铺路帮手 期末测试前题组训练 中档解答题(针对21-23题)-【追梦之旅·铺路卷】2025-2026学年新教材八年级上册数学（华东师大版2024）

.原式=(2-3)2=1. (8分) 4.证明：.·AD=AE,..∠E=∠ADE=30°，.∠CAB=∠E+ ∠ADE=30°+30°=60°， (2分) .DF⊥BC,∴.∠EFC=90°，.∠C=90°-∠E=60°， (5分) .∠B=180°-∠C-∠CAB=180°-60°-60°=60°，∴.∠C =∠B=∠CAB,.△ABC为等边三角形 (8分) 5.（1)证明：∠BCE=∠ACD,∴.∠ACB=∠DCE,在△ABC ∠ACB=∠DCE 与△DEC中， ∠BAC=∠D ,.△ABC≌△DEC BC=EC (AAS); (4分) (2)解：.△ABC≌△DEC,.DE=AB=2,AC=CD,又. ∠ACD=90°，.AD=√/50，∴.AE=AD-DE=√J50-2. (8分) 6.解：(1)C (1分) (2)4012 15% 17.5% (5分) 补全统计图如下： (7分) 121频数 1112 ǒ 6 4 0 成绩/分 25303540455 (3)1200x12+7 =570(人)，.该校掌握法制知识的人数 40 为570人，：该校掌握法制知识的人数还不到总人数的 一半，.该校应该加强对法制知识的宣传，可以安排专 门的法制知识讲座和法制知识竞赛等等. (10分) 7.解：(1)可以.具体的方法是：用卷尺量出AB、AD和BD 的长度，计算AB2、AD2和BD2的值，若AB2+AD2=BD2 则根据勾股定理可知∠BAD=90°，即AD⊥AB;（3分) 同理可证得BC⊥AB: (4分) (2)在△ADB中，因为AD=30cm,AB=40cm,BD=50cm, 所以AD+AB2=2500=BD2,所以∠DAB=90°，所以AD⊥ AB; (7分) (3)在AB边上量一小段AE=8Cm,在AD边上量一小段 AF=6Cm,AE+AF2=82+62=100=102,这时只要量一下 EF是否等于10cm即可.同理可得，则边BC与边AB也 铺 垂直 (10分) 中档解答题 帮 1.解：(1)3.5 (2分) 答 (2)如图，由勾股定理，知MN=√m+16n,NP= √9m2+4n,PM=√4m2+4n,△MNP即为所求；(4分) 2×2mx2n- 1 △MNP的面积为：3m×4n- ×m×4n- 2 2+ 3mx2n=12mn-2mn-2mn-3mn=5mn; (6分) (3)√x+1可看作两直角边分别为x和1的Rt△ACP的 斜边长，√(4-x)2+4可看作两直角边分别是4-x和2的 Rt△BDP的斜边长，构造图形如下： A B 依题意，得AC=1,DB=2,CD=4,CP=x,PD=4-x,求代数 式√x2+1+√(4-x)2+4(0≤x≤4)的最小值，就是求AP 追梦之旅铺路卷·八年级 +BP的最小值，当AP与BP共线时，AP+BP最小，最小值 为AB的长.AE=AC+CE=1+2=3,BE=CD=4,∴.由勾股 定理，得AB=√AE+BE=√3+4平=5，.代数式√x2+1 +√(4-x)2+4(0≤x≤4)的最小值是5. (10分) 2.解：(1)2 (2分) (2)当点D在AC上，即0<t<2.5时，AD=10-4t,(4分) 当点D在AB上，即2.5<t≤4.5时，AD=4t-10;(6分) (3)当△CBD是以BD为底的等腰三角形时，CD=BC= 6,∴.t=1.5, (8分) 当△CBD是以CD为底的等腰三角形时，BD=BC=6,过 点B作BE LAC于E,则CE=DE,SAAc7BC,ABE 号4C~BE…号×6x8=×10xB,解得：BB=48,由勾 2 股定理得：CE=√BC-BE=√6-4.8=3.6，.CD= 7.2t=1.8,综上所述，当t=1.5或1.8时，△CBD是 以BD或CD为底的等腰三角形 (10分) 3.解：(1)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac (2分) (2)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac,.2(ab+bc+ ca)=(a+b+c)2-(a2+62+c2),..ab+bc+ca= (a+b+o)2-(d2+6+c2）.a+b+c=0,a2+62+c2=4,六ab+ 2 bc+ca=-2; (6分) (3)由(1)得：(ab+bc+ca)2=a2b2+b2c2+c2a2+2ab2c+ 2abc2+2a2bc,..a2b2+b2c2+c2a2=(ab+bc+ca)2-2ab2c- 2abc2-2a2bc=(-2)2-2abc(a+b+c）=4-2abcx0=4.a+ b+c=0,∴.c=-a-b.a2+b2+c2=4,a2+b2+(-a-b)2= 即2a2+26+2ab=4,a2+62+ab=2,心原式=号 (10分) 4.解：(1)AE=BDAE⊥BD (2分) 【解析】如图1，在△ACE和△BCD中， (AC=BC ∠ACB=∠ECD=90°，∴.△ACE≌△BCD(SAS),∴.∠1 EC=DC =∠2，AE=BD,∠3=∠4，∴.∠BFE=∠ACE=90°，. AE⊥BD; (2)(1)中结论仍然成立. (3分) 证明：如图2，.·∠ACB=∠ECD,.∠ACB+∠ACD= ∠ECD+∠ACD,:∴.∠BCD=∠ACE,在△ACE和△BCD (AC=BC 中，∠ACE=∠BCD,.△ACE≌△BCD(SAS),.∠1= EC=DC ∠2，AE=BD,:∠3=∠4，、∠BFA=∠BCA=90°，AF ⊥BD; (6分) (3)∠AFG的大小固定. (7分) 理由如下：如图3，过点C作CM⊥BD,CN⊥AE,垂足分 别为M、N,:△ACE≌△BCD,.S△ACE=S△BcD,AE=BD, 1 :Saae=2AE·CN,Saam=2BD·CM,CM=CN,s CM⊥BD,CN⊥AE,.FC平分∠BFE,:AF⊥BD, ∠BFE=90°，.∠EFC=45°，∴.∠AFG=45°. (10分) 22 上·ZBH·数学第23页期末测试 中档解答题( 1.（10分)综合探究： “在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为 √5，√10，√13，求这个三角形的面积.” 小明同学在解答这道题时，先建立一个正方 形网格（每个小正方形的边长为1），再在网 格中画出格点△ABC(即△ABC三个顶点都 在小正方形的顶点处)，如图1所示，这样 不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出 它的面积.我们把上述求△ABC面积的方法 叫做构图法 (1)直接写出图1中△ABC的面积 是 (2)若△MNP的边长分别为√m+16n2, √9m2+4n2,√4m2+4n2(m>0,n>0,且m≠ n),试运用构图法在图2中画出相应的 △MNP,并求出△MWP的面积； (3)拓展应用：求代数式√x+1+ √(4-x)2+4(0≤x≤4)的最小值 图1 图2 追梦之旅铺路卷·铺路帮手· 了题组训练 针对21-23题) 满分：40分 2.数学思想·分类讨论(10分)如图，在 Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8,BC=6,动 点D从点C出发，沿边CA-AB向点B运 动，到点B时停止，若设点D运动的时间 为t(t>0)秒，点D运动的速度为每秒4个 单位长度， (1)当t=3时，AD= (2)用含t的代数式表示AD(AD>0)的长； (3)当点D在边CA上运动时，若△CBD是 以BD或CD为底的等腰三角形，求t 的值 年级上·ZBH·数学第31页 3.数学思想·数形结合(10分)数和形是数学 研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重 研究物体数量方面，具有精确性，形（几何） 侧重研究物体形的方面，具有直观性.“以 形释数”是利用数形结合思想证明代数问 题的一种体现，做整式的乘法运算时，利用 几何直观的方法和面积法获取结论，在解决 整式运算问题时经常运用. 【问题探究】 探究1：如图1所示，大正方形的边长是(a+ b),它是由两个正方形和两个长方形组成， 所以大正方形的面积等于这四个图形的面 积之和.根据等积法，我们可以得出结论 (a+b)2=a2+2ab+b2. b山c a _ab b2 a 图1 图2 探究2：请你根据探究1所使用的等积法， 从图2中探究出(a+b+c)2的结果 【形成结论】 (1)探究2中(a+b+c)2= 【应用结论】 (2)利用(1)问所得到的结论求解：已知α+ b+c=0,a2+b2+c2=4,求ab+bc+ca的值； 【拓展应用】 (3)在(2)的条件下，求6+62+e2z a2+ab+b2 的值 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八 4.数学思想·类比思想(10分)【问题情境】在 △ABC和△DEC中，AC=BC,DC=EC, ∠ACB=∠DCE=90. 图1 图2 图3 (1)【初步探究】如图1，当点A,C,D在同一 条直线上时，连结BD、AE,延长AE交BD于 点F,则AE与BD的数量关系是 位置关系是 (2)【类比探究】如图2，当点A、C、D不在同 一条直线上时，连结AE交DC于点H,连结 BD交AE于点F,(1)中结论是否仍然成 立，为什么？ (3)【衍生拓展】如图3，在(2)的条件下，连 结CF并延长CF交AD于点G,∠AFG的大 小固定吗？若固定，求出∠AFG的度数；若 不固定，请说明理由， 年级上·ZBH·数学第32页