追梦专项总结突破卷(四、五) 勾股定理 数据的收集与表示-【追梦之旅·铺路卷】2025-2026学年新教材八年级上册数学（华东师大版2024）

铺路卷 ZBH·八年级数学上 +为期中、期末铺路”为中考、未来铺路 追梦专项总结突破卷（四） 十十十十+十 勾股定理 题型一 折叠问题 类型1三角形中的折叠问题 1.下图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm, 现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE,则DE的长为 ( ）cm. 5 25 A.4 B.5 C. D B 咖 M y E 0 B 第2题图 橱 第1题图 产 2.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(-3,0)，点B的坐标 是(0,4)，点M是OB上一点，将△ABM沿AM折叠，点B恰好 落在x轴上的点B'处，则点M的坐标为( 按 5 A.(20) B.(0,2） C.(20) D.(0,2） 类型2四边形中的折叠问题 腳 3.如图，在长方形ABCD中，点E在边CD上，将长方形ABCD沿 AE在直线折叠，点D恰好落在边BC上的点F处.若AB=8, DE=5,则AD的长为( A.9 B.10 C.11 D.12 …终孙 第3题图 第4题图 4.如图，在正方形ABCD中，AB=4,点E是CD边的中点，将该纸 片折叠，使点B与点E重合，折痕交AD,BC边于点M,N,连结 ME,NE.则ME的长为 题型二最短路径问题 类型1平面中的最短路径问题 5.将军每天从家中骑马到河边让马饮水后再回军营中去，已知家 A到河边的距离AC=400米，军营B到河边的距离BD=200米， 且CD=450米，问：将军至少要走多远？ 类型2立体图形中的最短路径问题 6.如图，一圆柱体的底面周长为10cm,高AB为12cm,BC是直 径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路 程为( A.17 cm B.13 cm C.12 cm D.14 cm 5cm 2cm 4cm P 第6题图 第7题图 7.如图，长方体的底边长为4cm,宽为2cm,其高为5cm.若一只 蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行 的最短路径长为 厘米 8.如图所示，ABCD是长方形地面，长AB=20m,宽AD=10m.中 间竖有一堵砖墙高MW=2m.一只蚂蚱从A点爬到C点，它必 须翻过中间那堵墙，则它至少要走 m的路程 第8题图 第9题图 9.如图是棱长为4cm的立方体木块，一只蚂蚁在A点，若在B点 处有一块糖，它想尽快吃到这块糖，则蚂蚁沿正方体表面爬行的 最短路程是 cm. 题型三勾股定理中的思想方法 类型1分类讨论思想 10.在Rt△ABC中，AB=8,BC=6,则以AC为边的正方形的面积 为 11.在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=3,点P为边BC 的三等分点，连结AP,则AP的长为 12.在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3,BC=4,过点B的直线把 △ABC分割成两个三角形且交线段AC于点P,使其中只有一 个是等腰三角形，则AP= 类型2方程思想 13.学习情境·探讨交流在△ABC中，AB=15,BC=14,AC=13,求 △ABC的面积 某学习小组经过探讨交流，给出了下面的解题思路，请你按照 他们的解题思路完成解答过程 如图，作AD⊥BC 根据勾股定理， 利用勾股定理 于D,设BD=x,用 利用AD作为“桥 求出AD的长， 含x的代数式表示 梁”，建立方程模 再计算三角形 CD 型求出x 面积 THE ROAD TO 题型四勾股定理中的作图问题 14.图①、图②均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长为1， 每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上. 只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中，以AB为边画三角 形.按下列要求作图： (1)在图①中，画一个等腰△ABC,使其面积为3. (2)在图②中，画一个直角△ABD,使其面积为5. 图① 图② 25 铺路卷 ZBH·八年级数学E ”为期中、期末铺路”为中考、未来铺路 追梦专项总结突破卷（五） 十一十一 数据的收集与表示 人人 人人 一、选择题 1.生活情境·空气质量下列调查中，适合抽样调查的是( A.了解某校八年级(1)班学生校服的尺码情况 B.检测一批LED灯的使用寿命 C.某公司对参加招聘的人员进行面试 D.检查锦州湾机场搭乘某航班的旅客是否携带违禁物品 2已知数据5,314,4,2,8其中无理数出现的频率为( A.20% B.40% C.60% D.80% 3.生活情境·产品销售如图是某饰品店甲，乙，丙，丁四种饰品出 售情况的扇形统计图，若想销量更大，获利更多，该店进货时，应 多进的饰品是( A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 ↑人数 14--3 12 甲 25%30% 4 丙 丁 2-上 ☐分数 35% 05060708090100 第3题图 第4题图 4.某次考试中，某班级数学成绩频数分布直方图如图所示，下列说 法中错误的是( ) A.组距为10 B.该班的总人数为40 C.最低分为50分 D.及格率为90%（≥60分为及格） 5.小明、小聪参加了100米跑的5期集训，每期集训结束时进行测 试，根据测试成绩绘制成如图所示的折线统计图.则下列判断正 确的是() A.5次集训中两人的测试成绩始终在提高 B.5次集训中小明的测试成绩都比小聪好 C.5次集训中小明的测试成绩增量（最好成绩-最差成绩）比小聪大 D.相邻两期集训中，第2期至第3期两人测试成绩的增长均最快 ↑成绩（秒） 一小明 11.9011.88 小聪 117011.83.76】 11.80 11.65 11.60 11.72↓：611158x62 11.50 11.5211.53 11.405 第1期第2期第3期第4期第5期期次 26 6.如图，下面是甲乙两位党员使用“学习强国APP”在一天中各项 目学习时间的统计图，根据统计图对两人各自学习“文章”的时 间占一天总学习时间的百分比作出的判断中，正确的是() 甲党员一天学习时间条形统计图 乙党员一天学习时间扇形统计图 ↑一天学习时间/分 3 30 章20% 30A 20% 25 视听 其他 20 25% 35 15 15 10 10 5 0 文章视听答题其他学习项目 A.甲比乙大 B.甲比乙小 C.甲和乙一样大 D.甲和乙无法比较 7.某校实施课程改革，为初三学生设置了A、B、C、D、E、F共六门 不同的拓展性课程，现随机抽取若干名学生进行了“我最想选 的一门课”调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计 图表 17.5% 选修课 y B D 5% 12.5% 人数 20 30 根据图表提供的信息，下列结论错误的是( A.这次被调查的学生人数为200人 B.扇形统计图中E部分扇形的圆心角为72° C.被调查的学生中最想选F的有35人 D.被调查的学生中最想选D的有55人 二、填空题 8.要想了解九年级1200名学生的心理健康评估报告，从中抽取 了350名学生的心理健康评估报告进行统计分析，以下说法：① 1200名学生是总体；②每名学生的心理健康评估报告是个体： ③被抽取的350名学生是总体的一个样本；④350是样本容量. 其中正确的是 9.一个样本的50个数分别落在4个组内，第1,2,3组数据的个数 分别是7,8,15，则第4组数据的频率为 10.为了解某校七年级学生参加消防知识竞赛的成绩（均为整 数)，从中抽取了1%的学生的竞赛成绩，整理后绘制了如图所 示的频数分布直方图（各组只含最小值，不含最大值）.若竞赛 成绩在90分及以上的学生可以获得奖励，则估计该校获得奖 励的七年级学生有 人数 16 13 10 7 0 分数 7580859095100 三、解答题 11.某校想了解学生每周的课外阅读时间情况，随机调查了部分学 生，对学生每周的课外阅读时间x(单位：小时)进行分组整理， 并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图： 频数（人数） 40 40 10% 35 A:0≤x<2 3 易错 25% B:2≤x<4 分析 21% C:4≤x<6 15 10 10 C m% D:6≤x<8 E:8≤x<10 0246810时间（小时 根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)补全频数分布直方图； (2)求扇形统计图中m的值和E组对应的圆心角度数； (3)请估计该校3000名学生中每周的课外阅读时间不少于6 小时的人数 12.学校计划在七年级学生中开设4个信息技术应用兴趣班，分别壁 为“无人机”班，“3D打印”班，“网页设计”班，“电脑绘画”班， 规定每人最多参加一个班，自愿报名.根据报名情况绘制了下 做题 面统计图表，请回答下列问题： 心得 七年级兴趣班报名情况统计表 七年级兴趣班报名情况统计图 兴趣班名称 频率 人数 无人机 A 24 3D打印 0.05 网页设计 0.25 电脑绘画 0.40 无人 3D网页电脑班级 机 打印设计绘画 (1)报名参加兴趣班的总人数为 人；统计表中的A= (2)将统计图补充完整； (3)为了均衡班级人数，在“电脑绘画”班中至少动员几人到 “3D打印”班，才能使“电脑绘画”班人数不超过“3D打印”班 人数的2倍？2∠ABC=30°，AD⊥BE于点D,LADB=90, ∠DAB=90°-∠EBA=90°-30°=60°，.∠DAB≠∠C.故 选C. 9.解：·EF垂直平分AD,.AF=DF,.∠ADF=∠DAF,. ∠ADF=∠B+∠BAD,∠DAF=∠CAF+∠CAD,又'AD平 分∠BAC,.∠BAD=∠CAD,.LB=LCAF=50. 10.证明：DE⊥AB,AC⊥BC,.∠AED=∠ACB=90°.又 :AD平分∠BAC,.∠DAE=∠DAC.在△AED和 I∠AED=∠ACD △ACD中，{∠DAE=∠DAC,.△AED≌△ACD(AAS), AD=AD .AE=AC.AD平分∠BAC,DE⊥AB,AC⊥BC,DE= DC,.AD平分线段EC,即直线AD是线段CE的垂直 平分线. 11.证明：连结BP、CP,点P在BC的垂直平分线上， BP=CP,AP是∠DAC的平分线，PD⊥AB,PE⊥AC, P=EBR,在R△BP和△CEP中，BPE Rt△BDP≌Rt△CEP(HL),.BD=CE. 12.D13.D 14.C【解析】当这个外角为顶角的外角时，则顶角为180° -110°=70°：当这个外角为底角的外角时，顶角为180 -110°=70°，180°-70°-70°=40°.故选C. 15.B 【方法点拨】本题考查等腰三角形的知识，关键是注意分 类讨论哪个边为腰，不要漏解，然后判断是否满足构成三 角形的条件，最后得出周长. 16.解：分三种情况：当m-2=2m+1时，解得m=-3,∴.m-2 =-5(舍去)；当m-2=8时，解得m=10,∴.2m+1=21, 三边长分别为：8,21,8,8+8=16<21，.不能组成 三角形；当2m+1=8时，解得m=3.5,∴.m-2=1.5,. 三边长分别为：1.5,8,8，.等腰三角形的周长=1.5+8 ×2=17.5.综上所述，等腰三角形的周长为17.5. 17.解：如图1，当等腰三角形为锐角三角形，·BD⊥AC, ∠ABD=40°，∠A=50°，即顶角的度数为50°.如图2 当等腰三角形为钝角三角形，：BDLAC,∠DBA=4O° .∠BAD=50°，.∠BAC=130°.综上，这个等腰三角形 顶角的度数为50°或130°， 图1 图2 18.解：过点D作DG∥AC交BC于点G,AB=AC,∠B= ∠ACB,DG∥AC,.∠DGB=∠ACB,∠GDF=∠E, ∠B=∠DGB,∴.BD=DG.BD=CE,∴.DG=CE.在 LGFD=∠CFE △DGF和△ECF中，{LGDF=LE,·△DGF≌ GD=CE △ECF(AAS),∴.DF=EF. 19.解：在DC上截取DH,使得DH=DB,连结AH.BD= DH,AD⊥BH,∴.AB=AH,.AB+BD=DC,DC=DH+HC .AB=CH=AH,∴.∠B=LAHD,∠C=∠HAC.设∠C= x,∠AHB=∠B=2x,.'∠B+∠C+∠BAC=180°，∴.3x+ 120°=180°，∴.x=20°，∴.∠C=20°. 20.证明：延长BA和CD交于点Q,:∠CAQ=∠BAE= LBDC=90°，∠ACQ+∠Q=90°，∠ABE+∠Q=90°， ∠ACQ=∠ABE,在△ABE和△ACQ中 （∠ABE=∠ACQ AB=AC ,.△ABE≌△ACQ(ASA),.BE=CQ, ∠BAE=∠CAQ 追梦之旅铺路卷·八年级 BD平分LABC,∴∠QBD=LCBD,∠BDC=90°， .·.∠BDC=∠BDO=90°，在△QDB和△CDB中， I∠QBD=LCBD BD=BD ,∴，△QDB≌△CDB(ASA),∴.CD= (∠BDO=∠BDC DQ,.'.BE=CQ=2CD. 追梦专项总结突破卷（四） 1.C 2.B【解析】将△ABM沿AM折叠，.AB=AB',又：A （-3,0),B(0,4),∴.AB=5=AB',点B的坐标为(2， 0),设M点坐标为(0，b),则BM=BM=4-b.:B'M2= B040n(4-b2=2486=子M0,.故 选B. 大 3.B【解析】：四边形ABCD为长方形，AB=8,.∠B= ∠C=∠D=90°，AD=BC,CD=AB=8.,·DE=5,∴.CE= CD-DE=3.由折叠，得∠AFE=∠D=90°，AF=AD,EF= 案 DE=5,在Rt△CEF中，CF=√52-32=4，设BF=x,则AF =x+4,在Rt△ABF中，AB2+BF2=AF2,即82+x2=(x+ 4)2,解得x=6,.AD=AF=x+4=10.故选B. 4.√6【解析】连结BM.:四边形ABCD为正方形，AB= 2 4,∴.∠A=∠D=90°，AD=CD=AB=4..点E是CD边的 中点，∴.DE=2,在Rt△ABM和Rt△DEM中，由勾股定理 可得：BMP=AB2+AM,ME2=DE2+DM,设AM=x,则DM =4-x,∴.BM2=42+x2,ME2=22+(4-x)2,由折叠性质可 得ME=B4+=24(4-,解得=分DM= AD-AM=子，ME=VDm+DE=Y 2 5.解：作B点关于CD的对称点B',连结AB',交CD于P, 过点B'作B'E⊥AC,交AC延长线于E,连结BP,由对称 可知：PB=PB',DB′=BD=CE=200米，∴.PA+PB=AB' 在Rt△AEB'中，AB'=VAE+B'E= √(200+400)2+4502=750（米），即将军至少要走 750米. 6.B【解析】如图所示：由于圆柱体的底面周长为10cm, 则AD=10x7-5(cm).又周为CD=AB=12cm,所以AC =√12+5=13(cm).故蚂蚁从，点A出发沿着圆柱体的 表面爬行到，点C的最短路程是13cm.故选B. B D 7.138.269./80 10.100或28【解析】①若AC为斜边.AB=8,BC=6, AC=√AB+BC=√82+6=10，.10×10=100；②若 AC为直角边.AB=8,BC=6,.AC=√AB-BC= √82-6=√28.√28×√28=28. 11.√13或√I0【解析】①当点P靠近，点B时.∠ACB= 90C-G3.PBBC1CP-2.AP- √AC+PC=√3，②当点P靠近点C时，LACB= 90AC=BC3PC-BC1AP-ACPC √10.综上所迷述，AP的长为√13或√10. 上·ZBH·数学第12页 2,3或8或1【解析J①当AB=AP=3时，△ABP是等楼 三角形，△BCP不是等腰三角形，②当AB=BP=3,且P 在AC上时，△ABP是等腰三角形，△BCP不是等腰三 角形，作△MBC的高BD:Sc=4C·BD= 1 cn=18c-长D=p.g0 AC 5)9 AP=2aD-国当cB=0P=4,即 AP=1时，△CBP是等腰三角形，△ABP不是等腰三角 形，综上所说，AP=3或我1 卷 13.解：在△ABC中，AB=15,BC=14,AC=13,设BD=x,则 CD=14-x.由勾股定理得AD2=AB2-BD2=152-x2,AD2 案 =AC2-CD2=132-(14-x)2,.152-x2=132-(14-x)2,解 1 得x=9,AD=12.SAc=2BC·AD=2×14x12 =84. 14.解：(1)如图①，△ABC即为所求： (2)如图②，△ABD即为所求. 追梦专项总结突破卷（五） 1.B 2.B【解析】无理数有2个，则频率为2÷5×100%=40%， 故选B. 3.C4.C5.D 6.A【解析】由扇形统计图可知，乙党员学习“文章”的时 间占一天总学习时间的百分比为20%；由条形统计图可 知，甲党员学习“文章”的时间占一天总学习时间的百分 15+30+10+5×100%=25%..甲比乙大.故选A 15 比 7.D【解析】30÷15%=200（人），200×25%=50（人），故D 错误，故选D. 8.②④【解析】①1200名学生的心理健康评估报告是总 体，错误：③被抽取的350名学生的心理健康评估报告 是总体的一个样本，错误.所以正确的是②④. 9.0.4【解析】根据题意得50-(7+8+15)=20，则第4组 数据的频率为20÷50=0.4. 10.2000【解析】参加消防知识竞赛的人数为：(4+10+16 +13+7)÷1%=5000(人)，所以估计该校获得奖励的七年 级学生有500×13+7=200（人）. 50 11.解：(1) 频数（人数） 40... 40 30 。。 1 5 4… 0246810时间（小时） (2)21÷21%=100(人)，40÷100×100%=40%，m=40.E 组对应的圆心角度数为4÷100×360°=14.4°； (3)估计该校3000名学生中每周的课外阅读时间不少 于6小时的人数为3000×(25%+4÷100×100%)=870 (人) 12.解：(1)800.30 追梦之旅铺路卷·八年级 (2)补全统计图如图所示： 七年级兴趣班报名情况统计图 ◆人数 24 20 无人3D网页电脑班级 机打印设计绘画 (3)设在“电脑绘画”班中动员x人到“3D打印”班，则 32-x≤2(4+x),解得x≥8，.在“电脑绘画”班中至少 动员8人到“3D打印”班. 追梦专项总结突破卷（六） 1.D2.C3.4 4.90【解析】由题意可知，OF=OG,∠FC0=∠GD0=90°， I∠FOC=∠GOD 在△FC0和△GD0中， {∠FCO=∠GD0,∴.△FC0≌ OF=OG △GDO(AAS),∴.FC=DG,:当小敏从水平位置CD下降 40cm,即DG=40cm,∴.CF=40cm,又：点0至地面的距 离是50cm,.这时小明离地面的高度是50+40=90 (cm). 5.3.75【解析】设AC的长度为x尺，则AB=AB=（x+ 0.5)尺，在Rt△AB'C中，由勾股定理得：AC2+B'C2= AB2,即x2+22=(x+0.5)2,解得：x=3.75,即AC的长度 为3.75尺. 6.解：(1)2005054° (2)1800×200=450(人). 7.解：(1)海港C受台风影响，理由 如下：如图，过点C作CD⊥AB于 D,.AC=60km,BC=80km,AB =100km,..AC2+BC2 AB2... △ABC是直角三角形，且∠ACB= 90°，SaAc=2AC,BC=2AB.CD,AC:BC=AB· CD,即60x80=100xCD,.CD=48(km),.·以台风中心 为圆心周围50km以内为受影响区域，.海港C受到台 风影响； (2)当EC=50km,FC=50km时，正好影响海港C,.·CD ⊥AB,∴.DE=DF,由勾股定理得：DE=√EC2-CD= √502-482=14(km),.EF=2DE=2×14=28(km),:台 风的速度为14km/h,∴.28÷14=2（小时），答：台风影响 该海港持续的时间有2小时. 8.解：(1)同意他的看法，理由如下：0B⊥0C,.∠C0E+ ∠B0D=90.BD⊥OA,∠B+∠B0D=90°，.∠COE =∠B: (2)由题意可得0C=OA,∴.△AOC是等腰三角形，. ∠CA0=∠ACO..:∠COE=50°，∠CA0+∠AC0+∠COE =180,∠C40=180°-LC0E 65°； (3).CE⊥OA,BD⊥OA,.∠CE0=∠ODB=90°.又. ∠COE=∠B,OC=OB,.∴.△OCE≌△BOD(AAS),.∴.OE =BD=7cm,.∴.DE=0D-0E=15-7=8cm. 追梦专项总结突破卷（七） 1.解：(1)C (2)由题可知，BE=CD=1m,EC=BD-8m,∠AEC= ∠ABD=90.∠HGF=90°，∴.∠HGF=∠AEC.FG= I∠AEC=∠HGF DB,.∴.FG=CE.在△ACE和△HFG中，{CE=FG (∠ACE=∠HFG .△HFG≌△ACE(ASA),.HG=AE=14,∴.AB=AE+BE =14+1=15(m),答：旗杆AB的高度为15m; 上·ZBH·数学第13页