专题08 正弦型函数的图像和性质（讲义）- 重庆市2026年高职分类考试一轮复习《数学知识点清单》

编写说明：重庆市2026年高职分类考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及重庆历年高职分类真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含八个模块共12个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是重庆市2026年高职分类考试一轮复习《数学知识点清单》的《模块五 三角函数》的第8个专题：正弦型函数的图像与性质。本专题涵盖正弦型函数的图像、性质、变换等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 重庆市2026年高职分类考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题08 正弦型函数的图像和性质（讲义） 知识点1 正弦型函数的图像 用“五点作图法”：令分别取，求出对应的值，用描点法作函数图像。 知识点2 的主要性质 1、定义域：，即. 2、值域：. 3、周期：. 在物理学中： 周期（往复振动一次所需时间）； 振幅（振动时离开平衡位置的最大距离）； 频率（单位时间内往返振动的次数）； 相位：； 初相位：当时的相位. 知识点3 函数图像变换（） （1）先平移后伸缩 的图像的图像 的图像  的图像。 （2）先伸缩后平移 的图像 的图像  的图像 的图像。 知识点4 辅助角公式 函数可转化为，其中，. 1. （2017年 重庆对口高职考）函数的最小正周期为（ ） A.  B.  C.  D.  2.（2017年 重庆对口高职考）设函数的最小正周期为. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求函数的最大值及最大值点的取值集合. 3.（2021年 重庆对口高职考）设时，的取值范围为（ ） A.  B.  C.  D.  4.（2021年 重庆对口高职考）函数的最大值是（ ） A. 1 B.  C. 2 D.  5.（2025年 重庆对口高职考）已知函数，其中； （1）若，求 的值； （2）若的最小正周期为，求的值 1. 函数的最小正周期是（ ） A.    B.    C.    D.  2. 函数的图像是由的图像如何变换得到的（ ） A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 3．函数的值域是（ ） A.   B.    C.    D.  4．为了得到函数的图象，只需把函数的图象 （ ） A. 向左平移个单位 B. 向右平移 个单位 C. 向左平移 个单位 D. 向右平移 个单位 5. 函数的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 6．函数的最小正周期是（ ） A.   B.    C.    D.  7．若，则实数的值为（ ） A. 1  B.    C. 2  D.  8．函数的值域是（ ） A.    B.    C.    D.  9．函数的最小正周期为________ 10．将函数的图像向右平移个单位，得到的函数解析式为________. 11．函数的图像的一条对称轴方程为________（写出一个即可） 12. 函数在区间上的最小值为________. 13. 已知函数，完成下列问题： （1）求函数的最小正周期； （2）求函数在时的取值范围. 14. 如何将的图像变换为的图像（先伸缩后平移）？ 15. 已知，求： （1）函数的单调递减区间（）； （2）当时的零点. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：重庆市2026年高职分类考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及重庆历年高职分类真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含八个模块共12个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是重庆市2026年高职分类考试一轮复习《数学知识点清单》的《模块五 三角函数》的第8个专题：正弦型函数的图像与性质。本专题涵盖正弦型函数的图像、性质、变换等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 重庆市2026年高职分类考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题08 正弦型函数的图像和性质（讲义） 知识点1 正弦型函数的图像 用“五点作图法”：令分别取，求出对应的值，用描点法作函数图像。 知识点2 的主要性质 1、定义域：，即. 2、值域：. 3、周期：. 在物理学中： 周期（往复振动一次所需时间）； 振幅（振动时离开平衡位置的最大距离）； 频率（单位时间内往返振动的次数）； 相位：； 初相位：当时的相位. 知识点3 函数图像变换（） （1）先平移后伸缩 的图像的图像 的图像  的图像。 （2）先伸缩后平移 的图像 的图像  的图像 的图像。 知识点4 辅助角公式 函数可转化为，其中，. 1. （2017年 重庆对口高职考）函数的最小正周期为（ ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】根据二倍角公式、余弦函数的周期性，即可求解. 【详解】根据二倍角公式，即， 则； 根据余弦函数周期公式，这里，所以. 故选：B 2.（2017年 重庆对口高职考）设函数的最小正周期为. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求函数的最大值及最大值点的取值集合. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）、. 【分析】根据辅助角公式、正弦函数的周期性与最值，即可求解. 【详解】（Ⅰ）对化简，根据辅助角公式： ； 根据正弦函数周期公式，已知，则，解得； （Ⅱ）由（Ⅰ）知正弦函数的最大值为1，所以的最大值为； 当时，即，， 解这个方程： ，， ，； 所以最大值点的取值集合为. 3.（2021年 重庆对口高职考）设时，的取值范围为（ ） A.  B.  C.  D.  【答案】C. 【分析】根据二倍角公式、辅助角公式、正弦函数的单调性与值域，即可求解. 【详解】根据二倍角公式，可得； 又根据二倍角公式，可得； 将其代入可得： ； 根据辅助角公式得：； 所以； 已知，则，所以； 根据正弦函数的单调性，在上单调递增，在上单调递减； 当时，取得最大值1； 当时，； 当 时，； 所以； 因为， 所以当时，； 当时，； 所以， 即 的取值范围是. 故选：C. 4.（2021年 重庆对口高职考）函数的最大值是（ ） A. 1 B.  C. 2 D.  【答案】C. 【分析】根据辅助角公式、正弦函数的最大值，即可求解. 【详解】根据辅助角公式，（其中，即； 因为正弦函数的最大值为1，所以的最大值为. 故选：C. 5.（2025年 重庆对口高职考）已知函数，其中； （1）若，求 的值； （2）若的最小正周期为，求的值 【答案】（1）；（2）2 【分析】根据两角差的正弦公式、正弦函数的周期性、三角函数的诱导公式，即可求解. 【详解】（1）当时，函数； ； 将代入： 因为，所以； （2）对化简： ； 根据正弦函数的最小正周期公式（，）； 已知且，则，解得. 1. 函数的最小正周期是（ ） A.    B.    C.    D.  【答案】A 【分析】根据正弦型函数的周期性（重点是周期公式的直接应用），即可求解. 【详解】根据正弦型函数核心周期公式 —— 对于（），最小正周期\ ； 本题中函数的（，绝对值可省略），代入公式得. 故选：A. 2. 函数的图像是由的图像如何变换得到的（ ） A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 【答案】B 【分析】根据正弦型函数的图像平移变换（“左加右减” 规律在时的应用），即可求解. 【详解】对于正弦型函数图像平移遵循 “左加右减” 规律 —— 对自变量进行调整，“加” 对应向左平移，“减” 对应向右平移。 要从得到，需在后减去，符合 “右减” 规则，即向右平移个单位. 故选：B. 3．函数的值域是（ ） A.   B.    C.    D.  【答案】B 【分析】根据正弦型函数的值域（振幅A对值域的影响，以及正弦函数固有值域的应用），即可求解. 【详解】对于正弦型函数，A（振幅）决定值域范围，即值域为（A控制函数纵向伸缩幅度）；本题中，故函数值域为. 故选：B. 4．为了得到函数的图象，只需把函数的图象 （ ） A. 向左平移个单位 B. 向右平移 个单位 C. 向左平移 个单位 D. 向右平移 个单位 【答案】B 【分析】根据正弦型函数的图像平移变换（时，平移量需结合调整的方法），即可求解. 【详解】当时，图像平移需先将目标函数变形为 “” 的形式； 将变形为； 自变量减去了，根据 “左加右减” 规律，对应 “向右平移个单位”. 故选：B. 5. 函数的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 【答案】B 【分析】根据辅助角公式与正弦函数最值的结合，即可求解. 【详解】用辅助角公式化简函数：对于，、， ，函数可化为， 根据正弦函数性质，的最大值为1，因此该函数最大值为. 故选：B. 6．函数的最小正周期是（ ） A.   B.    C.    D.  【答案】B 【分析】根据辅助角公式与正弦型函数周期性的结合，即可求解. 【详解】用辅助角公式化简函数：、，，函数化为； 周期公式，本题中，因此周期. 故选：B. 7．若，则实数的值为（ ） A. 1  B.    C. 2  D.  【答案】A 【分析】根据辅助角公式的逆用，即可求解. 【详解】将右边用两角和的正弦公式展开：； 代入特殊角三角函数值：、，展开后得； 与左边对比系数，得. 故选：A. 8．函数的值域是（ ） A.    B.    C.    D.  【答案】A 【分析】根据辅助角公式与正弦型函数值域的结合，即可求解. 【详解】整理函数形式为辅助角公式标准式：，此时、； ，函数可化为； 根据正弦函数值域，可得，即函数值域为. 故选：A. 9．函数的最小正周期为________ 【答案】 【分析】根据正弦型函数的周期性，即可求解. 【详解】根据正弦型函数（）的周期公式， 本题中，代入得. 10．将函数的图像向右平移个单位，得到的函数解析式为________. 【答案】 【分析】根据正弦型函数的图像平移变换，即可求解. 【详解】根据 “左加右减” 规律，平移时需对进行调整； 向右平移个单位，将替换为，代入原函数得. 11．函数的图像的一条对称轴方程为________（写出一个即可）. 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据正弦型函数的对称性，即可求解. 【详解】正弦型函数的对称轴满足（）； 令，解得， . 12. 函数在区间上的最小值为________. 【答案】. 【分析】根据正弦型函数的最值，即可求解. 【详解】当时，； 正弦函数在的最小值为，故原函数最小值为. 13. 已知函数，完成下列问题： （1）求函数的最小正周期； （2）求函数在时的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【分析】根据正弦型函数的周期公式应用、指定区间内的值域，即可求解. 【详解】对由正弦型函数周期公式，，得； （2）当时，； 在此区间内取值为，故. 14. 如何将的图像变换为的图像（先伸缩后平移）？ 【答案】见详解. 【分析】根据正弦型函数图像变换（先伸缩后平移），即可求解. 【详解】横坐标变为原来的（纵不变），得； 向左平移个单位，得； 纵坐标变为原来的2倍（横不变），得. 15. 已知，求： （1）函数的单调递减区间（）； （2）当时的零点. 【答案】C. 【分析】根据正弦函数的单调性及函数值比较，即可求解. 【详解】（1）正弦函数的单调递减区间为（）； 令，则需满足； 解得：； 因此单调递减区间为（）； （2）零点即，因，故； 正弦函数零点满足（），即，解得； 结合筛选：时（在区间内），时（在区间内）； 时（超出区间，舍去）； 因此零点为和. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $