1.4.1线段垂直平分线的性质 同步练习2025-2026学年苏科版八年级数学上册

1.4.1线段垂直平分线的性质 一、基础过关 1．如图，在中，垂直平分．若，，则的长是（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 2．如图，在中，，，的垂直平分线分别交、于D、E，则的周长为（   ）cm． A．8 B．2 C．4 D．1 3．在联欢晚会上，有、、三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在的（ ） A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边上高的交点 D．三条垂直平分线的交点 4．学习情境·问题讨论如图，直线l与线段交于点O，点P在直线l上，且．小明说：“直线l是的垂直平分线．”小亮说：“需再添加一个条件，小明的结论才正确．”下列判断错误的是（　　） A．小明说得不对 B．小亮说得对，可添条件为“” C．小亮说得对，可添条件为“” D．小亮说得对，可添条件为“平分” 5．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点作直线，交于点，交于点，连接，若，，，则的周长为（　） A． B． C． D． 6．命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆命题是 命题．（填“真”或“假”） 7．如图，垂直平分线段于点，垂直平分线段于点．若，则 ． 8．如图，线段AB的垂直平分线与BC的垂直平分线的交点P恰好在AC上，且AC=10cm，则B点到P点的距离为 ． 9．如图，中，，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在两侧相交于点、，作直线分别与、交于点，，连接，则 ． 10．如图，在中，，分别垂直平分边，，交于点，，如果，那么的周长为 ． 11．如图，在中，边上的垂直平分线交于点D，交于点E，，的周长为，则的长为 ．      12．如图，设三点表示三个村庄，为了解决村民子女就近入学问题，计划新建一所小学，要求三个村庄到学校的距离相等．请你通过尺规作图，在图中画出学校的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 13．如图，点E，F在BC上， ， ， ，AF与DE交于点G. （1）求证： . （2）请用无刻度的直尺画出BC的垂直平分线（保留画图痕迹）. 14．已知中，，线段的垂直平分线分别交、于点、，若的周长为，，求的周长. 15．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E． （1）若BC=8，则△ADE周长是多少？ （2）若∠BAC=118°，则∠DAE的度数是多少？ 16．在中，垂直平分，分别交、于点、，垂直平分，分别交，于点、． ⑴如图①，若，求的度数； ⑵如图②，若，求的度数； ⑶若，直接写出用表示大小的代数式． 二、能力提升 17．如图，在中，是的中线，是边的中垂线，且与相交于点，连接，，若四边形与四边形的面积分别为和，则的面积为（   ） A． B． C． D． 18．如图，线段AB、BC的垂直平分线、相交于点，若39°，则= ． 19．如图，在中，，的垂直平分线交于点，垂足是，是上一点，平分，于点． (1)试判断与是否相等，并说明理由． (2)求证：． 试卷第4页，共5页 试卷第1页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴， 故选：A． 2．A 【详解】解：∵的垂直平分线分别交、于D、E， ∴， ∵，， ∴的周长为； 故选A． 3．D 【详解】解：A、选项为三边中线的交点(重心) 重心的性质是到三角形顶点的距离与到对边中点的距离之比为，并非到三个顶点距离相等，无法保证游戏公平，此选项不符合题意； B、选项为三条角平分线的交点(内心) 内心的性质是到三角形三边的距离相等，而非到三个顶点距离相等，无法保证游戏公平，此选项不符合题意； C、选项为三边上高的交点(垂心) 垂心是三角形三条高的交点，无 “到三个顶点距离相等” 的性质，无法保证游戏公平，此选项不符合题意； D、选项为三条垂直平分线的交点(外心) 外心的性质是到三角形三个顶点的距离相等，此时凳子到 A、B、C 三名同学的距离相同，能保证游戏公平，此选项符合题意； 故选：D． 4．B 【详解】解：A、可添条件为才能说：直线l是的垂直平分线； B、添条件为，则， 不能证明； C、添条件为， 在和中， ， ， ， ， 直线l是的垂直平分线； D、添条件为平分， 在和中， ， ， ， ， 直线l是的垂直平分线； 故选：B． 5．C 【详解】解：由作图的过程可知，是的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴的周长． 故选：C． 6．真 【详解】解：命题“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”的逆命题是：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段垂直平分线上，它是真命题， 故答案为：真． 7．6 【详解】解：∵垂直平分线段于点，， ∴， ∵垂直平分线段于点， ∴， 故答案为：6． 8．5cm 【详解】试题分析：根据中垂线的性质可得点P为AC的中点，则BP为直角三角形斜边上的中线，即BP=10÷2=5cm． 考点：直角三角形的性质 9． 【详解】解：根据作图可得，垂直平分， ， ． 故答案为： 10．20 【详解】解：和分别为、的垂直平分线， ，， 的周长， 故答案为：． 11．/9厘米 【详解】解：∵是的垂直平分线，∴， ∴的周长， ∵，的周长为，∴， 解得， 故答案为：． 12．见解析 【详解】解：如图，点P就是学校的位置． ． 13．（1）见解析；（2）如图所示见解析. 【分析】（1）通过证明，利用等角对等边证明即可； （2）延长BA、CD交于点P，连接PG并延长，则直线PG即为所求. 【详解】 ， 在 和 中， （2）延长BA、CD交于点P，连接PG并延长，如图所示： 14． 【分析】由AB的垂直平分线MN交AC于D，可得AD=BD，继而可得△DBC的周长=AC+BC，则可求得答案． 【详解】∵AB的垂直平分线MN交AC于D， ∴AD=BD， ∵△DBC的周长是25cm，BC=10cm， ∴BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=25cm， ∴AC=15cm． ∴△ABC的周长=AB+AC+BC=15+15+10=40cm． 15．（1）8  （2）56° 【分析】（1）根据线段垂直平分线性质得出AD=BD，CE=AE，求出△ADE的周长=BC，即可得出答案； （2）由∠BAC=118°，即可得∠B+∠C=62°，又由DA=DB，EA=EC，即可求得∠DAE的度数． 【详解】（1）∵在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E， ∴AD=BD，AE=EC， ∵BC=8， ∴△ADE周长=AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC=8； （2）∵∠BAC=118°， ∴∠B+∠C=62°， ∵DA=DB，EA=EC， ∴∠BAD=∠B，∠EAC=∠C， ∴∠BAD+∠EAC=62°， ∠DAE= 16．（1）∠EAN=44°；（2）∠EAN=16°；（3）当0<α＜90°时，∠EAN=180°-2α；当α＞90°时，∠EAN=2α-180°． 【分析】(1)根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE=BE，再根据等边对等角可得∠BAE=∠B，同理可得，∠CAN=∠C，然后利用三角形的内角和定理求出∠B+∠C，再根据∠EAN=∠BAC-(∠BAE+∠CAN)代入数据进行计算即可得解； (2)同(1)的思路，最后根据∠EAN=∠BAE+∠CAN-∠BAC代入数据进行计算即可得解； (3)根据前两问的求解，分α＜90°与α＞90°两种情况解答． 【详解】(1)∵DE垂直平分AB， ∴AE=BE， ∴∠BAE=∠B， 同理可得：∠CAN=∠C， ∴∠EAN=∠BAC-∠BAE-∠CAN=∠BAC-(∠B+∠C)， 在△ABC中，∠B+∠C=180°-∠BAC=180°-112°=68°， ∴∠EAN=∠BAC-(∠BAE+∠CAN)=112°-68°=44°； (2)∵DE垂直平分AB， ∴AE=BE， ∴∠BAE=∠B， 同理可得：∠CAN=∠C， ∴∠EAN=∠BAE+∠CAN-∠BAC=(∠B+∠C)-∠BAC， 在△ABC中，∠B+∠C=180°-∠BAC=180°-82°=98°， ∴∠EAN=∠BAE+∠CAN-∠BAC=98°-82°=16°； (3)当0<α＜90°时， ∵DE垂直平分AB， ∴AE=BE， ∴∠BAE=∠B， 同理可得：∠CAN=∠C， ∴∠EAN=∠BAE+∠CAN-∠BAC=(∠B+∠C)-∠BAC， 在△ABC中，∠B+∠C=180°-∠BAC=180°-α， ∴∠EAN=∠BAE+∠CAN-∠BAC=180°-α-α=180°-2α； 当α＞90°时， ∵DE垂直平分AB， ∴AE=BE， ∴∠BAE=∠B， 同理可得：∠CAN=∠C， ∴∠EAN=∠BAC-∠BAE-∠CAN=∠BAC-(∠B+∠C)， 在△ABC中，∠B+∠C=180°-∠BAC=180°-α， ∴∠EAN=∠BAC-(∠BAE+∠CAN)=α-(180°-α)=2α-180°． 17．B 【分析】本题考查了三角形中线、垂直平分线的定义，由是的中线，是边的中垂线，则，，，由四边形与四边形的面积分别为和，可得，从而求出，即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是的中线，是边的中垂线， ∴，，， ∵四边形与四边形的面积分别为和， ∴， ∴， ∴， ∴，即的面积为， 故选：． 18．78 【分析】如图，利用线段垂直平分线的性质结合三角形外角性质得到∠AOC=∠2+∠3=2(∠A+∠C)，再利用垂直的定义结合三角形外角性质得到∠AOG =51-∠A，∠COF =51-∠C，利用平角的定义得到∠AOG+∠2+∠3+∠COF+∠1=180，计算即可求解． 【详解】如图，连接BO并延长， ∵、分别是线段AB、BC的垂直平分线， ∴OA=OB，OB=OC，∠ODG=∠OEF=90， ∴∠A=∠ABO，∠C=∠CBO， ∴∠2=2∠A，∠3=2∠C，∠OGD=∠OFE=90-39=51， ∴∠AOC=∠2+∠3=2(∠A+∠C)， ∵∠OGD=∠A+∠AOG，∠OFE=∠C+∠COF， ∴∠AOG =51-∠A，∠COF =51-∠C， 而∠AOG+∠2+∠3+∠COF+∠1=180， ∴51-∠A+2∠A+2∠C+51-∠C+39=180， ∴∠A+∠C=39， ∴∠AOC=2(∠A+∠C)=78， 故答案为：78． 19．(1)，理由见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线性质，全等三角形的性质和判定，角平分线的性质定理，主要考查学生的推理能力． （1）根据角平分线性质得出即可． （2）连接，推出，根据证出即可． 【详解】（1）解：， 理由是：∵平分， ∴． （2）证明：连接， ∵的垂直平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 答案第8页，共8页 答案第7页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $