21.3 实际问题与一元二次方程——传播问题 课件 2025-2026学年人教版九年级数学上册

R·九年级上册 21.3 实际问题与一元二次方程 ——传播问题 第二十一章 一元二次方程 学习目标 1. 会分析实际问题（传播问题）中的数量关系并会列一元二次方程；（重点） 2. 正确分析问题（传播问题）中的数量关系；（难点） 3. 会找出实际问题（传播问题）中的等量关系并建模解决问题. 新课导入 新知探究 问题1：在制作视频后的第一时间就分享给我的朋友，如果每轮分享中平均每人分享给3个人，那么2轮后有多少人看到了这个视频？ 分享源 新增分享人数 本轮结束后 总人数 第一轮 第二轮 ... ... 1 4 4×3=12 4+12=16 1+3=4 1×3=3 类型一 注意：第二轮我仍要作为分享源继续分享 新知探究 问题2：如果每轮分享中平均每人分享给x个人，那么2轮后有多少人看到了这个视频？ 分享源 新增分享人数 本轮结束后 总人数 第一轮 第二轮 ... ... 1 1+x (1+x).x 1+x+(1+x).x 1+x x (1+x)2 思考：如果该视频传递到第3轮，请问第3轮后的总人数是多少？ 第n轮呢？ 信息传递问题： (1+x)n =b 其中x是平均每人传递的人数，n是传递轮数，b是n轮后共有的人数 新知探究 问题3：如果制作视频后的第一时间就分享给几个朋友，经过两轮分享后共有64个人看到了这个视频，请问每轮分享中平均每人分享给几个人？ 分享源 新增分享人数 本轮结束后 总人数 第一轮 第二轮 ... ... 1 1+x (1+x).x 1+x x (1+x)2 64 自主练习1（防疫小卫士）：2021年7月来，新冠病毒的变异毒株“德尔塔”病毒影响全国人民的生活，有研究表明，“德尔塔”病毒具有较强的传染性，当一个人感染了“德尔塔”病毒后，在没有防控的情况下，经过两轮传染后共有100人感染，那么，每轮传染中平均一个人传染了多少人呢？ 审清题意 设未知数 列方程 解方程 检验 找出已知量、未知量 解：设平均一个人感染了x个人． 依据题意得：（1+x）2=100. 解得：x1=9 答：平均一个人感染了9个人 作 答 x2=－11 （不合题意，舍去）. 类型二： 古人观庭院树木，察其生长之道，颇有哲理。一株嘉木，亭亭如盖，其生长有其定数。现有一树，其主干生出支干若干，每个支干又长出同样数目的小分支，若此树主干、支干、小分支的总数是21，每个支干长出多少小分支? 主干 支干 支干 …… 小分支 小分支 …… 小分支 小分支 …… …… x x 1 解：设每个支干长出 x 个小分支， 则 1 + x + x2 = 21， 即 x2 + x −20 = 0. 解得 x1 = 4， x2 = −5 (不合题意，舍去). 答：每个支干长出4 个小分支. 自主练习2（生长者）：有一根月季，它的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是 73，设每个支干长出 x 个小分支，根据题意可列方程为（ ） A. 1 + x + x(1 + x) = 73 B. 1 + x + x2 = 73 C. 1 + x2 = 73 D. (1 + x)2 = 73 B 植物分支问题：1+x+x2 =b 其中x是每条支干分支数，b是主干、支干、小分支的总数 交流讨论 在分析两类问题中的数量关系时它们有何区别？ 信息传递问题：每名知情者每轮都传播 植物分支问题：每个支干只分裂一次. 随堂训练 1.一种病毒每轮传播的人数为x，若某人被感染后，未经有效防护，经过两轮传播共感染了81人，则x为（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 2.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是31，每个支干长出的小分支数目为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 B B 3.2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若两人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有128人患新冠肺炎（假设每轮传染的人数相同）．求： (1)每轮传染中平均每个人传染了几个人？ (2)如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？ 解：（1）设每轮传染中平均每个人传染了x个人 依题意，得：2（1+x）2=128 解得：x1=7，x2=-9（不合题意，舍去） 答：每轮传染中平均每个人传染了7个人 （2）128×（1+7）=1024（人）． 答：按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有1024人患病． 课堂小结 传播问题 传染类 植物分支 (1+x)n =b x是平均每人传播的人数，n是传播轮数，b是n轮后共有的知情者 1+x+x2 =b 其中x是每条支干分支数，b是主干、支干、小分支的总数 课堂小结 我们收获的不仅是一个公式，更是一种指数思维。它让我们清晰地看到，无论是病毒、谣言还是正能量，微小的初始量在规律迭代下，都会产生巨大的影响。这正体现了数学‘道生一，一生二，二生三，三生万物’的哲学之美。最终，模型是工具，选择在我们手中。希望大家未来既能用数学的理性看清世界，更能用内心的善意，去成为美好事物的传播源，让我们的选择配得上数学赋予我们的力量。 Thank you! 19 $