第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 章节（15知识点回顾+36题型巩固）讲义-2025-2026学年沪科版八年级数学上册满分全攻略备考系列

该初中数学单元复习讲义围绕“三角形中的边角关系、命题与证明”构建了清晰的知识体系，通过表格归纳三边关系、内角和定理及其推论，用图形对比锐角、直角、钝角三角形的高线位置，借助思维导图梳理定义、命题、定理、证明之间的逻辑链条，突出三角形性质与推理能力的内在联系，帮助学生建立结构化认知。 讲义的亮点在于“问题驱动+方法提炼”的练习设计，如题型八利用平行线性质解决角度计算，体现数学思维的严谨性；题型三十五结合外角性质求解未知角，强化几何直观与逻辑推理能力。每类题型均配有典型例题解析和易错点提示，基础薄弱生可掌握基本模型，优等生能拓展综合应用。教师可据此精准定位学情，实施分层教学，学生亦能自主对照查漏补缺，提升复习效率。

第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 章节 （15知识点回顾+36题型巩固） 目录 知识梳理 1.三角形的相关元素 2.三角形按边分类 3.三角形的三边关系 4.三角形的内角和定理 5.三角形按角分类 6.三角形的高 7.三角形的角平分线 8.三角形的中线 9.定义 10.命题 11.命题的结构 12.互逆命题及反例 13.定理与证明 14.三角形内角和定理及其推论1, 2 15.三角形内角和定理的推论3，4(三角形外角的性质) 题型巩固 一、三角形的识别与有关概念 二、三角形的个数问题 三、三角形的分类 四、等腰三角形的定义 五、构成三角形的条件 六、确定第三边的取值范围 七、三角形三边关系的应用 八、与平行线有关的三角形内角和问题 九、与角平分线有关的三角形内角和问题 十、三角形折叠中的角度问题 十一、三角形内角和定理的应用 十二、画三角形的高 十三、与三角形的高有关的计算问题 十四、利用网格求三角形面积 十五、垂心 十六、三角形角平分线的定义 十七、根据三角形中线求长度 十八、根据三角形中线求面积 十九、重心的概念 二十、判断是否是命题 二十一、写出命题的题设与结论 二十二、判断命题真假 二十三、举例说明假（真）命题 二十四、写出命题的逆命题 二十五、举反例 二十六、定理与证明 二十七、代数问题证明 二十八、写出一个命题的已知、求证及证明过程 二十九、已知证明过程填写理论依据 三十、以几何为背景的推理与论证 三十一、以代数为背景的推理与论证 三十二、逻辑推理与论证 三十三、三角形内角和定理的证明 三十四、直角三角形的两个锐角互余 三十五、三角形的外角的定义及性质 知识梳理 知识点1.三角形的相关元素 1. 三角形的定义 由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的封闭图形叫作三角形. 特别解读 1.三角形的“三要素”： (1)三条线段； (2)三个顶点不在同一条直线上； (3)三条线段首尾依次相接. 三角形的表示：用符号“△”表示三角形，如图13.1.1-1，顶点为A，B，C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”.字母的顺序可以自由安排 2. 三角形的“三元素” (1)顶点：三角形相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点. 如图13.1.1-1，点A，B，C是△ABC的三个顶点. (2)边：组成三角形的线段叫作三角形的边. 如图13 .1.1-1，线段AB，BC，AC是△ABC的三条边. 2.三角形的边是线段，既可用两个顶点的大写字母表示，也可用边所对的顶点的小写字母表示，如在△ ABC中，顶点A所对的边BC可用a表示. (3)内角：在三角形中，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角. 如图13 .1.1-1，∠A，∠B，∠C是△ABC的三个角. 知识点2.三角形按边分类 1. 不等边三角形  三角形中，三条边互不相等的三角形叫作不等边三角形 . 2. 等腰三角形  三角形中，有两条边相等的三角形叫作等腰三角形 . 其中相等的两边叫作腰，剩余的一边叫作底边 . 两腰的夹角叫作顶角，腰与底边的夹角叫作底角 . 3. 等边三角形  三角形中，三条边都相等的三角形叫作等边三角形，又叫作正三角形 . 4.三角形按边长关系分类 用图形表示如图 13.1.1-3. 知识点3.三角形的三边关系 三角形的三边关系 文字语言 数学语言 理论依据 图形 三角形中任何两边的和大于第三边 两点之间 线段最短 三角形中任何两边的差小于第三边 知识点4.三角形的内角和定理 1. 定理 三角形的内角和等于180°. 几何语言：在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°. 2. 说明三角形的内角和定理的思路 我们用折叠(图13.1.2-1)、剪拼(图13.1.2-2)的方法，将三角形的三个角拼在一起，得到三角形的内角和，这体现了数学中的转化思想. 知识点5.三角形按角分类 1. 各类三角形的概念 (1) 锐角三角形：三角形中，三个角都是锐角的三角形叫作锐角三角形. (2) 直角三角形：三角形中，有一个角是直角的三角形叫作直角三角形. (3) 钝角三角形：三角形中，有一个角是钝角的三角形叫作钝角三角形. 2. 直角三角形的表示 直角三角形中夹直角的两边叫做直角边，直角相对的边叫做斜边，直角三角形ABC可以写成“Rt△ABC”，如图13.1.2-3所示. 3. 三角形按角的大小分类 知识点6.三角形的高 1. 三角形的高的定义、性质和判定 定义 从三角形的一个顶点到它对边所在直线的垂线段叫作三角形的高线，也叫作三角形的高 图形 性质 因为AD是△ABC的边BC上的高(已知)， 所以AD⊥BC于点D(或∠ADB＝∠ADC＝90°) 判定 因为AD⊥BC于点D(或∠ADB＝∠ADC＝90°) (已知)， 所以线段AD是△ABC的边BC上的高(高的定义) 2. 三角形三条高的位置 高的位置 所在直线交点位置 锐角三角形 三条高都在三角形内部 三角形内一点 直角三角形 一条高在三角形内部，两条高恰好是直角边 直角顶点 钝角三角形 一条高在三角形内部，两条高在三角形外部 三角形外一点 知识点7.三角形的角平分线 定义 三角形中，一个角的平分线与这个角对边相交，顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线. 知识点8.三角形的中线 1. 定义 三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫作三角形的中线. 几何语言：如图13.1.3 -5， (1)AD是△ABC中BC边上的中线； (2)D是BC边的中点； (3)BD＝DC，BD＝BC，DC＝BC(或BD＝DC＝BC). 2. 三角形的重心 三角形的三条中线相交于一点，这个交点就是三角形的重心(如图13.1.3 - 6中的点O).重心在三角形内部. 知识点9.定义 定义  能明确界定某个对象含义的语句叫作定义 . 示例 等腰三角形的定义 三角形中，有两条边相等的三角形叫作等腰三角形 . 明确界定等腰三角形的特征，与不等边三角形有本质区别. 知识点10.命题 1. 命题的定义 可以判断正确或不正确的陈述语句叫作命题 . 特别解读： (1)命题必须是一个完整的句子，不能是一个词语； (2)命题必须具有“判断”作用，要对事件作出肯定或否定的判断，故命题不能是祈使句或疑问句 . 2. 命题的种类 (1)真命题：经判断是正确的命题我们称之为真命题. (2)假命题：经判断是错误的命题我们称之为假命题. 知识点11.命题的结构 1. 命题的构成 命题通常由条件和结论两部分组成，常写成“如果……那么……”的形式. 其中 “如果”引出的部分是命题的条件(或题设)， “那么”引出的部分是命题的结论(或题断). 有时为了叙述简便，也可以省略关联词“如果”和“那么”. 2. 命题的一般形式 “如果p，那么q”，或者说成“若p，则q”，其中p是这个命题的条件(或题设)，q是这个命题的结论(或题断). 知识点12.互逆命题及反例 1. 互逆命题 将命题“如果p，那么q”中的条件与结论互换，便得到一个新命题“如果q，那么p”，我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫作原命题，另一个就叫作原命题的逆命题. 特别提醒： (1)“条件、结论正好相反”是指：第一个命题的条件是第二个命题的结论，第一个命题的结论是第二个命题的条件. (2)“互逆命题”是说明两个命题之间的关系，两个命题的地位可以互换，可以规定其中任何一个为原命题，另一个为逆命题. (3)写一个命题的逆命题的关键是分清它的条件和结论，把条件和结论互换，并用通顺的语句将它们连接起来即可得到它的逆命题. 2. 反例 符合命题的条件，但不满足命题结论的例子，我们称之为反例. 知识点13.定理与证明 1. 基本事实 人们在长期实践中总结出来，不需要推理证明的真命题. 基本事实可以作为判断其他命题真假的依据，所有推理的原始共同出发点是一些定义和基本事实. 2. 定理 有些命题，是从基本事实或其他真命题出发，用推理方法判断为正确的，并被选作判断命题真假的依据. 这样的真命题叫作定理. 3.演绎推理 从已知条件出发，依据定义、基本事实、定理，并按照逻辑规则，推导出结论，这一方法称为演绎推理(或演绎法). 4.证明 演绎推理的过程，就是演绎证明. 5. 证明的一般步骤 (1)审题，分清命题的条件和结论； (2)画图，结合图形写出已知和求证； (3)分析因果关系，找出证明途径； (4)有条理地写出证明过程. 知识点14.三角形内角和定理及其推论1, 2 1. 定理 三角形的内角和等于180°. 几何语言：在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°. 2. 三角形内角和定理的证明 证明方法 图示 证明过程 方法一 如图，过点A作∥BC，则∠2＝∠B，∠3＝∠C. 因为∠1＋∠2＋∠3＝180°，所以∠1＋∠B＋∠C＝180°. 方法二 如图， 过点C作CD∥AB，则∠1＝∠A，∠2＝∠B. 因为∠1＋∠2＋∠ACB＝180°，所以∠A＋∠B＋∠ACB＝180°. 方法三 如图，过点D作DE∥AB，DF∥AC，则∠1＝∠C，∠2＝∠4，∠3＝∠B，∠A＝∠4. 所以∠2＝∠A. 因为∠1＋∠2＋∠3＝180°，所以∠A＋∠B＋∠C＝180°. 方法四 如图，过点C作CD∥AB，则∠1＝∠A，∠B＋∠BCD＝180°，所以∠A＋∠B＋∠ACB＝180°. 方法五 如图， 过点A作直线AD，过点B作BE∥AD，过点C作∥ AD，则∥BE，所以∠ 1＝∠2，∠3＝∠4，∠DAB＋∠ABE＝180°，所以∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝180°. 总结 借助平行线，转移内角，形成平角(180°)或同旁内角(和为180°). 3. 辅助线 在证明的过程中，为了证明的需要，在原来图形上添画的线叫作辅助线. 4. 推论1 直角三角形的两锐角互余.由基本事实、定理直接 得出的真命题叫作推论. 几何语言：在△ABC中，∵∠C＝90°， ∴∠A＋∠B＝90°. 5. 推论2 有两个角互余的三角形是直角三角形. 几何语言：在△ABC中，∵∠A＋∠B＝90°， ∴∠C＝9 0°，即△ABC为直角三角形. 知识点15.三角形内角和定理的推论3，4(三角形外角的性质) 1. 外角的定义 由三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角. 判断一个角是不是三角形的外角的三个条件： (1)顶点在三角形的一个内角的顶点上； (2)一边是三角形这个内角的一条边； (3)另一边是三角形这个内角的另一条边的延长线. 2. 推论3 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 常见应用： (1)已知一个外角及与它不相邻的两个内角中的一个，求另一个内角； (2)证明一个角等于另两个角的和或差； (3)作为中间关系式证明两个角相等. 3.推论4 三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角. 三角形外角的性质 图形 几何语言 ∠ACD = ∠A+∠B 外角 与∠ABC吧相邻的两个内角 ∠ACD＞∠A, ∠ACD＞∠B 题型巩固 题型一、三角形的识别与有关概念 1．（22-23八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，在中，是边上的点，是边上的点，且，，若的面积为，则的面积为 ．      题型二、三角形的个数问题 2．（23-24八年级上·安徽阜阳·期中）如图，以为边的三角形的个数是 ． 题型三、三角形的分类 3．若△ABC的边长分别为a，b，c，且（a＋b－c）（a－c）＝0，则△ABC一定是（    ） A．等腰直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形 题型四、等腰三角形的定义 4．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 题型五、构成三角形的条件 5．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）以三个连续的偶数为三角形的三条边长，构不成三角形的是（    ） A．4，6，8 B．8，10，12 C．18，20，22 D．2，4，6 题型六、确定第三边的取值范围 6．在△ABC中，AB﹦11，AC﹦2，并且BC为奇数，那么△ABC的周长为多少. 题型七、三角形三边关系的应用 7．（24-25八年级上·安徽六安·期末）已知的三边长分别为，，． (1)化简：． (2)若，，且三角形的周长为偶数，求的值． 题型八、与平行线有关的三角形内角和问题 8．如图，在中，是边上的高，， ，， 求的度数． 题型九、与角平分线有关的三角形内角和问题 9．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，是高，，是角平分线，和交于点O，，． (1)请直接写出的度数为______． (2)请你试着求出的度数． 题型十、三角形折叠中的角度问题 10．如图，将三角形纸片的一个角折叠，折痕为，若． （1）求的度数； （2）求的度数．    题型十一、三角形内角和定理的应用 11．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）在中，交线段于D，，，则 度． 题型十二、画三角形的高 13．（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）在下列各图形中，线段是的边上高的是（    ） A． B． C． D． 题型十三、与三角形的高有关的计算问题 14．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，交的延长线于点，，则的长是（   ） A．12 B．11 C．10 D．9 15．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，，求四边形的面积． 题型十四、利用网格求三角形面积 16．（2025八年级上·全国·专题练习）已知的三个顶点的坐标分别为，求的面积． 题型十五、垂心 17．如图，在中，，，垂足分别为，，与交于点，连接并延长交于点若，，，则（  ）    A． B． C． D． 题型十六、三角形角平分线的定义 18．如图，在三角形ABC中，∠B=40°，∠C=70°，∠A的平分线与BC边的垂线EF交于点E，AD是BC边上的高，则∠E=　　　　 度． A．15° B．20° C．10° D．12° 题型十七、根据三角形中线求长度 19．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，的周长为32，，边上的中线，的周长为23，求边的长． 题型十八、根据三角形中线求面积 20．（24-25八年级上·安徽六安·期末）如图，在中，G是边上任意一点，D、E、F分别是、、的中点，，则的值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 题型十九、重心的概念 21．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点、、、、、、在小正方形的顶点上，则的重心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 题型二十、判断是否是命题 22．（22-23八年级上·安徽合肥·阶段练习）下列语句属于命题的是（    ） A．你今天打卡了吗？ B．请戴好口罩！ C．画出两条相等的线段 D．同位角相等 题型二十一、写出命题的题设与结论 23．（24-25八年级上·安徽六安·期中）把命题“同旁内角互补，两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式为：如果 ，那么 ． 题型二十二、判断命题真假 24．下列命题是真命题的是（    ） A．经过一点一定有一条直线与已知直线平行 B．如果两条直线被第三条直线所截，那么截得的同旁内角互补 C．三角形的三条高交于一点 D．在三角形的三个外角中至少有两个钝角 题型二十三、举例说明假（真）命题 25．对于命题“如果∠1＋∠2＝180°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的例子是(　　) A．∠1＝100°，∠2＝80° B．∠1＝50°，∠2＝50° C．∠1＝∠2＝90° D．∠1＝80°，∠2＝80° 题型二十四、写出命题的逆命题 27．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）命题“如果，那么”的逆命题为 ． 题型二十五、举反例 28．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期中）对于命题“若，则”，能说明这个命题是假命题的反例是（    ） A． B． C． D． 题型二十六、定理与证明 29．（25-26八年级上·全国·课前预习）下面关于公理和定理的说法不正确的是（   ） A．公理和定理都是真命题 B．真命题可能是定理 C．公理就是定理，定理也是公理 D．公理的正确性不需证明，定理的正确性需证明 题型二十七、代数问题证明 30．（22-23八年级上·全国·课前预习）下列说法正确的是（      ） A．真命题都可以作为定理 B．公理不需要证明 C．定理必须要证明 D．证明只能根据定义、公理进行 题型二十八、写出一个命题的已知、求证及证明过程 31．证明：两条平行直线被第三条直线所截，一对同旁内角的平分线互相垂直. 已知: 求证： . 证明： 题型二十九、已知证明过程填写理论依据 32．老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程：    证明：如图，， ． ， ， ， 已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（    ） A．在同一平面内，若，且，则 B．在同一平面内，若，且，则 C．两直线平行，同位角不相等 D．两直线平行，同位角相等 题型三十、以几何为背景的推理与论证 33．字母a，b，c，d各代表正方形、线段、正三角形、圆四个图形中的一种，将它们两两组合，并用字母连接表示，如表是三种组合与连接的对应表，由此可推断图形的连接方式为 . 组合 连接 题型三十一、以代数为背景的推理与论证 34．（2025八年级上·全国·专题练习）布袋里有100个球，其中有红球28个，绿球20个，黄球12个，蓝球20个，白球10个，黑球10个，从袋中任意摸出球来，若要一次摸出至少15个同色的球，则需要从袋中摸出球至少（    ） A．85 个 B．75个 C．15 个 D．16 个 题型三十二、逻辑推理与论证 35．若n是整数，2n＋5(n是整数)是 ，2n－8是 ．(填“奇数”或“偶数”) 36．（24-25八年级上·全国·期末）六名运动员A，B，C，D，E，F比赛中国象棋，每两人赛一局．第一天A与B各赛了3局，D与C各赛了4局，E赛了2局，而且D和B，A和C之间都还没赛过，那么F已赛了多少局（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型三十三、三角形内角和定理的证明 37．在“三角形内角和”的探究中课本中给我们了这样一种折叠方法，把三角形按如图的虚线折叠，可以得到了三角形的内角和等于180°，请你根据折叠过程证明这个结论． 题型三十四、直角三角形的两个锐角互余 38．（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，平分，交于点E，于点D，，，求的度数． 题型三十五、三角形的外角的定义及性质 39．如图，若，则等于（　　） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 章节 （15知识点回顾+36题型巩固） 目录 知识梳理 1.三角形的相关元素 2.三角形按边分类 3.三角形的三边关系 4.三角形的内角和定理 5.三角形按角分类 6.三角形的高 7.三角形的角平分线 8.三角形的中线 9.定义 10.命题 11.命题的结构 12.互逆命题及反例 13.定理与证明 14.三角形内角和定理及其推论1, 2 15.三角形内角和定理的推论3，4(三角形外角的性质) 题型巩固 一、三角形的识别与有关概念 二、三角形的个数问题 三、三角形的分类 四、等腰三角形的定义 五、构成三角形的条件 六、确定第三边的取值范围 七、三角形三边关系的应用 八、与平行线有关的三角形内角和问题 九、与角平分线有关的三角形内角和问题 十、三角形折叠中的角度问题 十一、三角形内角和定理的应用 十二、画三角形的高 十三、与三角形的高有关的计算问题 十四、利用网格求三角形面积 十五、垂心 十六、三角形角平分线的定义 十七、根据三角形中线求长度 十八、根据三角形中线求面积 十九、重心的概念 二十、判断是否是命题 二十一、写出命题的题设与结论 二十二、判断命题真假 二十三、举例说明假（真）命题 二十四、写出命题的逆命题 二十五、举反例 二十六、定理与证明 二十七、代数问题证明 二十八、写出一个命题的已知、求证及证明过程 二十九、已知证明过程填写理论依据 三十、以几何为背景的推理与论证 三十一、以代数为背景的推理与论证 三十二、逻辑推理与论证 三十三、三角形内角和定理的证明 三十四、直角三角形的两个锐角互余 三十五、三角形的外角的定义及性质 知识梳理 知识点1.三角形的相关元素 1. 三角形的定义 由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的封闭图形叫作三角形. 特别解读 1.三角形的“三要素”： (1)三条线段； (2)三个顶点不在同一条直线上； (3)三条线段首尾依次相接. 三角形的表示：用符号“△”表示三角形，如图13.1.1-1，顶点为A，B，C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”.字母的顺序可以自由安排 2. 三角形的“三元素” (1)顶点：三角形相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点. 如图13.1.1-1，点A，B，C是△ABC的三个顶点. (2)边：组成三角形的线段叫作三角形的边. 如图13 .1.1-1，线段AB，BC，AC是△ABC的三条边. 2.三角形的边是线段，既可用两个顶点的大写字母表示，也可用边所对的顶点的小写字母表示，如在△ ABC中，顶点A所对的边BC可用a表示. (3)内角：在三角形中，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角. 如图13 .1.1-1，∠A，∠B，∠C是△ABC的三个角. 知识点2.三角形按边分类 1. 不等边三角形  三角形中，三条边互不相等的三角形叫作不等边三角形 . 2. 等腰三角形  三角形中，有两条边相等的三角形叫作等腰三角形 . 其中相等的两边叫作腰，剩余的一边叫作底边 . 两腰的夹角叫作顶角，腰与底边的夹角叫作底角 . 3. 等边三角形  三角形中，三条边都相等的三角形叫作等边三角形，又叫作正三角形 . 4.三角形按边长关系分类 用图形表示如图 13.1.1-3. 知识点3.三角形的三边关系 三角形的三边关系 文字语言 数学语言 理论依据 图形 三角形中任何两边的和大于第三边 两点之间 线段最短 三角形中任何两边的差小于第三边 知识点4.三角形的内角和定理 1. 定理 三角形的内角和等于180°. 几何语言：在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°. 2. 说明三角形的内角和定理的思路 我们用折叠(图13.1.2-1)、剪拼(图13.1.2-2)的方法，将三角形的三个角拼在一起，得到三角形的内角和，这体现了数学中的转化思想. 知识点5.三角形按角分类 1. 各类三角形的概念 (1) 锐角三角形：三角形中，三个角都是锐角的三角形叫作锐角三角形. (2) 直角三角形：三角形中，有一个角是直角的三角形叫作直角三角形. (3) 钝角三角形：三角形中，有一个角是钝角的三角形叫作钝角三角形. 2. 直角三角形的表示 直角三角形中夹直角的两边叫做直角边，直角相对的边叫做斜边，直角三角形ABC可以写成“Rt△ABC”，如图13.1.2-3所示. 3. 三角形按角的大小分类 知识点6.三角形的高 1. 三角形的高的定义、性质和判定 定义 从三角形的一个顶点到它对边所在直线的垂线段叫作三角形的高线，也叫作三角形的高 图形 性质 因为AD是△ABC的边BC上的高(已知)， 所以AD⊥BC于点D(或∠ADB＝∠ADC＝90°) 判定 因为AD⊥BC于点D(或∠ADB＝∠ADC＝90°) (已知)， 所以线段AD是△ABC的边BC上的高(高的定义) 2. 三角形三条高的位置 高的位置 所在直线交点位置 锐角三角形 三条高都在三角形内部 三角形内一点 直角三角形 一条高在三角形内部，两条高恰好是直角边 直角顶点 钝角三角形 一条高在三角形内部，两条高在三角形外部 三角形外一点 知识点7.三角形的角平分线 定义 三角形中，一个角的平分线与这个角对边相交，顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线. 知识点8.三角形的中线 1. 定义 三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫作三角形的中线. 几何语言：如图13.1.3 -5， (1)AD是△ABC中BC边上的中线； (2)D是BC边的中点； (3)BD＝DC，BD＝BC，DC＝BC(或BD＝DC＝BC). 2. 三角形的重心 三角形的三条中线相交于一点，这个交点就是三角形的重心(如图13.1.3 - 6中的点O).重心在三角形内部. 知识点9.定义 定义  能明确界定某个对象含义的语句叫作定义 . 示例 等腰三角形的定义 三角形中，有两条边相等的三角形叫作等腰三角形 . 明确界定等腰三角形的特征，与不等边三角形有本质区别. 知识点10.命题 1. 命题的定义 可以判断正确或不正确的陈述语句叫作命题 . 特别解读： (1)命题必须是一个完整的句子，不能是一个词语； (2)命题必须具有“判断”作用，要对事件作出肯定或否定的判断，故命题不能是祈使句或疑问句 . 2. 命题的种类 (1)真命题：经判断是正确的命题我们称之为真命题. (2)假命题：经判断是错误的命题我们称之为假命题. 知识点11.命题的结构 1. 命题的构成 命题通常由条件和结论两部分组成，常写成“如果……那么……”的形式. 其中 “如果”引出的部分是命题的条件(或题设)， “那么”引出的部分是命题的结论(或题断). 有时为了叙述简便，也可以省略关联词“如果”和“那么”. 2. 命题的一般形式 “如果p，那么q”，或者说成“若p，则q”，其中p是这个命题的条件(或题设)，q是这个命题的结论(或题断). 知识点12.互逆命题及反例 1. 互逆命题 将命题“如果p，那么q”中的条件与结论互换，便得到一个新命题“如果q，那么p”，我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫作原命题，另一个就叫作原命题的逆命题. 特别提醒： (1)“条件、结论正好相反”是指：第一个命题的条件是第二个命题的结论，第一个命题的结论是第二个命题的条件. (2)“互逆命题”是说明两个命题之间的关系，两个命题的地位可以互换，可以规定其中任何一个为原命题，另一个为逆命题. (3)写一个命题的逆命题的关键是分清它的条件和结论，把条件和结论互换，并用通顺的语句将它们连接起来即可得到它的逆命题. 2. 反例 符合命题的条件，但不满足命题结论的例子，我们称之为反例. 知识点13.定理与证明 1. 基本事实 人们在长期实践中总结出来，不需要推理证明的真命题. 基本事实可以作为判断其他命题真假的依据，所有推理的原始共同出发点是一些定义和基本事实. 2. 定理 有些命题，是从基本事实或其他真命题出发，用推理方法判断为正确的，并被选作判断命题真假的依据. 这样的真命题叫作定理. 3.演绎推理 从已知条件出发，依据定义、基本事实、定理，并按照逻辑规则，推导出结论，这一方法称为演绎推理(或演绎法). 4.证明 演绎推理的过程，就是演绎证明. 5. 证明的一般步骤 (1)审题，分清命题的条件和结论； (2)画图，结合图形写出已知和求证； (3)分析因果关系，找出证明途径； (4)有条理地写出证明过程. 知识点14.三角形内角和定理及其推论1, 2 1. 定理 三角形的内角和等于180°. 几何语言：在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°. 2. 三角形内角和定理的证明 证明方法 图示 证明过程 方法一 如图，过点A作∥BC，则∠2＝∠B，∠3＝∠C. 因为∠1＋∠2＋∠3＝180°，所以∠1＋∠B＋∠C＝180°. 方法二 如图， 过点C作CD∥AB，则∠1＝∠A，∠2＝∠B. 因为∠1＋∠2＋∠ACB＝180°，所以∠A＋∠B＋∠ACB＝180°. 方法三 如图，过点D作DE∥AB，DF∥AC，则∠1＝∠C，∠2＝∠4，∠3＝∠B，∠A＝∠4. 所以∠2＝∠A. 因为∠1＋∠2＋∠3＝180°，所以∠A＋∠B＋∠C＝180°. 方法四 如图，过点C作CD∥AB，则∠1＝∠A，∠B＋∠BCD＝180°，所以∠A＋∠B＋∠ACB＝180°. 方法五 如图， 过点A作直线AD，过点B作BE∥AD，过点C作∥ AD，则∥BE，所以∠ 1＝∠2，∠3＝∠4，∠DAB＋∠ABE＝180°，所以∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝180°. 总结 借助平行线，转移内角，形成平角(180°)或同旁内角(和为180°). 3. 辅助线 在证明的过程中，为了证明的需要，在原来图形上添画的线叫作辅助线. 4. 推论1 直角三角形的两锐角互余.由基本事实、定理直接 得出的真命题叫作推论. 几何语言：在△ABC中，∵∠C＝90°， ∴∠A＋∠B＝90°. 5. 推论2 有两个角互余的三角形是直角三角形. 几何语言：在△ABC中，∵∠A＋∠B＝90°， ∴∠C＝9 0°，即△ABC为直角三角形. 知识点15.三角形内角和定理的推论3，4(三角形外角的性质) 1. 外角的定义 由三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角. 判断一个角是不是三角形的外角的三个条件： (1)顶点在三角形的一个内角的顶点上； (2)一边是三角形这个内角的一条边； (3)另一边是三角形这个内角的另一条边的延长线. 2. 推论3 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 常见应用： (1)已知一个外角及与它不相邻的两个内角中的一个，求另一个内角； (2)证明一个角等于另两个角的和或差； (3)作为中间关系式证明两个角相等. 3.推论4 三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角. 三角形外角的性质 图形 几何语言 ∠ACD = ∠A+∠B 外角 与∠ABC吧相邻的两个内角 ∠ACD＞∠A, ∠ACD＞∠B 题型巩固 题型一、三角形的识别与有关概念 1．（22-23八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，在中，是边上的点，是边上的点，且，，若的面积为，则的面积为 ．      【答案】 【知识点】三角形的识别与有关概念 【分析】连接，把分成几个小三角形，再根据线段比，用，表示小三角形面积，由面积和即可求解． 【详解】如图，连接，令、、、的面积分别为、、、，    ∵，， ∴，，，， ∴，， 整理得：，， ∵，， 解得：，，，， ∴， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了三角形的面积，解题的关键是根据线段比，求出小三角形面积，充分运用数形结合的思想方法，从图形中寻找各三角形面积之间的关系． 题型二、三角形的个数问题 2．（23-24八年级上·安徽阜阳·期中）如图，以为边的三角形的个数是 ． 【答案】4 【知识点】三角形的个数问题 【分析】本题考查的是三角形的认识．根据三角形的概念、结合图形写出以为边的三角形． 【详解】解：以为边的三角形的有，一共有4个． 故答案为：4． 题型三、三角形的分类 3．若△ABC的边长分别为a，b，c，且（a＋b－c）（a－c）＝0，则△ABC一定是（    ） A．等腰直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形 【答案】C 【知识点】三角形的分类 【分析】根据题意得出，即可进行判断． 【详解】∵（a＋b－c）（a－c）＝0， ∴△ABC一定是等腰三角形 故选：C． 【点睛】本题主要考查三角形形状的判断，掌握等腰三角形的定义是解题的关键． 题型四、等腰三角形的定义 4．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【知识点】等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义以及直角三角形两锐角互余，进行分等腰三角形是锐角三角形与钝角三角形去分析求解即可求得答案是正确解答本题的关键． 【详解】解：①当为锐角三角形时，如图， 高与左边腰成夹角，由三角形内角和为可得，顶角为； ②当为钝角三角形时，如图， 此时垂足落到三角形外面，因为三角形内角和为，由图可以看出等腰三角形的顶角的补角为，所以三角形的顶角为． 故选D． 题型五、构成三角形的条件 5．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）以三个连续的偶数为三角形的三条边长，构不成三角形的是（    ） A．4，6，8 B．8，10，12 C．18，20，22 D．2，4，6 【答案】D 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题考查了三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，据此逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，能构成三角形，不符合题意； B、，能构成三角形，不符合题意； C、，能构成三角形，不符合题意； D、，不能构成三角形，符合题意； 故答案为：D． 题型六、确定第三边的取值范围 6．在△ABC中，AB﹦11，AC﹦2，并且BC为奇数，那么△ABC的周长为多少. 【答案】24. 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】根据三角形的三边关系，就可以求出BC的范围，再结合BC为奇数确定BC的值，从而得到△ABC的周长． 【详解】解：根据三角形三边关系有AB-AC＜BC＜AB+AC， 所以11-2＜BC＜11+2， 即9＜BC＜13． 又因为BC为奇数，所以BC﹦11． 所以△ABC的周长﹦11+11+2﹦24． 【点睛】考查了三角形的三边关系，同时注意奇数这一条件． 题型七、三角形三边关系的应用 7．（24-25八年级上·安徽六安·期末）已知的三边长分别为，，． (1)化简：． (2)若，，且三角形的周长为偶数，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形三边关系的应用 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边，两边差小于第三边是解答此题的关键． （1）利用三角形的三边关系得到，，，然后去绝对值符号后化简即可； （2）由，，三角形的周长为偶数，求解即可求得答案． 【详解】（1）解：由三角形三边关系可知： ，，， ∴原式； （2）∵，， ∴， ∵三角形得周长为偶数，为奇数， ∴； 题型八、与平行线有关的三角形内角和问题 8．如图，在中，是边上的高，， ，， 求的度数． 【答案】20° 【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题 【分析】利用平行线的性质定理可得∠ABC=∠ADE=45°，由三角形的内角和定理可得∠EBC的度数，可得∠ABE． 【详解】解：∵DE∥BC，∠ADE=45°， ∴∠ABC=∠ADE=45°， ∵BE是AC边上的高， ∴∠BEC=90°， ∵∠C=65°， ∴∠EBC=90-∠C=25°， ∴∠ABE=∠ABC-∠EBC=45°-25°=20°． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质定理和三角形的内角和定理，熟练掌握定理是解答此题的关键． 题型九、与角平分线有关的三角形内角和问题 9．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，是高，，是角平分线，和交于点O，，． (1)请直接写出的度数为______． (2)请你试着求出的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，三角形内角和． （1）由是角平分线得到，进而求出，根据是角平分线得到，求出，进而求出，即可求出的度数； （2）由（1）可知， 【详解】（1）解：∵，是角平分线， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵是角平分线， ∴ ∵ ∴ ∵是高， ∴ ∴ ∴ 故答案为： （2）解：由（1）可知， 题型十、三角形折叠中的角度问题 10．如图，将三角形纸片的一个角折叠，折痕为，若． （1）求的度数； （2）求的度数．    【答案】（1）70°；（2）70° 【知识点】三角形折叠中的角度问题 【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出∠C的度数，再根据∠CFE＝75°即可得出结论； （2）由折叠可得∠BFC=180°-2∠CFE，∠AEC=180°-2∠CEF，先求出∠CFE+∠CEF=145°，然后即可求出答案． 【详解】（1）解：∵△ABC中，∠A＝80°，∠B＝65°， ∴∠C＝180°−80°−65°＝35°， ∵△AEF中，∠C＝35°，∠CFE＝75°， ∴∠CEF＝180°−35°−75°＝70°； （2）由折叠可得∠BFC=180°-2∠CFE，∠AEC=180°-2∠CEF， ∵∠C+∠CFE+∠CEF=180°，∠C=35°， ∴∠CFE+∠CEF=145°， ∴∠AEC+∠BFC=180°-2∠CEF+180°-2∠CFE=360°-2（∠CEF+∠CFE）=70°． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键． 题型十一、三角形内角和定理的应用 11．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）在中，交线段于D，，，则 度． 【答案】79 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查求三角形内角和定理，根据求出，根据角的和差关系计算即可得答案． 【详解】解：如图所示： ∵交线段于D， ∴在的内部， 在中，，， ， ， ． 故答案为：． 题型十二、画三角形的高 13．（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）在下列各图形中，线段是的边上高的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】画三角形的高 【分析】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．根据三角形高的画法知，过点A作，垂足为D，其中线段是的高，再结合图形进行判断． 【详解】解：根据三角形高的画法知： A、线段是的边上高，故选项A不符合题意； B、线段是的边上高，故选项B符合题意； C、线段不是的边上高，故选项C不符合题意； D、线段是的边上高，故选项D不符合题意； 故选：B． 题型十三、与三角形的高有关的计算问题 14．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，交的延长线于点，，则的长是（   ） A．12 B．11 C．10 D．9 【答案】A 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查三角形面积公式的应用及等量关系的建立．解题关键在于利用同一三角形面积的不同表达方式建立关于未知边长的等式，从而求解．具体地，根据面积公式：，再代入已知值，即可求解． 【详解】解：，，， ， ， ， ． 故选：A． 15．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，，求四边形的面积． 【答案】 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查割补法求图形的面积，过点C作于点H，又，可得，根据该四边形的面积为求解即可． 【详解】解：如图，过点C作于点H，又． ∴,又， ∴四边形的面积为 ． 题型十四、利用网格求三角形面积 16．（2025八年级上·全国·专题练习）已知的三个顶点的坐标分别为，求的面积． 【答案】12.5 【知识点】坐标系中描点、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积，熟练掌握网格中三角形的面积的求解方法是解题的关键．利用所在的长方形的面积减去四周三个直角三角形的面积列式计算即可得解． 【详解】解：的面积 ． 题型十五、垂心 17．如图，在中，，，垂足分别为，，与交于点，连接并延长交于点若，，，则（  ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】垂心 【分析】根据题意可得，由三角形面积公式推出，由此即可得到答案． 【详解】解：∵，，与交于点， ∴（三角形三条高所在的直线交于一点）， ∵， ∵，，， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了三角形的性质，熟知三角形三条高所在的直线交于一点是解题的关键． 题型十六、三角形角平分线的定义 18．如图，在三角形ABC中，∠B=40°，∠C=70°，∠A的平分线与BC边的垂线EF交于点E，AD是BC边上的高，则∠E=　　　　 度． A．15° B．20° C．10° D．12° 【答案】A 【知识点】三角形角平分线的定义 【分析】利用，，和内角和为，求出 ，根据BC平分∠A，得，进一步可得，利用则有. 【详解】解：∵，， ∴ ， ∵BC平分∠BAC， ∴， 又∵ ， ∴， ∴， ∵ ， ， ∴ ∴ 故选A． 【点睛】此题考查了平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握相应的知识点． 题型十七、根据三角形中线求长度 19．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，的周长为32，，边上的中线，的周长为23，求边的长． 【答案】10 【知识点】加减消元法、根据三角形中线求长度 【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线，二元一次方程组的应用，设，，则，根据题意列方程，解方程即可． 【详解】解：根据题意设，，则， ∴，， 解得， ∴边的长为10． 题型十八、根据三角形中线求面积 20．（24-25八年级上·安徽六安·期末）如图，在中，G是边上任意一点，D、E、F分别是、、的中点，，则的值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等．根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答． 【详解】解：连接，如图所示： ∵点是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵点是的中点， ∴． 故选：A． 题型十九、重心的概念 21．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点、、、、、、在小正方形的顶点上，则的重心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【知识点】重心的概念 【分析】三角形三条中线的交点，叫做它的重心，据此解答即可． 【详解】根据题意可知，直线经过的边上的中点，直线经过的边上的中点，∴点是重心．故选A． 【点睛】本题考查三角形的重心的定义，解题的关键是熟记三角形的重心是三角形中线的交点． 题型二十、判断是否是命题 22．（22-23八年级上·安徽合肥·阶段练习）下列语句属于命题的是（    ） A．你今天打卡了吗？ B．请戴好口罩！ C．画出两条相等的线段 D．同位角相等 【答案】D 【知识点】判断是否是命题 【分析】根据命题的定义（判断一件事情的语句，叫做命题），逐项判断即可求解． 【详解】解：A． 你今天打卡了吗？没有作出判断，故该选项不是命题，不符合题意； B． 请戴好口罩！没有作出判断，故该选项不是命题，不符合题意； C． 画出两条相等的线段，没有作出判断，故该选项不是命题，不符合题意；     D． 同位角相等，作出判断，故该选项是命题，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式． 有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 题型二十一、写出命题的题设与结论 23．（24-25八年级上·安徽六安·期中）把命题“同旁内角互补，两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式为：如果 ，那么 ． 【答案】 同旁内角互补 两直线平行 【知识点】写出命题的题设与结论 【分析】本题考查了写出命题的题设与结论，如果后面是题设，那么后面是结论． 根据命题“同旁内角互补，两直线平行”的题设和结论进行分析，解答即可． 【详解】解：依题意，把命题“同旁内角互补，两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式为：如果同旁内角互补，那么两直线平行， 故答案为：同旁内角互补，两直线平行 题型二十二、判断命题真假 24．下列命题是真命题的是（    ） A．经过一点一定有一条直线与已知直线平行 B．如果两条直线被第三条直线所截，那么截得的同旁内角互补 C．三角形的三条高交于一点 D．在三角形的三个外角中至少有两个钝角 【答案】D 【知识点】判断命题真假 【分析】本题考查了平行公理、平行线性质、三角形的高及外角的性质。根据各选项的条件与结论逐一分析，结合相关定理判断其正确性。 【详解】解：A选项错误.平行公理指出：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，若该点在直线上，则无法作平行线，故A不成立. B选项错误．只有当两条直线平行时，被第三条直线所截的同旁内角才互补.若两直线不平行，同旁内角不满足互补关系，故B缺少前提条件． C选项错误．三角形的三条高所在的直线交于一点（垂心），但高作为线段，在钝角三角形中三条高线段不会在形内相交，故C表述不严谨，应为三条高所在直线交于一点． D选项正确．三角形至少有两个内角为锐角，其对应的外角为钝角，因此三个外角中至少有两个钝角，故D为真命题． 故选：D． 题型二十三、举例说明假（真）命题 25．对于命题“如果∠1＋∠2＝180°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的例子是(　　) A．∠1＝100°，∠2＝80° B．∠1＝50°，∠2＝50° C．∠1＝∠2＝90° D．∠1＝80°，∠2＝80° 【答案】C 【知识点】举例说明假（真）命题 【分析】能说明是假命题的反例就是能满足已知条件，但不满足结论的例子． 【详解】解：A，满足条件∠1+∠2=180°，也满足结论∠1≠∠2，故错误； B、不满足条件，也不满足结论，故错误； C、满足条件，不满足结论，故正确； D、不满足条件，也不满足结论，故错误． 故选C． 【点睛】此题考查的知识点是反证法，理解能说明它是假命题的反例的含义是解决本题的关键． 题型二十四、写出命题的逆命题 27．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）命题“如果，那么”的逆命题为 ． 【答案】如果，那么 【知识点】写出命题的逆命题 【分析】本题考查根据原命题写逆命题，熟练掌握逆命题与原命题的关系是解题的关键．将原命题的结论改为条件，条件改为结论即可得出逆命题． 【详解】解：“如果，那么”的逆命题为：如果，那么． 故答案为：如果，那么． 题型二十五、举反例 28．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期中）对于命题“若，则”，能说明这个命题是假命题的反例是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】举反例 【分析】本题考查了用举反例说明命题是假命题，要求举出的例子符合命题的条件，但不符合命题的结论；根据这一特点判断即可． 【详解】解：A、例子符合命题的条件，也符合命题的结论，故不是举反例； B、例子不符合命题的条件，也不符合命题的结论，故不是举反例； C、例子不符合命题的条件，但符合命题的结论，故不是举反例； D、例子符合命题的条件，但不符合命题的结论，故是举反例； 故选：D． 题型二十六、定理与证明 29．（25-26八年级上·全国·课前预习）下面关于公理和定理的说法不正确的是（   ） A．公理和定理都是真命题 B．真命题可能是定理 C．公理就是定理，定理也是公理 D．公理的正确性不需证明，定理的正确性需证明 【答案】C 【知识点】定理与证明 【分析】本题考查公理和定理，理解公理与定理的概念是解题的关键． 公理，也就是经过人们长期实践检验、不需要证明的客观规律或基本事实．定理：是用逻辑的方法判断为正确并作为推理的根据的真命题．从公理和定理的概念逐项判断即可． 【详解】解：A、公理和定理都是真命题，说法正确，故此选项不符合题意； B、真命题不一定是定理，但定理一定是真命题，所以真命题可能是定理，说法正确，故此选项不符合题意； C、公理是经过人们长期实践检验、不需要证明同时也无法去证明的客观规律．定理：是用逻辑的方法判断为正确并作为推理的根据的真命题．所以公理就是定理，定理也是公理，说法不正确，故此选项符合题意； D、公理的正确性不需证明，定理的正确性需证明，说法正确，故此选项不符合题意； 故选：C． 题型二十七、代数问题证明 30．（22-23八年级上·全国·课前预习）下列说法正确的是（      ） A．真命题都可以作为定理 B．公理不需要证明 C．定理必须要证明 D．证明只能根据定义、公理进行 【答案】B 【知识点】代数问题证明 【解析】略 题型二十八、写出一个命题的已知、求证及证明过程 31．证明：两条平行直线被第三条直线所截，一对同旁内角的平分线互相垂直. 已知: 求证： . 证明： 【答案】见解析. 【知识点】角平分线的有关计算、两直线平行同旁内角互补、三角形内角和定理的应用、写出一个命题的已知、求证及证明过程 【分析】根据题意画出图形，写出已知与求证，证明过程为：由AB与CD平行，利用两直线平行同旁内角互补得到∠BEF+∠EFD=180°，再由EG与FG为角平分线，利用角平分线定义及等量代换得到∠GEF+∠EFG=90°，根据三角形的内角和定理即可得∠EGF=90°，结论得证． 【详解】已知：直线AB∥CD，直接EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF，∠EFD的平分线交于G点. 求证：EG⊥FG 证明：∵AB∥CD， ∴∠BEF+∠EFD=180°， ∵EG平分∠BEF，FG平分∠EFD， ∴∠GEF=∠BEF，∠EFG=∠EFD， ∴∠GEF+∠EFG=∠BEF+∠EFD=×180°=90°， ∴∠EGF=180°-(∠GEF+∠EFG)=90°， ∴EG⊥FG 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识，平行线的性质是关键． 题型二十九、已知证明过程填写理论依据 32．老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程：    证明：如图，， ． ， ， ， 已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（    ） A．在同一平面内，若，且，则 B．在同一平面内，若，且，则 C．两直线平行，同位角不相等 D．两直线平行，同位角相等 【答案】A 【知识点】已知证明过程填写理论依据 【分析】阅读证明可以得到答案． 【详解】解：根据证明过程可知，证明的真命题是，且，则， 故选：A． 【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是能分清命题的题设与结论． 题型三十、以几何为背景的推理与论证 33．字母a，b，c，d各代表正方形、线段、正三角形、圆四个图形中的一种，将它们两两组合，并用字母连接表示，如表是三种组合与连接的对应表，由此可推断图形的连接方式为 . 组合 连接 【答案】 【知识点】以几何为背景的推理与论证 【分析】首先根据已知图形中两个图形中共同含有的图形，就可以判断每个符号所代表的图形，即可得出结论． 【详解】解：结合题表中前两个图可以看出：b代表正方形； 结合后两个图可以看出：d代表圆； 因此a代表线段，c代表三角形， 所以图形的连接方式为：. 故答案为. 【点睛】本题主要考查推理与论证，观察、分析识别图形的能力；解决此题的关键是通过观察图形确定a，b，c，d各代表什么图形． 题型三十一、以代数为背景的推理与论证 34．（2025八年级上·全国·专题练习）布袋里有100个球，其中有红球28个，绿球20个，黄球12个，蓝球20个，白球10个，黑球10个，从袋中任意摸出球来，若要一次摸出至少15个同色的球，则需要从袋中摸出球至少（    ） A．85 个 B．75个 C．15 个 D．16 个 【答案】B 【知识点】以代数为背景的推理与论证 【分析】此题考查的知识点是推理与论证，关键是考虑最差情况，即数量不足15个的黄球、白球、黑球全部摸出，再从数量超过15个的红球、绿球、蓝球中各摸出14个，此时再任意摸出1个球，即可保证有15个同色的球． 【详解】解：根据事件发生可能性大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．这里要考虑最差情况： 最坏情况考虑：摸出14个红球，14个绿球，12个黄球，14个蓝球，10个白球，10个黑球， 最后再摸出任意一个球，这时可以保证至少有15个颜色相同， 即最少要摸：个球， 故选：B． 题型三十二、逻辑推理与论证 35．若n是整数，2n＋5(n是整数)是 ，2n－8是 ．(填“奇数”或“偶数”) 【答案】 奇数 偶数 【详解】因为偶数是能够被2整除的数,因为2n＋5不能被2整除,所以是奇数, 2n－8能被2整除,所以是偶数,故答案为:奇数,偶数. 点睛:本题主要考查偶数的定义,解决本题的关键是掌握偶数的定义,能够利用偶数的定义进行推理. 36．（24-25八年级上·全国·期末）六名运动员A，B，C，D，E，F比赛中国象棋，每两人赛一局．第一天A与B各赛了3局，D与C各赛了4局，E赛了2局，而且D和B，A和C之间都还没赛过，那么F已赛了多少局（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】逻辑推理与论证 【分析】本题主要考查了推理与论证的问题，能够通过已知条件找出突破口，从而通过推理得出结论．从A、B各参加了3局比赛，C、D各参加了4局比赛，E参加了2局比赛，且A与C没有比赛过，B与D也没有比赛过这个已知条件入手，进而可一步一步推得每个人分别与那几个人下了几局，最后即可得出F最终下了几局． 【详解】解：由于A、B各参加了3局比赛，C、D各参加了4局比赛，E参加了2局比赛，且A与C没有比赛过，B与D也没有比赛过， 所以与D赛过的是A、C、E、F四人； 与C赛过的是B、D、E、F四人； 又因为E只赛了两局，A与B各赛了3局， 所以与A赛过的是D、B、F； 而与B赛过的是A、C、F； 所以F共赛了4局． 故选：D． 题型三十三、三角形内角和定理的证明 37．在“三角形内角和”的探究中课本中给我们了这样一种折叠方法，把三角形按如图的虚线折叠，可以得到了三角形的内角和等于180°，请你根据折叠过程证明这个结论． 【答案】见解析 【知识点】三角形内角和定理的证明 【详解】试题分析：根据折叠的性质得到∠EDF=∠EAF，∠EDB=∠B，∠FDC=∠C，而∠BDE+∠EDF+∠FDC=180°，从而得到三角形内角和定理． 证明：∵△DEF由△AEF折叠而得， ∴∠EDF=∠EAF， 同理∠EDB=∠B，∠FDC=∠C， ∵∠BDE+∠EDF+∠FDC=180°， ∴∠B+∠A+∠C=180°， ∴三角形内角和等于180°（8分） 考点：翻折变换（折叠问题）；三角形内角和定理；全等三角形的判定与性质． 题型三十四、直角三角形的两个锐角互余 38．（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，平分，交于点E，于点D，，，求的度数． 【答案】 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查角平分线的定义，垂直的定义，直角三角形两锐角互余，三角形外角的性质． 先由角平分线得到，由垂直得到，从而根据直角三角形两锐角互余得到，再根据三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型三十五、三角形的外角的定义及性质 39．如图，若，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】此题主要考查了三角形外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 根据三角形外角的性质三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得，进而根据可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A. 学科网（北京）股份有限公司 $