第七章 简单几何体（B卷·单元测试卷）-《同步单元AB卷》（《数学 基础模块下册》高教版2023修订版）

编写说明：本套【江西专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 基础模块（下册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第七章简单几何体的单元测试卷，主要考查简单几何体的定义与性质、表面积与体积、三视图等。 第七章 简单几何体 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、是非选择题：本大题共 10小题，每小题3分，共30分。对每小题的命题做出判断，正确或者错误。 1．若两个柱体的体积相等，则它们的表面积相等. (A B) 2．如果一个长方体的长、宽、高分别是6，5，3，则它的体积是30． (A B) 3．棱锥的高一定在棱锥的内部． (A B) 4．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥． (A B) 5．同一个圆柱底面之间的距离处处相等． (A B) 6．圆锥的底面周长为，高为，则圆锥的侧面积为 (A B) 7．若圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则该圆柱的全面积为 (A B) 8．若棱长为的正方体的8个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为． (A B) 9．正三棱锥的侧面与底面所成二面角等于60°，则其侧面积等于底面积的2倍． (A B) 10．棱柱的各个侧面都是平行四边形． (A B) 二、单项选择题：本大题共 8小题，每小题 5 分，共 40分。 11．三棱锥的底面为直角边长分别是2和3的直角三角形，高为4，则该三棱锥的体积为（   ） A．4 B．6 C．12 D．24 12．下列命题正确的是（    ） A．有两个侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱 B．所有的侧面都是矩形的棱柱是直棱柱 C．棱柱的侧棱一定与底面垂直 D．底面是正方形的棱柱是正棱柱 13．设是长方体的一条棱，则长方体中与平行的棱有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 14．用一个宽2、长3的矩形卷一个圆柱，则此圆柱的侧面积为（    ） A．5 B．6 C．8 D．12 15．将半径为2、高为1的实心圆锥体熔成一个球，则该球的表面积为（   ） A． B． C． D． 16．已知四面体的各棱长均为，则该四面体的表面积为（ ） A． B． C． D． 17．下列如图放置的几何体中，俯视图一定为正方形的是（   ） A．正方体 B．三棱锥 C．四棱锥 D．三棱柱 18．如图，在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（ ） A． B． C． D． 三、填空题：本大题共6小题，每小题 5分，共30分。 19．圆柱的底面半径为1，高为1，则圆柱的侧面积为 ，体积为 ． 20．如图，正方形OABC的边长为，它是一个水平放置的平面图形的直观图，则原图形的周长是 cm．    21．棱长为2的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积等于 ． 22．已知圆锥的底面半径为4，轴截面的顶角为，则圆锥的侧面积为 . 23．一个几何体的三视图如图，根据图示的数据计算该几何体的表面积为 （结果保留π）. 24．正四棱锥体积为12，底面对角线的长为，则侧面与底面所成的二面角为 . 四、解答题：本大题共 6 小题，25-28每题8分，29-30每题9分，共 50分。解答应写出过程步骤。 25．一长方体的长为，宽为，高为，试画出长方体的直观图． 26．由如图所示几何体的三视图画出直观图. 27．圆锥的底面半径为3，母线长为5， (1)求圆锥的表面积；（参考公式：扇形的半径，弧长，面积） (2)求圆锥的体积． 28．如图，一个圆柱形的纸篓（有底无盖），它的母线长为，底面的半径长为.    (1)求纸篓的容积； (2)现有制作这种纸篓的塑料制品，请问最多可以做这种纸篓多少个？（假设塑料制品没有浪费）. 29．已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面圆都在同一个球面上，若圆锥的底面积是这个球表面积的，则这两个圆锥中，体积较小者与体积较大者的高的比值为多少？ 30．正四棱锥的底面边长为，高，求四棱锥的 (1)侧棱长 (2)侧面积 (3)表面积 (4)体积 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套【江西专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 基础模块（下册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第七章简单几何体的单元测试卷，主要考查简单几何体的定义与性质、表面积与体积、三视图等。 第七章 简单几何体 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、是非选择题：本大题共 10小题，每小题3分，共30分。对每小题的命题做出判断，正确或者错误。 1．若两个柱体的体积相等，则它们的表面积相等. (A B) 【答案】B 【分析】举例两个体积相等的柱体，求出它们的表面积不相等即可判断. 【详解】两个柱体的体积相等，它们的表面积不一定相等， 如一圆柱底面半径为2，高为9，体积为，表面积为， 另一圆柱底面半径为3，高为4，体积为，表面积为， ， ，. 故答案为：B. 2．如果一个长方体的长、宽、高分别是6，5，3，则它的体积是30． (A B) 【答案】B 【分析】利用棱柱体积公式可求. 【详解】一个长方体的长、宽、高分别是6，5，3， 则它的体积是； 故答案为：B. 3．棱锥的高一定在棱锥的内部． (A B) 【答案】B 【分析】根据棱锥的定义分析即可. 【详解】当棱锥顶点在底面上的射影在底面多边形外时， 高在棱锥的外部． 故答案为:B. 4．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥． (A B) 【答案】A 【分析】根据四棱锥的定义分析即可. 【详解】棱锥的所有侧面均为交于一点的三角形，底面为多边形， 所以有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥. 故答案为:A. 5．同一个圆柱底面之间的距离处处相等． (A B) 【答案】A 【分析】根据圆柱的特征分析即可. 【详解】根据圆柱的特征，圆柱的上下面是完全相同的两个圆， 侧面是一个曲面，侧面沿高展开是长方形， 两个底面之间的距离叫做圆柱的高，圆柱的高处处相等. 故答案为:A. 6．圆锥的底面周长为，高为，则圆锥的侧面积为 (A B) 【答案】A 【分析】根据圆锥的侧面积公式计算即可. 【详解】因为圆锥的底面周长为，所以底面半径， 因为高为，所以母线， 所以. 故答案为：A. 7．若圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则该圆柱的全面积为 (A B) 【答案】A 【分析】根据圆柱的轴截面得到底面圆半径和高，再跟全面积公式求值即可判断. 【详解】已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形， 则圆柱的底面半径为，高为， 所以圆柱的全面积为， 故答案为：A. 8．若棱长为的正方体的8个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为． (A B) 【答案】A 【分析】根据正方体的棱长求出外接球的半径，再利用球的表面积公式即可得解. 【详解】因为棱长为的正方体的8个顶点都在同一球面上， 所以外接球的半径为， 所以该球的表面积为. 故答案为：A. 9．正三棱锥的侧面与底面所成二面角等于60°，则其侧面积等于底面积的2倍． (A B) 【答案】A 【分析】先由二面角求出正三棱锥的高和斜高，再求出正三棱锥的侧面积和底面积即可判断. 【详解】设正三棱锥的高为h，底面边长为a，底面为正三角形， 重心到任意一边的距离为， 因为正三棱锥的侧面与底面所成二面角等于60°， 所以. 正三棱锥的斜高为， 所以底面积为， 侧面积为， 所以. 故答案为：A. 10．棱柱的各个侧面都是平行四边形． (A B) 【答案】A 【分析】根据棱柱的定义即可得解. 【详解】棱柱是由两个面互相平行，其余各个面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的多面体， 所以棱柱的各个侧面都是平行四边形， 故答案为：A. 二、单项选择题：本大题共 8小题，每小题 5 分，共 40分。 11．三棱锥的底面为直角边长分别是2和3的直角三角形，高为4，则该三棱锥的体积为（   ） A．4 B．6 C．12 D．24 【答案】A 【分析】根据棱锥的体积公式求解即可； 【详解】因为三棱锥的底面为直角边长分别是2和3的直角三角形，高为4， 所以该三棱锥的体积为， 故选：A 12．下列命题正确的是（    ） A．有两个侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱 B．所有的侧面都是矩形的棱柱是直棱柱 C．棱柱的侧棱一定与底面垂直 D．底面是正方形的棱柱是正棱柱 【答案】B 【分析】根据直棱柱、正棱柱的定义即可求解. 【详解】对A，有两个相邻侧面与底面垂直的棱柱才是直棱柱. 所以A错误. 对B，由直棱柱的定义可得，所有的侧面都是矩形的棱柱是直棱柱. 所以B正确. 对C，斜棱柱的侧棱不与底面垂直.所以C错误. 对D，底面是正方形的直棱柱才是正棱柱.所以D错误. 故选：B 13．设是长方体的一条棱，则长方体中与平行的棱有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】根据长方体的结构特征判断各棱与的位置关系. 【详解】如图，长方体中，显然有． 与均相交，不平行. 与既不相交，也不平行. ∴与平行的棱有，共3条． 故选：C. 14．用一个宽2、长3的矩形卷一个圆柱，则此圆柱的侧面积为（    ） A．5 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】利用矩形卷成的圆柱，其展开面积的结构特征即可得解. 【详解】因为矩形卷成的圆柱的侧面积，与矩形的面积一样， 所以其侧面积. 故选：B. 15．将半径为2、高为1的实心圆锥体熔成一个球，则该球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意结合圆锥与球的体积公式求出球的半径，代入球的表面积公式即可得解. 【详解】由题意知，圆锥的体积等于球的体积， 设球的半径为，则，解得， 故球的表面积为， 故选：A． 16．已知四面体的各棱长均为，则该四面体的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由四面体的各棱长均为，可知四面体的四个面都是等边三角形，利用三角形的面积公式计算即可. 【详解】因为四面体的各棱长均为， 所以四面体的四个面都是等边三角形， 所以该四面体的表面积为. 故选：D 17．下列如图放置的几何体中，俯视图一定为正方形的是（   ） A．正方体 B．三棱锥 C．四棱锥 D．三棱柱 【答案】A 【分析】根据几何体的三视图，逐一分析即可. 【详解】对于选项A：正方体的俯视图一定为正方形；故A正确； 对于选项B：三棱锥的俯视图可能为三角形或四边形，故B错误； 对于选项C：四棱锥的俯视图可能为四边形或者五边形，故C错误； 对于选项D：三棱柱的俯视图为三角形，故D错误. 故选：A. 18．如图，在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三棱柱的几何特征可知，向量不共面，再由向量加减法表示出与，然后由可得出，即可得出与所成角的大小. 【详解】在正三棱柱中，向量不共面， 且，则，， 因为，令，则， 而，， 于是得 ，因此，， 所以与所成角的大小为， 故选：B. 三、填空题：本大题共6小题，每小题 5分，共30分。 19．圆柱的底面半径为1，高为1，则圆柱的侧面积为 ，体积为 ． 【答案】 【分析】根据圆柱的侧面积公式与体积公式求解即可. 【详解】圆柱的底面半径，高， ；. 故答案为：；. 20．如图，正方形OABC的边长为，它是一个水平放置的平面图形的直观图，则原图形的周长是 cm．    【答案】8 【分析】利用斜二测画法的规则将原图像画出来，进而去确定原图像的周长. 【详解】由直观图还原可得原图形为如图所示的平行四边形OABC，      其中，，， ∴， ∴原图形的周长为． 故答案为：8. 21．棱长为2的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积等于 ． 【答案】 【分析】根据外接圆的性质确定球的半径，进而求解球的表面积. 【详解】由棱长为2的正方体的顶点都在同一个球面上， 设球的半径为R，由题意得，解得. ∴ 故答案为：. 22．已知圆锥的底面半径为4，轴截面的顶角为，则圆锥的侧面积为 . 【答案】 【分析】根据圆锥的轴截面顶角为，得到圆锥轴截面为等边三角形，计算母线的长度，再求圆锥的侧面积. 【详解】因为轴截面的顶角为，故轴截面为等边三角形， 而圆锥的底面半径为，所以母线， 圆锥的侧面积. 故答案为：. 23．一个几何体的三视图如图，根据图示的数据计算该几何体的表面积为 （结果保留π）. 【答案】 【分析】根据题意，结合几何体的三视图，可求得圆锥的高和底面半径，继而求得母线长，结合圆锥的表面积公式，代入即可求解. 【详解】由三视图可知，该几何体是圆锥，且高为4，底面圆的直径为6， 所以底面半径为， 所以母线为， 所以表面积. 故答案为：. 24．正四棱锥体积为12，底面对角线的长为，则侧面与底面所成的二面角为 . 【答案】 【分析】由锥体的体积公式求出正四棱锥的高，再由二面角的定义即可求解. 【详解】设正四棱锥的底面中心为，底面边长为， ∵底面对角线的长为，∴，即， ∵正四棱锥体积为12，高为， ∴，解得， 取边中点M，连接， 则， 可得为侧面与底面所成的二面角， ∴， ∵，∴． 于是得侧面与底面所成的二面角为． 故答案为：． 四、解答题：本大题共 6 小题，25-28每题8分，29-30每题9分，共 50分。解答应写出过程步骤。 25．一长方体的长为，宽为，高为，试画出长方体的直观图． 【答案】作图见解析 【分析】由直观图的画法即可得解. 【详解】（1）画长方体的底面的直观图，即画水平放置的边长为，宽为的矩形的直观图． 作，在轴正向取，在轴正向取， 分别过点作轴和轴的平行线，两线交于点， 则平行四边形即为矩形的直观图． （2）过四点向上分别作、的垂线， 取过点的垂线所在的直线为轴，在垂线上分别截取． （3）连接，擦去坐标轴， 并将被遮挡住的线段画成虚线，可得长方体的直观图．    26．由如图所示几何体的三视图画出直观图. 【答案】答案见解析 【分析】根据题意，结合几何体的三视图，即可求解. 【详解】由题意，该几何体为三棱柱，直观图如图所示： 27．圆锥的底面半径为3，母线长为5， (1)求圆锥的表面积；（参考公式：扇形的半径，弧长，面积） (2)求圆锥的体积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先求得侧面积和底面积，然后计算其表面积即可； （2）首先求得圆锥的高，然后计算其体积即可． 【详解】（1）已知圆锥的底面半径为3，母线长为5， 圆锥的侧面积为， 底面积为， 则其表面积为 （2）已知圆锥的底面半径为3，母线长为5， 则圆锥的高， 所有其体积． 28．如图，一个圆柱形的纸篓（有底无盖），它的母线长为，底面的半径长为.    (1)求纸篓的容积； (2)现有制作这种纸篓的塑料制品，请问最多可以做这种纸篓多少个？（假设塑料制品没有浪费）. 【答案】(1) (2)353个 【分析】（1）根据圆柱的体积公式求解即可； （2）根据无盖的圆柱的表面积公式求出一个纸篓所需面积，再结合所有的塑料制品的面积求解即可. 【详解】（1）纸篓的容积为， （2）一个纸篓要用的塑料的面积为. 由，故最多可以做353个这样的纸篓. 29．已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面圆都在同一个球面上，若圆锥的底面积是这个球表面积的，则这两个圆锥中，体积较小者与体积较大者的高的比值为多少？ 【答案】． 【分析】过圆锥的底面圆心与球心的连线所在的直线作球的截面，再设球的半径为，圆锥底面半径为，再由球的表面积公式求出，再分别表示出体积较小者与体积较大者的高即可解答. 【详解】过圆锥的底面圆心与球心的连线所在的直线作球的截面，如图所示， 其中为小圆锥的高，为大圆锥的高， 设球的半径为，圆锥底面半径为． 由圆锥的底面积是这个球表面积的， 得，所以， 所以， 则，， 所以这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为． 30．正四棱锥的底面边长为，高，求四棱锥的 (1)侧棱长 (2)侧面积 (3)表面积 (4)体积 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据正四棱锥的几何特征，由底面边长求出底面对角线，再由勾股定理即可求出侧棱长. （2）根据勾股定理求出侧面三角形的高，再由三角形面积公式即可解答. （3）根据正四棱锥的表面积公式求值即可. （4）根据正四棱锥的体积公式求值即可. 【详解】（1）如图所示，正四棱锥的底面边长为， 则底面对角线长为， 则，且高， 所以在中，， 所以侧棱长为. （2）由（1）可知，侧棱长为. 如图所示，正四棱锥中，， 底面边长为，设为侧面的高， 则， 所以， 所以侧面积为. （3）由（2）可知，侧面积为， 则表面积为. （4）正四棱锥的底面边长为，高， 则正四棱锥的体积为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $