________. 【答案】 【解析】 【分析】连接AD,过M作MG⊥AD于G,根据正六边形的相关性质，求得AD,MD的值，再根据∠CDG=60°，求出DG,MG的值，最后利用勾股定理求出AM的值. 【详解】解：连接AD,过M作MG⊥AD于G,则由正六边形可得， AD=2AB=4，∠CDA=60°， 又MD=CD=1， ∴DG=,MG=, ∴AG=AD-DG=, ∴AM= 故答案为． 【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、三角函数、勾股定理；熟练掌握正六边形的性质，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键. 16. 如图，已知△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3…△PnAn﹣1An都是等腰直角三角形，点P1、P2、P3…Pn都在函数y＝（x＞0）的图象上，斜边OA1、A1A2、A2A3…An﹣1An都在x轴上．则点A2021的坐标为____． 【答案】（，0） 【解析】 【分析】首先根据等腰直角三角形的性质，知点P1的横、纵坐标相等，再结合双曲线的解析式得到点P1的坐标是（2，2），则根据等腰三角形的三线合一求得点A1的坐标；同样根据等腰直角三角形的性质、点A1的坐标和双曲线的解析式求得A2点的坐标；根据A1、A2点的坐标特征即可推而广之． 【详解】解：可设点P1（x，y）， 根据等腰直角三角形的性质可得：x=y， 又∵y=， 则x2=4， ∴x=±2（负值舍去）， 再根据等腰三角形的三线合一，得A1的坐标是（4，0）， 设点P2的坐标是（4+y，y）， 又∵y=，则y（4+y）=4，即y2+4y-4=0 解得，y1=-2+2，y2=-2-2， ∵y＞0， ∴y=2-2， 再根据等腰三角形的三线合一，得A2的坐标是（4，0）； 可以再进一步求得点A3的坐标是（4，0），推而广之，则An点的坐标是（4，0）． 故点A2021的坐标为 （4，0）． 故答案是：（4，0）． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合应用，解决此题的关键是要根据等腰直角三角形的性质以及反比例函数的解析式进行求解． 三、解答题（本大题8个小题，共72分，解答时要写出必要的文字说明，演算步骤或推理过程） 17. 解下列方程 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）由公式法求解； （2）利用因式分解法求解． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ∴； 【小问2详解】 解：， ， ， 解得：． 18. 小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券．于是，老师就设计了这样的一个游戏：一口袋装有除颜色外均相同的2个白球1个红球和1个蓝球，通过摸球来决定谁去观看演出．方案如下：第一次随机从口袋中摸出一球（不放回）；第二次再任意摸出一球，两人胜负规则如下：摸到“一白一红”，则小颖去观看；摸到“一红一蓝”，则小亮去观看． （1）这个方案公平吗?请用列表或画树状图的方法说明理由； （2）你若认为这个方案不公平，那么请你改变两人胜负规则，设计一个公平的方案． 【答案】（1） 解：游戏方案不公平，理由如下： 由树状图可以看出：共有12种可能，摸到“一白一红”有4种，摸到“一红一蓝”的情况有2种， 故小颖获胜的概率为 ，小亮获胜的概率为，所以这个游戏不公平． （2）拿出一个白球或放进一个蓝球，其他不变．游戏就公平了． 【解析】 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．画出树状图，求出他们各自获胜的概率是解答本题的关键． （1）画出树状图，根据概率公式即可求出概率，比较概率即可得出结论； （2）让二者的概率相同即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：当拿出一个白球时，其他不变，同理可求摸到“一白一红”和摸到“一红一蓝”的概率均是； 或放进一个蓝球，其他不变，则同理可求摸到“一白一红”和摸到“一红一蓝”的概率均是； ∴游戏就公平了． 19. 如图，边长为的正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，点的坐标分别是，． （1）作出绕点逆时针旋转90°以后的图形； （2）求出点在旋转过程中所经过的路径的长度； （3）点在轴上，当的值最小时，求点的坐标． 【答案】（1）图见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查旋转、路径长度计算以及利用对称性求解最短路径问题；需要理解旋转的性质、根据旋转的性质，确定旋转后三角形顶点的坐标． ()点和点绕原点逆时针旋转后新的坐标分别为和，点作为旋转中心，坐标不变； ()点在旋转过程中所经过的路径是以为圆 心，为半径，圆心角为的弧长，先求的长度，根据勾股定理，，根据弧长公式(其中为圆心角度 数，为半径)，这里，，即可解答； ()利用对称性求解点的坐标，使得的值最小，作点关于轴的对称点，连接 ，与轴的交点即为点，此时的值最小，通过直线方程求得的坐标 【小问1详解】 解：如图，即为绕点逆时针旋转得到的图形， 【小问2详解】 点在旋转过程中所经过的路径是以为圆 心，为半径，圆心角为的弧长， 根据勾股定理，， 根据弧长公式， ∴点在旋转过程中所经过的路径的长度为：； 【小问3详解】 作点关于轴的对称点，连接 ，与轴的交点即为点，此时的值最小， 设直线的解析式为， 把，代入可得： 解得 直线的解析式为， 当时，， ∴点的坐标为：． 20. 某市某楼盘准备以每平方米元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米元的均价开盘销售． （1）求平均每次下调的百分率； （2）王先生准备以开盘价均价购买一套平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案： ①打折销售； ②不打折，一次性送装修费每平方米元，试问哪种方案更优惠? 【答案】（1） （2）方案②更优惠 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． ()设出平均每次下调的百分率为，第一次下调后 的价格为元，第二次下调后的价格为元，根据已知销售价格列方程解答即可． ()分别计算两种方案的优惠价格，比较后发现更优惠方案即可． 【小问1详解】 解：设平均每次下调的百分率为， 第一次下调后的价格为元，第二次下调后的价格为元， 根据题意，可列方程： ， ， 当时，， 当时，（下调百分率不能大于，舍去）， 所以，平均每次下调的百分率为． 【小问2详解】 方案①： 住房面积是平方米，开盘均价为每平方米元，打折销售， 那么总房款为：(元) ； 方案②： 不打折，一次性送装修费每平方米元， 那么实际支付款为： (元) ∵， ∴方案②更优惠． 21. 如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数图象的一个交点为． （1）求反比例函数的解析式； （2）当时，求x的取值范围； （3）求点B到直线的距离． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与反比例函数图象的交点问题，涉及待定系数法求函数解析式，两点之间距离公式等知识点． （1）由待定系数法求解即可； （2）先求出两个函数图象的交点横坐标，即可由函数图象求解； （3）设点B到直线的距离为，根据等面积法得到，据此即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得，将代入，则， ∴， 将代入，则， ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：联立， 解得：或， 由图象可得，x的取值范围为或； 【小问3详解】 解：对于直线，当时，， ∴， ∵，， ∴， 设点B到直线的距离为， 则由题意得， ∴． 22. 如图，在中，，点在上，以为直径的与边相切于点，与边相交于点，且，连接并延长交于点，连接． （1）求证：是的切线． （2）若，求图形中阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：连接， ∵与边相切于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， , ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查的是切线的性质、扇形面积计算、等边三角形的判定和性质、勾股定理全等三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于过切点的半径、扇形面积公式是解题的关键． ()连接，根据切线的性质得到得到，根据平行线的性质得到，得到，根据等腰三角形的判定定理证明；再利用定理证明，根据全等三角形的性质得到，根据切线的判定定理证明结论； ()阴影部分面积梯形 的面积扇形 的面积(通过“整体减部分”计算不规则图形面积)连接，设的半径为，根据含的直角三角形的性质求出圆的半径，根据梯形的面积公式、扇形面积公式计算得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∵，, ∴， ∴， 设的半径为， ∵，即， 解得，， ∴，， ∴， ∴， 由()知，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 根据勾股定理得，， ∴． 23. 某超市销售一种文具，进价为元/件．售价为元/件时，当天的销售量为件．在销售过程中发现：售价每上涨元，当天的销售量就减少件．设当天销售单价统一为元/件（，且是按元的倍数上涨），当天销售利润为元． （1）求与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）要使当天销售利润不低于元，求当天销售单价所在的范围； （3）若每件文具的利润不超过，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元?并求出最大利润． 【答案】（1） （2） （3）元，元 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数在实际销售利润问题中的应用， （）依据利润每件利润销售量，先确定每件利润为元(售价减进价) 根据售价与销售量的关系，计算出销售量为件(原价销量减去因涨价减少的销量) ，两者相乘并整理，得到函数关系式； （）由利润不低于元，列不等式 整理不等式为，因式分解后求解，得出单价范围， （）根据利润不超过列不等式，得，结合()确定，分析二次函数性质：开口向下、对称轴为，在对称轴左侧随的增大而增大，而，当(是的倍数且最接近)时，取得最大值，即可解答． 【小问1详解】 解：， 故与的函数关系式为：； 【小问2详解】 要使当天利润不低于元，， ∴， 解得，， ∵，抛物线的开口向下， ∴当天销售单价所在的范围为； 【小问3详解】 ∵每件文具利润不超过， ∴， 得， 又∵且是的倍数， ∴且是的倍数， 对于二次函数， 其对称轴为 ∵函数图象开口向下，在对称轴左侧随的增大而增大，而， ∴当(是的倍数且最接近)时，取得最大值； 当时，取得最大值，此时， 即每件文具售价为元时，最大利润为元． 24. 如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，且． （1）求抛物线的解析式； （2）点P在抛物线的对称轴上，若线段绕点P逆时针旋转后，点A的对应点恰好也落在此抛物线上，求点P的坐标． （3）连结，H是抛物线上一动点，过点H作的平行线交x轴于点F，是否存在以点A、C、H、F为顶点所组成的四边形是平行四边形？若存在，直接写出满足要求的点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）或或 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，待定系数法求二次函数，二次函数的性质，四边形的面积，综合性较强，难度适中．利用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键． （）由点的坐标可知的长，根据，即可得出点的坐标，再根据点的坐标利用待定系数法即可求出二次函数解析式； （）根据抛物线求得对称轴直线，设点的坐标为，过作对称轴于，过作对称轴于，分当时，时，①当时，利用相等的边角关系即可证出，由此即可得出点的坐标，将其代入二次函数解析式中即可求出值，由此即可得出点的坐标；②当时，，结合图形找出点的位置，由此即可得出点的坐标，综上即可得出结论； （）假设存在，设点的坐标为，分点在轴上方和下方两种情况考虑，根据平行四边形的性质结合点的坐标即可表示出点的坐标，将其代入二次函数解析式中即可求出值，从而得出点的坐标． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于和， ∴设抛物线的交点式为， ∵抛物线与轴交于点，且， ∴点坐标为代入， 得，即， 解得， ∴抛物线的解析式为， 展开可得； 【小问2详解】 解：∵抛物线， ∴对称轴为直线，设， 如图，过作对称轴于，过作对称轴于， ①当时， ∵线段绕点逆时针旋转得到， ∴， 又∵对称轴于， ∴， ∴， 在与， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，即， ∴的坐标为， ∵在抛物线上， ∴把代入， 得：或(舍去）， ∴ ②当时，要使，则重合， ∵， ∴， ∴， 综上点P的坐标或． 【小问3详解】 解：假设存在，设点的坐标为，以点为顶点的平行四边形分两种情况 (如图)： ①当点在轴上方时，则，，， ∴代入抛物线， 得， 解得：或(舍去）， ∴， ②当点在轴下方时，则，，， ∴代入抛物线， 得， 解得：，， ∴或， 综上：或或， ∴存在以点为顶点所组成的四边形是平行四边形； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $