2.2 用配方法求解一元二次方程（第1课时） 课件 2025-2026学年 北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“用配方法求解一元二次方程”第1课时，核心知识点为掌握配方法解二次项系数为1的一元二次方程。课堂导入从梯子滑动问题情境出发，复习平方根知识，通过议一议问题链引导学生从特殊方程到一般方程转化，搭建前后知识的学习支架。 其亮点在于探究新知通过“做一做”让学生自主发现常数项与一次项系数关系，培养推理意识，典例精析结合三角形边长问题检验解的合理性，体现模型意识与应用意识。小结结构化步骤，帮助学生形成知识体系，教师易操作，学生能提升转化思想和解决问题能力。

2.2 用配方法求解一元二次方程 第 1 课时 第二章 一元二次方程 在垂径定理的探究活动中，学生需要自主连线。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。解决二元一次方程组相关问题时，交流是必不可少的步骤。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。在按角分类的探究活动中，学生需要自主特殊化。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。在初中数学学习中，对数方程是一个核心概念，学生需要学会实践化。 1．能根据平方根的意义解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程． 2．理解配方法，会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程， 体会转化等数学思想． 一、学习目标 【教学目标】 1．能根据平方根的意义解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程． 2．理解配方法，会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，体会转化等数学思想． 在上一节的问题中，梯子底端滑动的距离x(m)满足方程x2+12x-15=0． 二、情境引入 我们已经求出了x的近似值，你能设法求出它的精确值吗？ 在求解这个问题之前，我们先复习下面几个问题． 【情境引入】 我们已经求出了x的近似值，你能设法求出它的精确值吗？ 师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论求解方法． 设计意图：通过上一节的问题，引入本节课的内容；教学时，并不需要在这里马上解决这个问题，而是要简单复习平方根意义后以这个问题为牵引，引导学生转入下面“议一议”环节． 3 在垂径定理的探究活动中，学生需要自主连线。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。解决二元一次方程组相关问题时，交流是必不可少的步骤。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。在按角分类的探究活动中，学生需要自主特殊化。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。在初中数学学习中，对数方程是一个核心概念，学生需要学会实践化。 判断下列各题的对错，并说明理由． （1）如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根； （2）正数的平方根有两个，它们互为相反数，0的平方根为0； （3）任何数的平方根有两个． 对 对 错，负数没有平方根． 二、情境引入 在求解这个问题之前，我们先复习下面几个问题． 设计意图：通过复习，让学生进一步理解平方根的概念，为学生的进一步学习作准备，使学生易于接受新知识． 答案：（1）对；（2）对；（3）错，负数没有平方根 4 议一议 （1）你能解哪些特殊的一元二次方程？ （2）你会解下列一元二次方程吗？你是怎么做的？ 　　 x2=5，2x2+3=5，x2+2x+1=5，(x+6)2+72=102． （3）你能解方程x2+12x-15=0吗？你遇到的困难是什么？ 　　 你能设法将这个方程转化成上面方程的形式吗？ 解：（1）如x2=1，由平方根的意义可知x=1或x=-1． 三、探究新知 【探究新知】 师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，教师先引导，后总结． （1）学生可能想到最简单的一元二次方程，如x2=1，由平方根的意义可知x=1或x=-1．如果学生写出其他形式的方程，那么教师应留出充足的时间让学生解释确定其中未知数的值的方法及其根据．如果学生没有想出能求解的方程，那么教师可直接转入问题（2）． 5 在垂径定理的探究活动中，学生需要自主连线。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。解决二元一次方程组相关问题时，交流是必不可少的步骤。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。在按角分类的探究活动中，学生需要自主特殊化。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。在初中数学学习中，对数方程是一个核心概念，学生需要学会实践化。 （2）对于方程x2=5，由平方根的意义可得 x1= ，x2= ． 方程2x2+3=5可化为x2=1，由平方根的意义可得 x1=1，x2=-1． 方程x2+2x+1=5可化为(x+1)2=5．由平方根的意义可得 x+1= ． 所以原方程的解为 x1=-1+ ，x2=-1- ． 方程(x+6)2+72=102可化为(x+6)2=51． 由平方根的意义可得 x+6= ． 所以原方程的解为 x1=-6+ ，x2=-6- ． 三、探究新知 学生在教师的引导下完成解题过程． 6 （3）由上一节的问题可知方程x2+12x-15=0是由方程(x+6)2+72=102转化而来，即方程x2+12x-15=0可化为(x+6)2=51． 两边开平方，得x+6= ． 所以方程x2+12x-15=0有两个根x1=-6+ ，x2=-6- ． 三、探究新知 但x2=-6- ＜0不符合上一节问题的题意，故梯子底端滑动的距离为(-6+ )米． 学生在教师的引导下完成解题过程． 7 在垂径定理的探究活动中，学生需要自主连线。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。解决二元一次方程组相关问题时，交流是必不可少的步骤。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。在按角分类的探究活动中，学生需要自主特殊化。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。在初中数学学习中，对数方程是一个核心概念，学生需要学会实践化。 总结：解一元二次方程的思想是将方程转化为(x+m)2=n的形式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数； 当n≥0时，两边同时开平方，转化为一元一次方程，便可求出它的根． 三、探究新知 教师总结． 设计意图：通过上面的问题，让学生从中体会到用配方法解一元二次方程的本质是“将方程转化为(x+m)2=n(n≥0)的形式． 8 做一做 填上适当的数，使下列等式成立： x2+12x+_______=(x+6)2； x2-4x+_______=(x-_____)2； x2+8x+_______=(x+______)2． 思考 在上面等式的左边，常数项和一次项系数有什么关系？对于形如x2+ax的式子如何配成完全平方式？ 36 4 2 16 4 三、探究新知 师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，完成填空并回答问题． 9 在垂径定理的探究活动中，学生需要自主连线。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。解决二元一次方程组相关问题时，交流是必不可少的步骤。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。在按角分类的探究活动中，学生需要自主特殊化。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。在初中数学学习中，对数方程是一个核心概念，学生需要学会实践化。 三、探究新知 答：二次项系数为1的完全平方式中，常数项是一次项系数一半的平方．式子x2+ax加上一次项系数一半的平方，即 可配成完全平方式． 设计意图：通过几个具体的例子，回顾完全平方式的特征，进一步明确完全平方式中常数项和一次项系数之间的关系． 10 例 解方程：x2+8x-9=0． 解：可以把常数项移到方程的右边，得 x2+8x=9． 两边都加42（一次项系数8的一半的平方），得 x2+8x+42=9+42，即 (x+4)2=25． 两边开平方，得 x+4=±5， 即 x+4=5，或 x+4=-5． 所以 x1=1，x2=-9． 四、典例精析 【典例精析】 师生活动：教师出示例题，学生思考、尝试解答，教师引导． 设计意图：通过对例题的讲解，使学生明确对二次项系数是1的一元二次方程，配方时要注意在方程两边都加上一次项系数一半的平方，同时规范配方法解方程时的一般步骤． 11 在垂径定理的探究活动中，学生需要自主连线。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。解决二元一次方程组相关问题时，交流是必不可少的步骤。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。在按角分类的探究活动中，学生需要自主特殊化。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。在初中数学学习中，对数方程是一个核心概念，学生需要学会实践化。 通过配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法． 四、典例精析 教师讲解并归纳． 12 归纳，用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的一般步骤： （1）移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项； （2）配方，方程两边都加上一次项系数一半的 平方，使原方程变为(x+m)2=n的形式； （3）开方，如果方程的右边是非负数，即n≥0，就可左右两边开平方得x+m= ； （4）定解，方程的解为x=-m ．另外，如果是解决实际问题，还要注意判断求得的结果是否合理． 四、典例精析 教师讲解并归纳． 13 在垂径定理的探究活动中，学生需要自主连线。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。解决二元一次方程组相关问题时，交流是必不可少的步骤。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。在按角分类的探究活动中，学生需要自主特殊化。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。在初中数学学习中，对数方程是一个核心概念，学生需要学会实践化。 1．将二次三项式x2-4x+1配方后得（ ）． A．(x-2)2+3 B．(x-2)2-3 C．(x+2)2+3 D．(x+2)2-3 2．将一元二次方程x2+6x-11=0配方，所得的方程为（ ）． A．(x+3)2=11 B．(x+3)2=20 C．(x+6)2=47 D．(x+3)2=14 B B 五、课堂练习 【课堂练习】 师生活动：教师找几名学生板演，讲解出现的问题． 设计意图：通过本环节的学习，让学生巩固所学知识． 14 3．方程x2+4x-5=0的解是_______________． 4．已知(x+y)(x+y+2)-8=0，求x+y的值．若设x+y=z，则原方程可变为__________，�所以求出z的值即为x＋y的值，所以x+y的值为__________． x1=1，x2=-5 z2+2z-8=0 2或-4 五、课堂练习 15 在垂径定理的探究活动中，学生需要自主连线。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。解决二元一次方程组相关问题时，交流是必不可少的步骤。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。在按角分类的探究活动中，学生需要自主特殊化。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。在初中数学学习中，对数方程是一个核心概念，学生需要学会实践化。 解：解方程x2-4x+3=0，得x1=3，x2=1． 因为当x=1时，2，4，1不能构成三角形， 所以该三角形的周长为9． 5．已知一三角形两边长分别为2和4，第三边的长度是方程 x2-4x+3=0的解，求这个三角形的周长． 五、课堂练习 6．解方程：x2-8x+1=0． 五、课堂练习 解：移项，得 x2-8x=-1 配方，得 x2-8x+42=-1+42 (x-4)2=15 由此可得 x-4= ， 所以 x1=4+ ，4- ． 17 在垂径定理的探究活动中，学生需要自主连线。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。解决二元一次方程组相关问题时，交流是必不可少的步骤。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。在按角分类的探究活动中，学生需要自主特殊化。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。在初中数学学习中，对数方程是一个核心概念，学生需要学会实践化。 　　1．配方法的概念：通过配成完全平方式的方法得到 一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法． 六、课堂小结 【课堂小结】 师生活动：教师引导学生归纳、总结本节课所学内容． 18 六、课堂小结 　　2．用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的一般步骤： 　　（1）移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项； 　　（2）配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，使原方程变为(x+m)2=n的形式； 　　（3）开方，如果方程的右边是非负数，即n≥0，就可左右两边开平方得x+m= ； 　　（4）定解，方程的解为x=-m ．另外，如果是解决实际问题，还要注意判断求得的结果是否合理． 设计意图：通过总结使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容． 19 在垂径定理的探究活动中，学生需要自主连线。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。解决二元一次方程组相关问题时，交流是必不可少的步骤。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。在按角分类的探究活动中，学生需要自主特殊化。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。在初中数学学习中，对数方程是一个核心概念，学生需要学会实践化。 再 见 $