14.3角的平分线同步练习-2025-2026学年人教版（2024）数学八年级上册

14.3角的平分线 一．选择题（共8小题） 1．（2025春•平陆县期中）如图，已知直线l1，小明用直尺和圆规作出了l1的平行线l2，在作图痕迹中，弧MN是（　　） A．以D为圆心，AC为半径的弧 B．以E为圆心，BC为半径的弧 C．以D为圆心，BC为半径的弧 D．以E为圆心，AC为半径的弧 2．（2025春•顺德区校级月考）三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（　　） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 3．（2025•五华区校级三模）如图所示，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，若，则PD＝（　　） A．2 B． C． D．不能确定 4．（2024秋•息县期末）如图，在△ABC中，AB＝10，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E，△ABD的面积为15，则DE的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．5 5．（2025•江城区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB，垂足为点E，AD＝6，AC＝10，则DE的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 6．（2025•碑林区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线交AC于点D，过点D作DE∥CB，交AB于点E，过点D作DF⊥BC于点F，若DF＝3，AE＝4，则BE＝（　　） A．4 B．5 C．7 D．8 7．（2024秋•仁怀市期末）如图，点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OA于点C，∠PDB＝30°，点D在边OB上，且DP＝6，则CP的长度为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（2024秋•巩义市期末）如图是两把完全相同的长方形直尺，一把直尺压住射线OB，且与射线OA交于点C，另一把直尺压住射线OA，且与第一把直尺交于点P，作射线OP，已知∠POB＝40°，则∠ACP的度数是（　　） A．40° B．60° C．80° D．100° 二．填空题（共5小题） 9．（2024秋•单县期末）如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝4，△ABC的面积是 　 　 ． 10．（2024秋•蒙城县期末）如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是 　 　 ． 11．（2025•榆阳区一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若BC＝10，DE＝4，则BD的长为 　 　 ． 12．（2025春•青羊区校级期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠1＝∠2，BC＝12cm，点D到AB的距离为5cm，则BD的长为　 　 cm． 13．（2025•广西一模）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB＝8，AC＝6，则S△ABD：S△ACD＝　 　 ． 三．解答题（共2小题） 14．（2025•汝阳县模拟）如图，在△ABC中，BA＝BC，AD平分∠BAC交BC于点D （1）请用无刻度的直尺和圆规作∠ADE，使得∠ADE＝∠BAD，且射线DE在线段AD左侧，交AB于点E（保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（1）的条件下判断AE与CD的数量关系，并证明． 15．（2024秋•大名县期末）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F． （1）若∠ABC＝40°，∠ACB＝70°，求∠BDC的度数； （2）若DE＝2，BC＝9，求△BCD的面积． 14.3角的平分线 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．（2025春•平陆县期中）如图，已知直线l1，小明用直尺和圆规作出了l1的平行线l2，在作图痕迹中，弧MN是（　　） A．以D为圆心，AC为半径的弧 B．以E为圆心，BC为半径的弧 C．以D为圆心，BC为半径的弧 D．以E为圆心，AC为半径的弧 【考点】作图—基本作图；平行线的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；尺规作图；推理能力． 【答案】B 【分析】根据平行线的作法即可求解． 【解答】解：根据平行线的作法得，在作图痕迹中，弧MN是以E为圆心，BC为半径的弧． 故选：B． 【点评】本题考查作图﹣复杂作图，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键． 2．（2025春•顺德区校级月考）三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（　　） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【考点】角平分线的性质． 【专题】三角形． 【答案】C 【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可． 【解答】解：在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等， 根据角平分线的性质，集贸市场应建在∠A、∠B、∠C的角平分线的交点处． 故选：C． 【点评】本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键． 3．（2025•五华区校级三模）如图所示，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，若，则PD＝（　　） A．2 B． C． D．不能确定 【考点】角平分线的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】B 【分析】角平分线上的点到角两边的距离相等，由此得到PD． 【解答】解：∵OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D， ∴PD＝PC． 故选：B． 【点评】本题考查角平分线的性质，关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等． 4．（2024秋•息县期末）如图，在△ABC中，AB＝10，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E，△ABD的面积为15，则DE的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．5 【考点】角平分线的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】C 【分析】过D作DF⊥AB于F，根据AD平分∠BAC，DE⊥AC，DF⊥AB，得DE＝DF，由△ABD的面积为15，AB＝10，可得DF＝3，故DE＝3． 【解答】解：过D作DF⊥AB于F，如图： ∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DF⊥AB， ∴DE＝DF， ∵△ABD的面积为15， ∴AB•DF＝15， ∵AB＝10， ∴DF＝3， ∴DE＝3； 故选：C． 【点评】本题考查角平分线的性质和三角形面积，解题的关键是掌握角平分线上的点到角的两边距离相等． 5．（2025•江城区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB，垂足为点E，AD＝6，AC＝10，则DE的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【考点】角平分线的性质． 【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【答案】B 【分析】由AD＝6，AC＝10，求出CD＝4，由角平分线的性质推出DE＝DC＝4． 【解答】解：∵AD＝6，AC＝10， ∴CD＝AC﹣AD＝4， ∵∠C＝90°， ∴DC⊥BC， ∵BD平分∠ABC，DE⊥AB， ∴DE＝DC＝4． 故选：B． 【点评】本题考查角平分线的性质，关键是由角平分线的性质得到DE＝DC． 6．（2025•碑林区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线交AC于点D，过点D作DE∥CB，交AB于点E，过点D作DF⊥BC于点F，若DF＝3，AE＝4，则BE＝（　　） A．4 B．5 C．7 D．8 【考点】角平分线的性质；平行线的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线． 【答案】B 【分析】先根据角平分线的性质求AD＝3，利用勾股定理求DE＝5，再根据平行线的性质、等腰三角形的判定求解即可． 【解答】解：如图， ∵∠A＝90°，∠ABC的平分线交AC于点D，DF⊥BC， ∴AD＝DF＝3， 在Rt△ADE中， ， ∵BD平分∠ABC， ∴∠1＝∠2， ∵DE∥CB， ∴∠3＝∠2， ∴∠3＝∠1， ∴BE＝DE＝5， 故选：B． 【点评】此题考查了角平分线的性质定理，平行线的性质，等角对等边，勾股定理，熟记各知识点并综合应用是解题的关键． 7．（2024秋•仁怀市期末）如图，点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OA于点C，∠PDB＝30°，点D在边OB上，且DP＝6，则CP的长度为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】角平分线的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】C 【分析】过点P作PE⊥OB于E，根据角平分线的性质求出CP＝EP，再根据直角三角形的性质求解即可． 【解答】解：如图，过点P作PE⊥OB于E， ∵OP是∠AOB的平分线，PC⊥OA于点C， ∴CP＝EP， 在Rt△DEP中，∠PDB＝30°，DP＝6， ∴EPDP＝3， ∴CP＝3， 即CP的长度为3， 故选：C． 【点评】此题考查了角平分线的性质等知识，熟记角平分线的性质定理是解题的关键． 8．（2024秋•巩义市期末）如图是两把完全相同的长方形直尺，一把直尺压住射线OB，且与射线OA交于点C，另一把直尺压住射线OA，且与第一把直尺交于点P，作射线OP，已知∠POB＝40°，则∠ACP的度数是（　　） A．40° B．60° C．80° D．100° 【考点】作图—基本作图；平行线的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线． 【答案】C 【分析】根据两把完全相同的长方形直尺，可知OP平分∠AOB，又∠POB＝40°，进而可得∠AOB的度数．再由长方形直尺可得CP∥OB，利用平行线的性质可求解． 【解答】解：由题意，得OP平分∠AOB， ∴∠AOB＝2∠POB＝2×40°＝80°， 由长方形直尺可知：CP∥OB， ∴∠ACP＝∠AOB＝80°， 故选：C． 【点评】此题主要考查角平分线的判定，平行线的性质，解题关键是掌握角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在这角的平分线上． 二．填空题（共5小题） 9．（2024秋•单县期末）如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝4，△ABC的面积是 　42　 ． 【考点】角平分线的性质． 【答案】见试题解答内容 【分析】过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，根据角平分线性质求出OE＝OD＝OF＝4，根据△ABC的面积等于△ACO的面积、△BCO的面积、△ABO的面积的和，即可求出答案． 【解答】解： 过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA， ∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC， ∴OE＝OD，OD＝OF， 即OE＝OF＝OD＝4， ∴△ABC的面积是：S△AOB+S△AOC+S△OBC AB×OEAC×OFBC×OD 4×（AB+AC+BC） 4×21＝42， 故答案为：42． 【点评】本题考查了角平分线性质，三角形的面积，主要考查学生运用定理进行推理的能力． 10．（2024秋•蒙城县期末）如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是 　30　 ． 【考点】角平分线的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观． 【答案】见试题解答内容 【分析】过点D作DE⊥BA的延长线于点E，利用角平分线的性质可得出DE＝DC＝4，再利用三角形的面积公式结合S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD可求出四边形ABCD的面积． 【解答】解：过点D作DE⊥BA的延长线于点E，如图所示． ∵BD平分∠ABC， ∴DE＝DC＝4， ∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD， AB•DEBC•CD， 6×49×4， ＝30． 故答案为：30． 【点评】本题考查了角平分线的性质以及三角形的面积，利用角平分线的性质，找出DE＝4是解题的关键． 11．（2025•榆阳区一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若BC＝10，DE＝4，则BD的长为 　6　 ． 【考点】角平分线的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】6． 【分析】由角平分线的性质可知CD＝DE＝4，根据线段的和差得出BD＝BC﹣CD＝10﹣4＝6． 【解答】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°， ∴CD＝DE， ∵DE＝4， ∴CD＝4， ∵BC＝10， ∴BD＝BC﹣CD＝10﹣4＝6． 故答案为：6． 【点评】此题考查了角平分线的性质，熟记“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”是解题的关键． 12．（2025春•青羊区校级期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠1＝∠2，BC＝12cm，点D到AB的距离为5cm，则BD的长为　7　 cm． 【考点】角平分线的性质；点到直线的距离． 【专题】三角形；推理能力． 【答案】7． 【分析】过点D作DE⊥AB，垂足为E，根据角平分线的性质得CD＝DE，利用线段的和差关系求BD的长即可． 【解答】解：如图， 过点D作DE⊥AB，垂足为E， ∵∠1＝∠2，∠C＝90°， ∴CD＝DE， ∵点D到AB的距离为5cm， ∴CD＝DE＝5cm， ∵BC＝CD+BD， BC＝12cm， ∴BD＝BC﹣CD＝12﹣5＝7（cm）， 即BD的长为7cm． 故答案为：7． 【点评】本题考查了角平分线的性质，点到直线的距离，熟练掌握相关性质是解题的关键． 13．（2025•广西一模）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB＝8，AC＝6，则S△ABD：S△ACD＝　4：3　 ． 【考点】角平分线的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力． 【答案】4：3． 【分析】过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，根据角平分线性质定理得出垂线段相等，根据三角形的面积公式计算即可． 【解答】解：如图，过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N， ∵AD平分∠BAC， ∴根据角平分线的性质得，DM＝DN， ∵AB＝8，AC＝6， ∴根据三角形的面积公式得，，即S△ABD：S△ACD的值为4：3． 【点评】本题考查了角平分线性质，关键掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 三．解答题（共2小题） 14．（2025•汝阳县模拟）如图，在△ABC中，BA＝BC，AD平分∠BAC交BC于点D （1）请用无刻度的直尺和圆规作∠ADE，使得∠ADE＝∠BAD，且射线DE在线段AD左侧，交AB于点E（保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（1）的条件下判断AE与CD的数量关系，并证明． 【考点】作图—基本作图；等腰三角形的性质． 【专题】作图题；等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【答案】（1）见解析； （2）AE＝CD，见解析． 【分析】（1）根据尺规作一个角等于已知角的方法即可作图； （2）证明出DE∥AC，再根据平行线分线段成比例定理即可求证． 【解答】解：（1）∠ADE即为所作： （2）AE＝CD，理由如下： 证明：由条件可知∠1＝∠2， ∵∠3＝∠2， ∴∠1＝∠3， ∴DE∥AC， ∴， 由条件可知AE＝CD． 【点评】本题考查了尺规作图—作一个角等于已知角，平行线的判定，平行线分线段成比例定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 15．（2024秋•大名县期末）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F． （1）若∠ABC＝40°，∠ACB＝70°，求∠BDC的度数； （2）若DE＝2，BC＝9，求△BCD的面积． 【考点】角平分线的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力． 【答案】（1）125°； （2）9． 【分析】（1）根据角平分线的定义，及三角形内角和定理即可求出结论； （2）利用角平分线性质得出DE＝DF，再利用三角形面积公式即可求出． 【解答】解：（1）∵BD平分∠ABC，∠ABC＝40°， ∴， ∵CD平分∠ACB，∠ACB＝70°， ∴， ∴∠BDC＝180°﹣20°﹣35°＝125°． （2）BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，DE＝2， ∴DF＝DE＝2． ∵BC＝9， ∴． 【点评】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，角平分线的性质，熟练掌握各性质是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $