15.3 等腰三角形同步练习-2025-2026学年人教版（2024）数学八年级上册

15.3 等腰三角形 一．选择题（共7小题） 1．（2025•孝感模拟）如图，等腰三角形OAB的底边OB在x轴上，A（1，2）．将等腰三角形OAB向下平移1个单位长度后，点B的对应点的坐标是（　　） A．（2，﹣1） B．（2，1） C．（1，﹣2） D．（﹣2，﹣1） 2．（2025•阎良区一模）如图，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，AD为BC边上的中线，点P在AD上，连接PB、PC，若PB＝13，PD＝5，则CD的长为（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 3．（2025春•崇明区期末）若等腰三角形的两条边的长分别为3cm和7cm，则它的周长是（　　） A．10cm B．13cm C．17cm D．13cm或17cm 4．（2025•城关区校级模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD＝（　　） A．60° B．45° C．40° D．30° 5．（2024秋•高坪区期末）若等腰三角形的一边长为3cm，周长为15cm，则此等腰三角形的底边长是（　　） A．3cm或9cm B．9cm C．3cm D．3cm或6cm 6．（2025春•江岸区校级月考）如图，在△ABC中，AC＝BC，点D和点E分别在AB和AC上，且DE＝AE．连接DE，过点A作DE的平行线MN，若∠C＝40°，则∠BAN的度数为（　　） A．40° B．45° C．55° D．70° 7．（2025•长沙模拟）如图，直线a∥b，直线c分别交直线a，b于点A，B，点C是直线a上一点，且CA＝CB．若∠ACB＝70°，则∠1的度数等于（　　） A．50° B．55° C．60° D．65° 二．填空题（共5小题） 8．（2025春•长宁区校级期末）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN＝7，则线段MN的长为　 　 ． 9．（2025•宁波模拟）如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD⊥BC于点D．若△ABC的周长为20，CD＝6，则AC的长为　 　 ． 10．（2025春•铁西区期中）如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，∠C＝50°，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交边BC于点D，连接AD，则∠ADC的度数为 　 　 ． 11．（2025春•礼泉县期中）如图，已知在△ABC中，AD是△ABC的外角平分线，交BC的延长线于D，CF∥AD．若AC＝3cm，则AF＝　 　 ． 12．（2025•兴庆区模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝130°，DA⊥AC，则∠ADB＝　 　 ． 三．解答题（共2小题） 13．（2025春•浦东新区期末）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，BP⊥AD于点P，AB＝5，BP＝2，AC＝9，说明∠ABP＝2∠ACB的理由． 14．（2025•织金县模拟）如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于P点． （1）若∠A＝35°，求∠BPC的度数 （2）若AB＝5cm，BC＝3cm，求△PBC的周长． 15.3 等腰三角形 参考答案与试题解析 一．选择题（共7小题） 1．（2025•孝感模拟）如图，等腰三角形OAB的底边OB在x轴上，A（1，2）．将等腰三角形OAB向下平移1个单位长度后，点B的对应点的坐标是（　　） A．（2，﹣1） B．（2，1） C．（1，﹣2） D．（﹣2，﹣1） 【考点】等腰三角形的性质；坐标与图形变化﹣平移． 【专题】平面直角坐标系；等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质、线段的和差求出OB＝2，再根据坐标与图形性质求解即可． 【解答】解：如图，过点A作AC⊥OB于点C， ∵AO＝AB， ∴OC＝BC， ∵A（1，2）， ∴OC＝BC＝1， ∴OB＝2， ∴点B的坐标是（2，0）， ∴等腰三角形OAB向下平移1个单位长度后，点B的对应点的坐标是（2，﹣1）， 故选：A． 【点评】此题考查了等腰三角形的性质、坐标与图形性质，熟记等腰三角形的性质、坐标与图形性质是解题的关键． 2．（2025•阎良区一模）如图，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，AD为BC边上的中线，点P在AD上，连接PB、PC，若PB＝13，PD＝5，则CD的长为（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 【考点】等腰三角形的性质． 【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质及勾股定理定理求解即可． 【解答】解：∵AB＝AC，AD为BC边上的中线， ∴AD⊥BC，BD＝CD， ∵PB＝13，PD＝5， ∴BD12， 故选：C． 【点评】此题考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键． 3．（2025春•崇明区期末）若等腰三角形的两条边的长分别为3cm和7cm，则它的周长是（　　） A．10cm B．13cm C．17cm D．13cm或17cm 【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系． 【答案】C 【分析】等腰三角形两边的长为3cm和7cm，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论． 【解答】解：①当腰是3cm，底边是7cm时：不满足三角形的三边关系，因此舍去． ②当底边是3cm，腰长是7cm时，能构成三角形，则其周长＝3+7+7＝17（cm）． 故选：C． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 4．（2025•城关区校级模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD＝（　　） A．60° B．45° C．40° D．30° 【考点】等腰三角形的性质． 【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【答案】B 【分析】根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC＝∠ACB，再求出∠CBD，然后根据∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD计算即可得解． 【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝30°， ∴∠ABC＝∠ACB（180°﹣∠A）（180°﹣30°）＝75°， ∵以B为圆心，BC的长为半径圆弧，交AC于点D， ∴BC＝BD， ∴∠CBD＝180°﹣2∠ACB＝180°﹣2×75°＝30°， ∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝75°﹣30°＝45°． 故选：B． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，主要利用了等腰三角形两底角相等，熟记性质是解题的关键． 5．（2024秋•高坪区期末）若等腰三角形的一边长为3cm，周长为15cm，则此等腰三角形的底边长是（　　） A．3cm或9cm B．9cm C．3cm D．3cm或6cm 【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系． 【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【答案】C 【分析】等腰三角形的一边长为3cm，但没有明确指明是底边还是腰，因此要分两种情况，分类讨论． 【解答】解：∵等腰三角形的一边长为3cm，周长为15cm， ∴当3cm为底时，其它两边都为6cm，3cm、6cm、6cm可以构成三角形； 当3cm为腰时，其它两边为3cm和9cm， ∵3+3＝6＜9， ∴不能构成三角形． ∴该等腰三角形的底边长只能为3cm． 故选：C． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 6．（2025春•江岸区校级月考）如图，在△ABC中，AC＝BC，点D和点E分别在AB和AC上，且DE＝AE．连接DE，过点A作DE的平行线MN，若∠C＝40°，则∠BAN的度数为（　　） A．40° B．45° C．55° D．70° 【考点】等腰三角形的性质；平行线的性质． 【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【答案】D 【分析】根据等腰三角形和平行线的性质即可得到结论． 【解答】解：∵AC＝CB，∠C＝40°， ∴∠BAC＝∠B（180°﹣40°）＝70°， ∵DE＝AE， ∴∠ADE＝∠BAC＝70°， ∵MN∥DE， ∴∠BAN＝∠ADE＝70°． 故选：D． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 7．（2025•长沙模拟）如图，直线a∥b，直线c分别交直线a，b于点A，B，点C是直线a上一点，且CA＝CB．若∠ACB＝70°，则∠1的度数等于（　　） A．50° B．55° C．60° D．65° 【考点】等腰三角形的性质；平行线的性质． 【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质求出∠CAB＝∠ABC＝55°，再根据“两直线平行，内错角相等”求解即可． 【解答】解：∵CA＝CB，∠ACB＝70°， ∴∠CAB＝∠ABC＝55°， ∵a∥b， ∴∠1＝∠CAB＝55°， 故选：B． 【点评】此题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质，熟记等腰三角形的性质、平行线的性质是解题的关键． 二．填空题（共5小题） 8．（2025春•长宁区校级期末）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN＝7，则线段MN的长为　7　 ． 【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质． 【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【答案】7． 【分析】根据角平线的性质和平行线的性质可得∠MBE＝∠MEB，∠NEC＝∠NCE，从而可得BM＝EM，NE＝NC，进而得到MN＝ME+NE＝BM+CN＝7． 【解答】解：由条件可知∠MBE＝∠EBC，∠NCE＝∠ECB， ∵MN∥BC， ∴∠MEB＝∠EBC，∠NEC＝∠ECB， ∴∠MBE＝∠MEB，∠NCE＝∠NEC ∴BM＝EM，NE＝NC， ∵BM+CN＝7， ∴MN＝ME+NE＝BM+CN＝7， 故答案为：7． 【点评】本题考查平行线的性质，等角对等边的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 9．（2025•宁波模拟）如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD⊥BC于点D．若△ABC的周长为20，CD＝6，则AC的长为　8　 ． 【考点】等腰三角形的判定与性质． 【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【答案】8． 【分析】在CD上取点E，使AE＝AB运用等腰三角形的性质，可得BD+AB＝DC，再用△ABC的周长为20，即可求出答案． 【解答】解：如图，在CD上取点E，使AE＝AB， 由条件可知CE＝AE＝AB， 得CD＝DE+AE＝BD+AB． 则AC＝20﹣2×6＝8． 故答案为：8． 【点评】本题由倍角构造等腰三角形，在运用等腰三角形的性质即可解答．熟练掌握以上知识点是关键． 10．（2025春•铁西区期中）如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，∠C＝50°，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交边BC于点D，连接AD，则∠ADC的度数为 　110°　 ． 【考点】等腰三角形的性质；直角三角形的性质． 【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【答案】110°． 【分析】由直角三角形的性质求出∠B＝40°，由等腰三角形的性质得到∠BDA＝∠BAD＝70°，由邻补角的性质即可求出∠ADC的度数． 【解答】解：∵∠CAB＝90°，∠C＝50°， ∴∠B＝90°﹣∠C＝40°， 由题意得到：AB＝DB， ∴∠BDA＝∠BAD（180°﹣40°）＝70°， ∴∠ADC＝180°﹣∠BDA＝110°． 故答案为：110° 【点评】本题考查等腰三角形的性质，直角三角形的性质，关键是由等腰三角形的性质推出∠BDA＝∠BAD． 11．（2025春•礼泉县期中）如图，已知在△ABC中，AD是△ABC的外角平分线，交BC的延长线于D，CF∥AD．若AC＝3cm，则AF＝　3cm　 ． 【考点】等腰三角形的判定与性质． 【答案】见试题解答内容 【分析】由AD平分∠CAE，得到∠EAD＝∠CAD，由于CF∥AD，于是得到∠AFC＝∠EAD，∠ACF＝∠CAD，等量代换得到∠AFC＝∠ACF，于是得到结论． 【解答】解：∵AD平分∠CAE， ∴∠EAD＝∠CAD， ∵CF∥AD， ∴∠AFC＝∠EAD，∠ACF＝∠CAD， ∴∠AFC＝∠ACF， ∴AF＝AC＝3cm， 故答案为：3cm． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握各定理是解题的关键． 12．（2025•兴庆区模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝130°，DA⊥AC，则∠ADB＝　115°　 ． 【考点】等腰三角形的性质． 【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力． 【答案】115°． 【分析】根据等边对等角得出∠B＝∠C，根据∠BAC＝130°即可求出∠C的度数，由DA⊥AC得出∠DAC＝90°，从而求出∠ADC的度数，问题得解． 【解答】解：由条件可知∠B＝∠C， ∵∠BAC＝130°， ∴， ∵DA⊥AC， ∴∠DAC＝90°， ∴∠ADC＝90°﹣25°＝65°， ∴∠ADB＝180°﹣∠ADC＝180°﹣65°＝115°， 故答案为：115°． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是关键． 三．解答题（共2小题） 13．（2025春•浦东新区期末）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，BP⊥AD于点P，AB＝5，BP＝2，AC＝9，说明∠ABP＝2∠ACB的理由． 【考点】等腰三角形的判定与性质． 【答案】见试题解答内容 【分析】先延长BP，交AC于E，根据已知条件、结合ASA易证△ABP≌△AEP，从而有BP＝PE，AE＝AB，∠AEB＝∠ABE，易求BE＝4，AE＝5，那么CE＝4，于是可知△BCE是等腰三角形，那么∠EBC＝∠C，结合三角形外角性质可证∠ABE＝2∠C． 【解答】证明：延长BP，交AC于E， ∵AD平分∠BAC，BP⊥AD， ∴∠BAP＝∠EAP，∠APB＝∠APE， 在△ABP与△AEP中，， ∴△ABP≌△AEP， ∴BP＝PE，AE＝AB，∠AEB＝∠ABE， ∴BE＝BP+PE＝4，AE＝AB＝5， ∴CE＝AC﹣AE＝9﹣5＝4， ∴CE＝BE， ∴△BCE是等腰三角形， ∴∠EBC＝∠C， 又∵∠ABP＝∠AEB＝∠C+∠EBC， ∴∠ABP＝2∠C． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、三角形外角的性质．关键是作辅助线，求证△BCE是等腰三角形． 14．（2025•织金县模拟）如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于P点． （1）若∠A＝35°，求∠BPC的度数 （2）若AB＝5cm，BC＝3cm，求△PBC的周长． 【考点】等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AP＝BP，根据等边对等角可得∠A＝∠ABP，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解； （2）求出△PBC的周长＝AB+BC，代入数据计算即可得解． 【解答】解：（1）∵AB的垂直平分线交AC于P点， ∴AP＝BP， ∴∠A＝∠ABP＝35°， ∴∠BPC＝∠A+∠ABP＝35°+35°＝70°； （2）△PBC的周长＝BP+PC+BC， ＝AP+PC+BC， ＝AC+BC， ＝AB+BC， ∵AB＝5cm，BC＝3cm， ∴△PBC的周长＝5+3＝8cm． 【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $