追梦专项总结突破卷(三) 全等三角形-【追梦之旅·铺路卷】2025-2026学年新教材八年级上册数学（华东师大版2024）

铺路卷 ZBH·( 八年级数学上 ,为期中、期末铺路，为中考、未来铺路 追梦专项总结突破卷（三） 十 全等三角形 题型一 全等三角形的常考类型 类型一对称型 1.如图，∠C=∠D=90°，AD交BC于点E,且AD=BC.求证：EA =EB 超 听 2.如图，AB=BC,∠BAD=∠BCD=90°，AE⊥EF于点E,CF⊥EF 廊 于点F,AE=CF.求证：点D是EF的中点. 陶 类型二平移型 3.如图，C是AE的中点，BC∥DE,BC=DE,连结AB,CD.求证：AB =CD. D 类型三旋转型 4.如图，已知AB=CD,AD⊥BC,垂足O是BC的中点.求证：AO =OD. 5.已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与 点B,点C重合).以AD为边作等边三角形ADE,连结CE. (1)如图1，当点D在边BC上时. ①求证：△ABD≌△ACE; ②直接判断结论BC=DC+CE是否成立（不需证明）； (2)如图2，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，请写 出BC,DC,CE之间存在的数量关系，并写出证明过程. B 图1 图2 类型四一线三等角型 6.小明用大小相同高度为2cm的10块小长方体垒了两堵与地面 垂直的木墙AD,BE,当他将一个等腰直角三角板ABC如图垂直 放入时，直角顶点C正好在水平线DE上，锐角顶点A和B分别 与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离。 7.“一线三等角”指的是图形中出现同一条直线上有3个角相等 的情况，经常会伴随着出现全等三角形 根据对材料的理解解决以下问题： M- 图1 图2 图3 (1)如图1，∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，AC=BC.猜想DE,AD, BE之间的关系 (2)如图2，将(1)中条件改为∠ADC=∠CEB=∠ACB=ax(90°< a<180),AC=BC,请问(1)中的结论是否成立？若成立，请给 出证明；若不成立，请说明理由； (3)如图3，在△ABC中，点D为AB上一点，DE=DF,∠A= ∠EDF=∠B,AE=3,BF=5,请直接写出AB的长 。23. 题型二角平分线与线段的垂直平分线的综合 8.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=2∠C,BE平分∠ABC 交AC于点E,AD⊥BE于点D,下列结论不正确的是() A.AC-BE=AE B.BE=CE C.∠DAB=∠C D.BC=4AD 9.如图，在△ABC中，AD为∠BAC的角平分线，FE垂直平分AD, 垂足为E,EF交BC的延长线于点F,若∠CAF=50°，求∠B的 度数. 10.如图，在△ABC中，AC⊥BC,AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E. 求证：直线AD是CE的垂直平分线 11.如图，△ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于 点P,PD⊥AB于点D,PE⊥AC于点E.求证：BD=CE. 。24… 题型三等腰三角形的分类讨论 12.等腰三角形的周长为20cm,一边为8cm,则腰长为( ) A.4 cm B.8 cm C.4cm或8cm D.6cm或8cm 13.已知等腰△ABC中，∠A=50°，则∠B的度数为() A.509 B.65° C.50°或659 D.50°或80°或65 14.等腰三角形的一个角的外角为110°，则这个等腰三角形的顶 角度数为() A.110° B.110°或70° C.70°或40° D.40° 15.若等腰三角形两边长分别是2和6，则它的周长是() A.10 B.14 C.10或14 D.8 16.已知等腰三角形的三边长分别为m-2,2m+1,8,求等腰三角形 的周长， 17.已知一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，求这 个等腰三角形顶角的度数， 题型四构造等腰三角形 18.如图，△ABC中，AB=AC,点D在AB上，点E在AC的延长线 上，BD=CE,试说明DF=EF的理由. 易错 分析 谢 19.如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D,且AB+BD= DC.求∠C的度数. D 些 做题 心得 20.如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=90°，BE是角平分线，CD⊥BE 交BE的延长线于点D,求证：BE=2CD. 笨 B错误；7<4+√15<8，C正确；5<4+√3<6，D错误.故选C. 8.解：(1)原式=2-4-1=-3； (2)原式=2-√5-(3-4-2)-9=2-√3+3-9=-√3-4. 9.解：(1)一个数的平方根是3a+1和a+11,.3a+1+a+ 11=0,解得a=-3,则3a+1=-8,故这个数为(-8)2=64， 则这个数的立方根为4； (2)由x-2的平方根是±2,2x+y+7的立方根是3，得x-2 =4,2x+y+7=27,解得x=6,y=8.x2+y2=100,∴.x2+y1 的算术平方根是10. 10.解：(1)<< (2)√17-√16m-√n-I (3)原式=√2-1+3-√2+√4-3+…+√n+1-√n= 大 √n+1-1. 11.解：(1)3 豪 (2)3<√15<4，.-4<-15<-3，.4<8-√15<5， 8-√15的小数部分m=8-√15-4=4-√15，.11<8+ √5<12，.8+√5的小数部分n=8+√15-11=√5 -3,.(x-1)2=4-√15+√15-3=1，解得x=0或x=2. 12.、V2028 22027 13.解：(1)√1+2+33+4+5+6=√217=21： （2）√+2+33+43+5+6+7+8+9+10=√/55 =55; (3）+2+3+4+5+6+…+n= /n(nt1)2 2 =n(n+1) 2 14.解：(1)-17(2)3 (3)设第x秒时，BA=BC,根据题意得x+1=7-x,解得x =3,.第3秒时，恰好有BA=BC. 追梦专项总结突破卷（二） 1.B 2.B【解析】9-=(32)-6=(3-)2=(3÷3)2=(5÷10)2= 4故选B 3.16【解析】am+"·am-=a2m=8×2=16. 4.解：(1)当a"=3,a=5时，a2mn=a2m·a”=(a)2a=32× 5=45； (2)当am=3,a=5时，a-3n=am÷a3=am÷(a)3=3÷5 3 125 5.3a-1 6.9【解析】原式=6ax3+(18-2a)x2+(a-6)x+3,由题意 可知18-2a=0,解得a=9. 7.解：(1)由题意可知：(3x-a)(2x+b)=6x2-13x+6,(3x+ a)(x+b)=3x2-7x-6,.6x2+(3b-2a)x-ab=6x2-13x+6, 3x2+(3b+a)x+ab=3x2-7x-6,. 3b-2a=-13,解 (3b+a=-7 得82 (2)(3x+2)(2x-3)=6x2-9x+4x-6=6x2-5x-6. 8.D9.B10.D 11.±1212.1 13.x+2【解析】[(2x+3)2-(x+3)2]÷3x=x+2. 14.解：原式=(x2-4xy+4y2-x2+4y2-4xy-8y2)÷2x=-8xy÷ 2x=-4y,√x-1+ly+2|=0,x-1=0,y+2=0,.x= 1,y=-2,当x=1y=-2时，原式=-4×(-2)=8. 15.D 16.A【解析】a2+bc=b2+ac整理，得(a+b)(a-b)-c(a-b) =0,即(a-b)(a+b-c)=0,:a+b-c≠0，∴.a-b=0,即a 追梦之旅铺路卷·八年级 =b,则△ABC为等腰三角形.故选A. 17.解：(1)原式=-3(x2-2xy+y2)=-3(x-y)2; (2)原式=(x-y)(a2-16)=(x-y)(a+4)(a-4). 18.解：(1)原式=[(5a+3b)+(3a+5b)][(5a+3b)-(3a+ 5b)]=(5a+3b+3a+5b)(5a+3b-3a-5b)=(8a+8b)(2a -2b)=16(a+b)(a-b); (2)原式=(x2-4y2)-(2x+4y)=（x+2y)(x-2y)-2(x+ 2y)=(x+2y)(x-2y-2). 追梦专项总结突破卷（三） 1.证明：∠C=∠D=90°，∴.△ABC与△ABD为直角三角 (BA=AB 形，在Rt△BAD和Rt△ABC中，{D=BCRt△BAD≌ Rt△ABC(HL),∴.∠BAD=∠ABC,∴.EA=EB. 2.证明：：∠BAD=∠BCD=90°，在Rt△ABD和Rt△CBD 中，{BB=BgRt△ABD≌Rt△CBD(H),AD=CD, .AE⊥EF于点E,CF⊥EF于点F,∴.∠E=∠F=90°，在 R△ADE和RL△CDF中，{D:CP,RI△ADE≌Rm △CDF(HL),.DE=DF,即点D是EF的中点. 3.证明：点C是AE的中点，.AC=CE,BC∥DE, (AC=CE ∠ACB=∠E,在△ACB和△CED中，{∠ACB=∠E,∴. CB=ED △ACB≌△CED(SAS),∴.AB=CD. 4.证明：0是BC的中点，.OB=OC,AD⊥BC, ∠AOB=∠COD=90°，在Rt△AOB和Rt△DOC中， {OB=OC,…Rt△A0B≌Rt△D0C(H),∴A0=0D. 5.(1)①证明：△ABC和△ADE是等边三角形，.∠BAC =∠DAE=6O°，AB=AC,AD=AE.·.∠BAC-∠DAC= ∠DAE-∠DAC,∴.∠BAD=∠CAE.在△ABD和△ACE中 AB=AC ∠BAD=∠CAE,'.△ABD≌△ACE(SAS); AD=AE ②结论BC=DC+CE成立； (2)BC+CD=CE.证明：△ABC和△ADE是等边三角 形，.∠BAC=∠DAE=60°，AB=AC,AD=AE.∴∠BAC+ LDAC=∠DAE+LDAC,∴.∠BAD=∠EAC.在△ABD和 (AB=AC △ACE中∠BAD=∠CAE,∴.△ABD≌△ACE(SAS)..∴. (AD=AE BD=CE.·BD=BC+CD,∴.CE=BC+CD. 6.解：由题意，得AC=BC,∠ACB=90°..·AD⊥DE,BE⊥ DE,∴.∠ADC=∠CEB=90°，∴.∠ACD+∠BCE=90， ∠ACD+∠DAC=90°，∴.∠ECB=∠DAC,在△ADC和 I∠ADC=∠CEB △CEB中， ∠DAC=∠ECB,..△ADC≌△CEB(AAS), AC=CB .'AD=EC=6cm,DC=BE=14cm,.'.DE=DC+CE=20cm, 故两堵木墙之间的距离为20cm. 7.解：(1)DE=AD+BE (2)成立.证明：∠ADC=∠CEB=∠ACB,∠BCE+ ∠ACD=180°-∠ACB,∠ACD+∠CAD=180°-∠ADC,. ∠CAD=∠BCE.在△ADC和△CEB中， ∠ADC=∠CEB ∠CAD=∠BCE,∴.△ADC≌△CEB(AAS),∴.AD=CE, AC=CB DC=BE..DE=AD+BE: (3)AB=8. 8.C【解析】C.∠BAC=90°，∠ABC=2∠C,.∠ABC+ ∠C=90°，∴.2∠C+∠C=90°，∴.∠C=30°，∠ABC=60°， .BE平分∠ABC交AC于点E,.∠EBC=∠EBA= 上·ZBH·数学第11页 2∠ABC=30°，AD⊥BE于点D,LADB=90, ∠DAB=90°-∠EBA=90°-30°=60°，.∠DAB≠∠C.故 选C. 9.解：·EF垂直平分AD,.AF=DF,.∠ADF=∠DAF,. ∠ADF=∠B+∠BAD,∠DAF=∠CAF+∠CAD,又'AD平 分∠BAC,.∠BAD=∠CAD,.LB=LCAF=50. 10.证明：DE⊥AB,AC⊥BC,.∠AED=∠ACB=90°.又 :AD平分∠BAC,.∠DAE=∠DAC.在△AED和 I∠AED=∠ACD △ACD中，{∠DAE=∠DAC,.△AED≌△ACD(AAS), AD=AD .AE=AC.AD平分∠BAC,DE⊥AB,AC⊥BC,DE= DC,.AD平分线段EC,即直线AD是线段CE的垂直 平分线. 11.证明：连结BP、CP,点P在BC的垂直平分线上， BP=CP,AP是∠DAC的平分线，PD⊥AB,PE⊥AC, P=EBR,在R△BP和△CEP中，BPE Rt△BDP≌Rt△CEP(HL),.BD=CE. 12.D13.D 14.C【解析】当这个外角为顶角的外角时，则顶角为180° -110°=70°：当这个外角为底角的外角时，顶角为180 -110°=70°，180°-70°-70°=40°.故选C. 15.B 【方法点拨】本题考查等腰三角形的知识，关键是注意分 类讨论哪个边为腰，不要漏解，然后判断是否满足构成三 角形的条件，最后得出周长. 16.解：分三种情况：当m-2=2m+1时，解得m=-3,∴.m-2 =-5(舍去)；当m-2=8时，解得m=10,∴.2m+1=21, 三边长分别为：8,21,8,8+8=16<21，.不能组成 三角形；当2m+1=8时，解得m=3.5,∴.m-2=1.5,. 三边长分别为：1.5,8,8，.等腰三角形的周长=1.5+8 ×2=17.5.综上所述，等腰三角形的周长为17.5. 17.解：如图1，当等腰三角形为锐角三角形，·BD⊥AC, ∠ABD=40°，∠A=50°，即顶角的度数为50°.如图2 当等腰三角形为钝角三角形，：BDLAC,∠DBA=4O° .∠BAD=50°，.∠BAC=130°.综上，这个等腰三角形 顶角的度数为50°或130°， 图1 图2 18.解：过点D作DG∥AC交BC于点G,AB=AC,∠B= ∠ACB,DG∥AC,.∠DGB=∠ACB,∠GDF=∠E, ∠B=∠DGB,∴.BD=DG.BD=CE,∴.DG=CE.在 LGFD=∠CFE △DGF和△ECF中，{LGDF=LE,·△DGF≌ GD=CE △ECF(AAS),∴.DF=EF. 19.解：在DC上截取DH,使得DH=DB,连结AH.BD= DH,AD⊥BH,∴.AB=AH,.AB+BD=DC,DC=DH+HC .AB=CH=AH,∴.∠B=LAHD,∠C=∠HAC.设∠C= x,∠AHB=∠B=2x,.'∠B+∠C+∠BAC=180°，∴.3x+ 120°=180°，∴.x=20°，∴.∠C=20°. 20.证明：延长BA和CD交于点Q,:∠CAQ=∠BAE= LBDC=90°，∠ACQ+∠Q=90°，∠ABE+∠Q=90°， ∠ACQ=∠ABE,在△ABE和△ACQ中 （∠ABE=∠ACQ AB=AC ,.△ABE≌△ACQ(ASA),.BE=CQ, ∠BAE=∠CAQ 追梦之旅铺路卷·八年级 BD平分LABC,∴∠QBD=LCBD,∠BDC=90°， .·.∠BDC=∠BDO=90°，在△QDB和△CDB中， I∠QBD=LCBD BD=BD ,∴，△QDB≌△CDB(ASA),∴.CD= (∠BDO=∠BDC DQ,.'.BE=CQ=2CD. 追梦专项总结突破卷（四） 1.C 2.B【解析】将△ABM沿AM折叠，.AB=AB',又：A （-3,0),B(0,4),∴.AB=5=AB',点B的坐标为(2， 0),设M点坐标为(0，b),则BM=BM=4-b.:B'M2= B040n(4-b2=2486=子M0,.故 选B. 大 3.B【解析】：四边形ABCD为长方形，AB=8,.∠B= ∠C=∠D=90°，AD=BC,CD=AB=8.,·DE=5,∴.CE= CD-DE=3.由折叠，得∠AFE=∠D=90°，AF=AD,EF= 案 DE=5,在Rt△CEF中，CF=√52-32=4，设BF=x,则AF =x+4,在Rt△ABF中，AB2+BF2=AF2,即82+x2=(x+ 4)2,解得x=6,.AD=AF=x+4=10.故选B. 4.√6【解析】连结BM.:四边形ABCD为正方形，AB= 2 4,∴.∠A=∠D=90°，AD=CD=AB=4..点E是CD边的 中点，∴.DE=2,在Rt△ABM和Rt△DEM中，由勾股定理 可得：BMP=AB2+AM,ME2=DE2+DM,设AM=x,则DM =4-x,∴.BM2=42+x2,ME2=22+(4-x)2,由折叠性质可 得ME=B4+=24(4-,解得=分DM= AD-AM=子，ME=VDm+DE=Y 2 5.解：作B点关于CD的对称点B',连结AB',交CD于P, 过点B'作B'E⊥AC,交AC延长线于E,连结BP,由对称 可知：PB=PB',DB′=BD=CE=200米，∴.PA+PB=AB' 在Rt△AEB'中，AB'=VAE+B'E= √(200+400)2+4502=750（米），即将军至少要走 750米. 6.B【解析】如图所示：由于圆柱体的底面周长为10cm, 则AD=10x7-5(cm).又周为CD=AB=12cm,所以AC =√12+5=13(cm).故蚂蚁从，点A出发沿着圆柱体的 表面爬行到，点C的最短路程是13cm.故选B. B D 7.138.269./80 10.100或28【解析】①若AC为斜边.AB=8,BC=6, AC=√AB+BC=√82+6=10，.10×10=100；②若 AC为直角边.AB=8,BC=6,.AC=√AB-BC= √82-6=√28.√28×√28=28. 11.√13或√I0【解析】①当点P靠近，点B时.∠ACB= 90C-G3.PBBC1CP-2.AP- √AC+PC=√3，②当点P靠近点C时，LACB= 90AC=BC3PC-BC1AP-ACPC √10.综上所迷述，AP的长为√13或√10. 上·ZBH·数学第12页