专题09 正弦定理与余弦定理（讲义）- 重庆市2026年高职分类考试一轮复习《数学知识点清单》

编写说明：重庆市2026年高职分类考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及重庆历年高职分类真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含八个模块共12个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是重庆市2026年高职分类考试一轮复习《数学知识点清单》的《模块五 三角函数》的第9个专题：正弦定理与余弦定理。本专题涵盖正弦定理、三角形面积公式、余弦定理等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 重庆市2026年高职分类考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题09 正弦定理与余弦定理（讲义） 知识点1 正弦定理 （1）定理：在一个三角形中，各边和它所对的角的正弦的比值相等，即（ 为三角形外接圆的半径）。 （2）变式： ① ，，； ② ，，； ③；，，。 （3）作用： ① 已知两角和任意一边，求另一角和其他两条边，有唯一解； ② 已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角，可能有唯一解、两解及无解。 知识点2 三角形面积公式 三角形的面积，等于它的任意两边及其夹角的正弦的乘积的一半。 知识点3 余弦定理 （1）定理：三角形任意一边长的平方等于其他两边长的平方和减去这两边长与它们的夹角的余弦的乘积的 2倍，即：在 中， （2）变形： （3）作用： ① 已知两边及其夹角，求另一边和其他两角，有唯一解； ② 已知三边，求三角，有唯一解； ③ 已知两边和其中一边的对角，解三角形，可用余弦定理构建关于第三边的二次方程，求其正解，可能有唯一解、两解及无解. 1. （2018年 重庆对口高职考）在中，，，角，则（ ） A. B.  C.  D.  2.（2019年 重庆对口高职考）在中，，； （1）求的值； （2）若，求BC的长. 3.（2020年 重庆对口高职考）在中，内角所对的边分别为，若，，，则（ ） A. B. C. D. 4.（2021年 重庆对口高职考）在中，内角所对的边分别为\(a,b,c\)。若，，，则（ ） A.  B.  C.  D.  5.（2022年 重庆对口高职考）在中，内角所对的边分别为，若，，，则（ ） A. B. C.5 D. 6.（2023年 重庆对口高职考）在中，角所对应的边分别是，且，，则（ ） A.  B.  C.  D.  7.（2024年 重庆对口高职考）在中，内角所对的边分别为，若，则（ ） A.  B. 2 C.  D.  8.（2024年 重庆对口高职考）在中，内角所对的边分别为，若，则（ ） A. B. C.  D. 2 9.（2025年 重庆对口高职考）在中，内角所对的边分别为，若，，，则（ ） A. 1 B. 2 C.  D. 3 1. 若满足，则的度数为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 2. 在中，，，，则的长为（ ） A. B. C. 19 D. 13 3．已知中，，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 4．在中，若，，，则的值为（ ） A.    B.    C.    D.  5. 在中，若，，，则的长为（ ） A. B. C. 4 D. 1 6．已知中，，，，则的度数为（ ） A.   B.    C.    D.  7．若满足，则为（ ） A.    B.    C.    D.  8．已知中，，，，则的弧度数为________. 9．已知中，，则三边的比值为________ 10．在中，，，，则的面积为________. 11．在中，已知，，，求： （1）的弧度数； （2）的面积. 12. 在中，已知，，，求和的长. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：重庆市2026年高职分类考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及重庆历年高职分类真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含八个模块共12个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是重庆市2026年高职分类考试一轮复习《数学知识点清单》的《模块五 三角函数》的第9个专题：正弦定理与余弦定理。本专题涵盖正弦定理、三角形面积公式、余弦定理等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 重庆市2026年高职分类考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题09 正弦定理与余弦定理（讲义） 知识点1 正弦定理 （1）定理：在一个三角形中，各边和它所对的角的正弦的比值相等，即（ 为三角形外接圆的半径）。 （2）变式： ① ，，； ② ，，； ③；，，。 （3）作用： ① 已知两角和任意一边，求另一角和其他两条边，有唯一解； ② 已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角，可能有唯一解、两解及无解。 知识点2 三角形面积公式 三角形的面积，等于它的任意两边及其夹角的正弦的乘积的一半。 知识点3 余弦定理 （1）定理：三角形任意一边长的平方等于其他两边长的平方和减去这两边长与它们的夹角的余弦的乘积的 2倍，即：在 中， （2）变形： （3）作用： ① 已知两边及其夹角，求另一边和其他两角，有唯一解； ② 已知三边，求三角，有唯一解； ③ 已知两边和其中一边的对角，解三角形，可用余弦定理构建关于第三边的二次方程，求其正解，可能有唯一解、两解及无解。 1. （2018年 重庆对口高职考）在中，，，角，则（ ） A. B.  C.  D.  【答案】C 【分析】根据正弦定理，即可求解. 【详解】根据正弦定理（其中、为三角形的边，、为对应的角）； 在中，，，，则； 将，，代入可得： . 故选：C 2.（2019年 重庆对口高职考）在中，，； （1）求的值； （2）若，求BC的长. 【答案】（1）；（2）. 【分析】根据同角三角函数的基本关系、三角形内角和定理、两角和的正弦公式、正弦定理，即可求解. 【详解】(1) 因为，， 根据，可得； 因为，，同理可得； 由于，所以，则； 根据两角和的正弦公式， 将，，，代入可得： ； (2) 根据正弦定理， 已知，，，则. 3.（2020年 重庆对口高职考）在中，内角所对的边分别为，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B. 【分析】根据余弦定理，即可求解. 【详解】根据余弦定理，将，，代入可得： ； 因为，所以. 故选：B. 4.（2021年 重庆对口高职考）在中，内角所对的边分别为\(a,b,c\)。若，，，则（ ） A.  B.  C.  D.  【答案】B. 【分析】根据同角三角函数的基本关系、正弦定理，即可求解. 【详解】因为，， 根据，可得； 根据正弦定理， 将，，代入可得： . 故选：B. 5.（2022年 重庆对口高职考）在中，内角所对的边分别为，若，，，则（ ） A. B. C.5 D. 【答案】A 【分析】根据余弦定理，即可求解. 【详解】根据余弦定理，将，，（）代入可得： ，所以. 故选：B. 6.（2023年 重庆对口高职考）在中，角所对应的边分别是，且，，则（ ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】根据正弦定理、余弦定理，即可求解. 【详解】由，根据正弦定理，可得，即; 又因为，所以； 根据余弦定理，将，代入可得： . 故选：B. 7.（2024年 重庆对口高职考）在中，内角所对的边分别为，若，则（ ） A.  B. 2 C.  D.  【答案】A 【分析】根据余弦定理、同角三角函数的基本关系，即可求解. 【详解】根据余弦定理， 已知，所以（），两边同时除以得： ； 因为（若，则，不满足）， 所以. 故选：B. 8.（2024年 重庆对口高职考）在中，内角所对的边分别为，若，则（ ） A. B. C.  D. 2 【答案】D 【分析】根据余弦定理以及三角函数中，即可求解. 【详解】已知，所以可得； 因为（三角形的边长为正数），等式两边同时除以，得到； 根据三角函数关系，将代入可得： . 故选：D. 9.（2025年 重庆对口高职考）在中，内角所对的边分别为，若，，，则（ ） A. 1 B. 2 C.  D. 3 【答案】D 【分析】根据正弦定理，即可求解. 【详解】已知，，则； 已知，，，代入得： . 故选：D. 1. 若满足，则的度数为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】B 【分析】根据余弦定理逆用（由三边关系等式，求角），即可求解. 【详解】对比余弦定理， 由已知，变形得； 代入余弦定理：； 因，且，故. 故选：B. 2. 在中，，，，则的长为（ ） A. B. C. 19 D. 13 【答案】A 【分析】根据余弦定理应用（已知两边及钝角夹角，求第三边），即可求解. 【详解】由余弦定理， 代入，，得： ； 因，化简得，故. 故选：A. 3．已知中，，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据余弦定理与三角形面积公式，即可求解. 【详解】，故； . 故选：A. 4．在中，若，，，则的值为（ ） A.    B.    C.    D.  【答案】A 【分析】根据正弦定理综合应用，即可求解. 【详解】由正弦定理. 故选：A. 5. 在中，若，，，则的长为（ ） A. B. C. 4 D. 1 【答案】A 【分析】根据正弦定理基本应用，即可求解. 【详解】由正弦定理，其中（对应的对边），（对应的对边）；代入已知条件：，即； 计算得，解得. 故选：A. 6．已知中，，，，则的度数为（ ） A.   B.    C.    D.  【答案】A 【分析】根据正弦定理变形应用，即可求解. 【详解】由正弦定理，代入，，： ； 因，化简得，即，解得； 又，故，，所以. 故选：A. 7．若满足，则为（ ） A.    B.    C.    D.  【答案】A 【分析】根据余弦定理逆用，即可求解. 【详解】由已知，变形得； 代入余弦定理：； 因，且，故. 故选：A. 8．已知中，，，，则的弧度数为________. 【答案】或 【分析】根据正弦定理变形，即可求解. 【详解】由正弦定理，； 因，化简得，解得； 又且（故），故或. 9．已知中，，则三边的比值为________ 【答案】 【分析】根据正弦定理核心变形，即可求解. 【详解】根据由正弦定理，，，， 故. 10．在中，，，，则的面积为________. 【答案】 【分析】根据三角形面积公式，即可求解. 【详解】记，，由面积公式得； 因，故. 11．在中，已知，，，求： （1）的弧度数； （2）的面积. 【答案】（1）；（2）. 【分析】根据正正弦定理变形应用、三角形内角和定理、三角形面积公式，即可求解. 【详解】（1）由正弦定理（其中，对应；，对应），代入已知条件： ；因，代入化简得： ；解得； 又因，根据 “大边对大角”，； 而时，可能为或，结合，故； （2）； ； 代入，，，： ； . 12. 在中，已知，，，求和的长. 【答案】，或，. 【分析】根据余弦定理综合应用，即可求解. 【详解】设，，（）， 由余弦定理： 又 ，平方得，减去上式：； 此时方程，因式分解为，解得或； 因此，，或，. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $