铺路帮手 第12章 全等三角形-【追梦之旅·铺路卷】2025-2026学年新教材八年级上册数学（华东师大版2024）

4.C【解析】原式=(k+3+k-2)(k+3-k+2)=5(2k+1),由 条件可知2k+1是整数，.(k+3)2-(k-2)2的值总能被5 整除.故选C. 5.C6.B 7.15 8.等腰 【方法点拨】因为(a-b)2+(a-b)c=(a-b)(a-b+c)=0,通 过题目已知条件可以得到a-b+c≠0，所以a-b=0,即a= b,则此三角形是等腰三角形 9.48【解析】根据题意得a+b=6,ab=8,所以a2b+ab2= ab(a+b)=8×6=48. 10.(2a+b)(2b+a) 11.解：(1)原式=[4(x-y)+5(x+y)][4(x-y)-5(x+y)]= (4x-4y+5x+5y)(4x-4y-5x-5y)=(9x+y)(-x-9y)= -(9x+y)(x+9y); (4分) (2)原式=(x2+6x+9)2=[(x+3)2]2=(x+3)4.(8分) 12.解：原式=a(a+b)[a-b-(a+b)]=a(a+b)(-2b)= -2ab(a+b), (4分) a6=1,ah=原式=-2xx1= (8分) 13.解：(1)(a+2b)(a+b) (2分) (2)①a (5分) b CCC B ②314 (8分) ③(3a+b)(a+b) (10分) 14.解：(1)设x-y=m,原式=1-2m+m2=(1-m)2=[1-(x- y)]2=(1-x+y)2; (3分) (2)设a+2=m,原式=25m2-10m+1=(5m-1)2=[5(a+ 2)-1]2=(5a+9)2; (6分) (3)设y2-6y=m,原式=m(m+18)+81=m2+18m+81= (m+9)2=(y2-6y+9)2=(y-3)4. (9分) 专题因式分解及其应用 1.(1)(x+p)(x+q) (2)①(m-2)(m+9)②(x+2)(x-4) ③(xy-2)(xy-5) 2.解：(1)原式=(mn2-2mn)+(2n-4)=mn(n-2)+2(n-2) =（n-2)(mn+2); (2)原式=(x2-2xy+y2)-16=(x-y)2-42=(x-y-4)(x-y +4); (3)原式=4x2-4x+1-y2+4y-4=(4x2-4x+1)-(y2-4y+ 4)=(2x-1)2-(y-2)2=(2x-1-y+2)(2x-1+y-2)=(2x -y+1)(2x+y-3). 3.解：(1)2a2+5ab+2b2=(2a+b)(a+2b) (2)甲型、乙型卡片的面积和为136，.2a2+2b2=136, 即a2+b2=68.大长方形卡片的周长为60，.2[(2a+b) +(a+2b)]=60,即a+b=10.(a+b)2=a2+62+2ab,∴ 102=68+2ab,.ab=16,.2a2+5ab+2b2=136+5×16= 216,∴.大长方形卡片的面积为216. 第12章全等三角形 命题、定义、定理与证明、全等三角形的判定 1.B2.C 3.C【解析】AD⊥BC,BF⊥AC,.∠ADC=∠ADB= ∠BFC=90°，.∴.∠C+∠DAC=∠C+∠DBF=90°，∴. ∠DAC=∠DBF.在△DBE和△DAC中 LDBE=∠DAC BD=AD ,.△DBE≌△DAC(ASA),.CD=ED= (∠BDE=∠ADC 2,..AE=AD-DE=3.故选C. 4.A【解析】在△AOB和△DOC中，OA=OD,∠AOB= ∠D0C,B0=C0,∴.△AOB≌△D0C(SAS),∴.AB=CD=5 追梦之旅铺路卷·八年级 厘米，：EF=7厘米，.圆柱形容器的壁厚是2×(7-5) =1(厘米).故选A. 5.A 6.如果两个角相等，那么它们的补角相等 7.AD=CE(答案不唯一) 8.96°【解析】在△AMK和△BKN中，AM=BK,∠A=∠B, AK=BN,.△AMK≌△BKN(SAS),∴.∠AMK=∠BKN, .∠MKB=∠MKN+∠NKB=∠A+∠AMK,.∠A= ∠MKN=42°，∴.∠P=180°-LA-∠B=96. 9.4【解析】延长AD交BC于点E.BD平分∠ABC,AD ⊥BD,∴.∠ABD=∠EBD,∠ADB=∠EDB=90°..BD= BD,.△ABD≌△EBD(ASA),.AD=ED,.S△ADB= S△BDE,SAADG=SADEC:S△BGn=2,.S△ADB+SAADG=S△BDE+ S△DEc=S△BDc=2,.SAABC=4. 10.6或12【解析】①当AP=CB时，∠C=∠QAP=90. 在m△MBc与△0Pi中，B-0兰 Rt△QPA(HL),∴.AP=BC=6;②当P运动到与C点重 合时，AP=AC,在Rt△PAQ与Rt△ACB中，{0PA Rt△PAQ≌Rt△ACB(HL),∴.AP=AC=12.综上所述， AP=6或12. 11.FC等式的性质EFD SAS D(每空2分，共10分) 12.解：.·∠BAD=∠EAC,.∠BAD+∠CAD=∠EAC+ ∠CAD,即∠BAC=∠EAD, (3分) (AB=AE 在△BAC与△EAD中，{∠BAC=∠EAD,.△BAC≌ (AC=AD △EAD(SAS)..∴.∠D=∠C. (8分) ∠C=50°，∴∠D=∠C=50° (10分) 13.证明：(1)AB=BC,∠ABC=90°，.∠C=45°.：B0⊥ AC,.∠1=45°，∴.∠1=∠C=45°. (2分) PB=PD,∴.∠2=∠PBD.∠3=∠PBD-∠1，∠4= ∠2-LC,∴.∠3=∠4. （4分) ,BO⊥AC,DE⊥AC,.∴.∠BOP=∠PED=90°.在△BPO (∠3=∠4 和△PDE中，{∠BOP=∠PED,∴.△BPO≌△PDE BP=PD (AAS): (5分) (2)由(1)，得∠3=∠4，BP平分∠AB0,.∠ABP= 路 ∠3，∴.∠ABP=∠4 (8分) ∠A=∠C 手 在△ABP和△CPD中 ∠ABP=∠4，∴.△ABP≌△CPD PB=PD 案 (AAS),∴.AP=CD (10分) 等腰三角形 1.D 2.C【解析】：AC=BC,∠C=36°，∴.△ABC是等腰三角 形，∠BAC=∠ABC=72°，.·AD平分∠BAC,.∴.∠CAD= ∠BAD=∠C=36°，∴.△CAD为等腰三角形，∠BDA=∠C +∠CAD=72°=∠B,.△BAD为等腰三角形，则图中等 腰三角形的个数是3个.故选C. 3.C【解析】在△ABC中，∠A=45°，∠B=60°，∴.∠ACB= 180°-45°-60°=75°..BD=BC,∴.∠BCD=(180°-60°) ÷2=60°，.∠ACD=∠ACB-∠BCD=75°-60°=15°.故 选C. 4.A 5.C【解析】解法一：AB=AC,D是BC的中点，.AD⊥ BC,∠C=∠ABC=30°，∴.∠CAD=180°-90°-30°=60°. 解法二：AB=AC,∠ABC=30°，.∠C=∠ABC=30°， ∠BAC=180°-∠ABC-∠C=120°..D是BC的中点，. 1 AD平分LBMC,.∠CAD=2∠BAC=60°，故选C. 上·ZBH·数学第18页 6.C【解析】.·△ABC的两个内角的平分线B0,C0相交 于点O,.LAB0=∠CBO,∠AC0=∠BCO,:MN∥BC .∠MOB=∠CBO,∠NOC=∠BCO,.∠MOB=∠MB0. ∠NCO=∠NOC,∴.MO=MB,NO=NC,∴.MW=MB+NC, △AMW的周长为15，.AB+AC=15,BC=8, △ABC的周长为15+8=23.故选C. 7.C【解析】△AB,A2为等边三角形，.∠B,A,A2= 60°，A1B1=A1A2,.∠AB10=∠B1A1A2-∠M0N=60°- 30°=30°，.∠A1B10=∠M0N,.A,B1=0A1,.A1B1= AA2=0A1,同理可得A2B2=A2A3=0A2=20A1,∴.A3B3= A3A4=0A3=20A2=22·0A1,A4B4=A4A5=0A4=20A3=2 ·0A1,.AnBn=AnAn+1=2-1·0A1=2,△A5B6A,的边 长：A6B。=2=64.故选C. 8.等腰三角形的三线合 【拓展】我们知道等腰三角形的“三线合一”定理，即：等 腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相 重合.我们也可以逆用“三线合一”定理，证明这个三角形 是等腰三角形，即：在三角形中，角平分线、中线、高线只 要两线重合，则这个三角形是等腰三角形 9.32 10.4或12【解析】①当点P在线段OC上时，设t时后 △P0Q是等腰三角形，有OP=0C-CP=OQ,即12-2t= t,解得t=4:②当点P在C0的延长线上时，此时经过 C0时的时间已用6s,当△POQ是等腰三角形时， ∠P0Q=60°，.△P0Q是等边三角形，OP=0Q,即2 (t-6)=t,解得t=12,综上所述，当t=4或12s时， △POO是等腰三角形. 11.证明：(1)在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC, ∠A=∠B=45°. (2分) 又：F是AB的中点，.∠ACF=∠FCB=45°，即∠A= ∠FCA=∠FCB=45°，且AF=CF. (3分) 在△ADF和△CEF中，AD=CE,∠A=∠FCE,AF=CF ∴.△ADF≌△CEF(SAS); (5分) (2)由(1)知△ADF≌△CEF,.DF=FE,.△DFE是等 腰三角形 (7分) 又.·F是AB的中点，∠AFD=∠CFE,.∠AFD+∠DFC =∠CFE+∠DFC=∠DFE=90°，∴.△DFE是等腰直角 三角形. (8分) 12.(1)解：△ADE是等腰三角形， (2分) 路 理由：AB=AC,∠B=60°，△ABC是等边三角形， ∠C=LBAC=60°，∠BAD=20°，∴.∠DAE=∠BAC- 手 ∠BAD=40°，.∠AED是△CDE的一个外角，..∠AED =∠C+∠CDE=70°，∴.∠ADE=180°-∠DAE-∠AED= 案 70°，.∠ADE=∠AED=70°，.AD=AE,.△ADE是等 腰三角形； (4分) (2)当x=2B时，使得AD=AE」 (6分) 证明：.AB=AC,.∠B=∠C..·AD=AE,∴.∠ADE= ∠AED.∴.180°-∠ADB-∠CDE=∠CDE+∠C,即180° ∠ADB=2∠CDE+∠C..:∠BAD=,∠CDE=B,∴.180° -(180°-x-∠B)=2B+∠C.∴.ax=2B. (8分) 13.(1BE+BD=BF (2分) 【解析】.点F与，点A重合，△ABC与△ADE都是等边 三角形，.AB=AC=BC,∠BAC=60°，AD=AE,∠DAE= 60°，.∠BAE=∠DAE-∠BAD=60°-∠BAD,∠CAD= ∠BAC-∠BAD=60°-∠BAD,∴.∠BAE=∠CAD,. △CAD≌△BAE(SAS),∴.BE=CD,∴.BE+BD=CD+BD =BC..·BC=BF,∴.BE+BD=BF; (2)图2猜想：BE+BD=BF.图3猜想：BD+BF=BE. (4分) 图3证明：过点D作DG∥AC,交AB于点G..:△ABC是 等边三角形，.∠ABC=LA=∠C=60.DG∥AC, ∠BGD=∠A=60°，∠BDG=∠C=60°，∴.△BDG为等边 三角形，.BD=DG=BG. (6分) 追梦之旅铺路卷·八年级 :△DEF为等边三角形，.DE=DF,∠FDE=60°. ∠GDB+∠BDF=∠EDF+∠BDF,即∠GDF=∠BDE,∴ △BDE≌△GDF(SAS),.BE=GF.:GF=BF+BG=BF +BD,∴.BD+BF=BE. (9分) 专题构造等腰三角形的常用方法 1.A【解析】延长BD交AC于E,.:CD平分∠ACB,BDL CD,∴.△BCE为等腰三角形，∴，DE=BD=1,CE=CB=3, .∠A=∠ABD,∴.EA=EB=2,∴.AC=AE+CE=2+3=5. 故选A 2.证明：延长BE交AC于点F.:BE⊥AD,.∠AEB= ∠AEF..'AD平分∠BAC,.∠BAE=∠FAE.在△ABE和 I∠AEB=∠AEF △AFE中，{AE=AE ,∴.△ABE≌△AFE(ASA). (∠BAE=∠FAE ∠ABF=∠AFB,AB=AF,BE=FE..:∠C+∠CBF=∠AFB =∠ABF,∠ABF+∠CBF=∠ABC=3∠C,∴.∠C+2∠CBF =3LC.∠CBF=∠C.BF=CP,.BE=BF=CR 2 2 CF-AC-AF-AC-AB.BE-(AC-AB). 3.解：(1)AD=CE,理由如下：过点D作DP∥BC,交AB于 点P.:△ABC是等边三角形，.△APD也是等边三角 形，'.AP=PD=AD,∠APD=∠ABC=∠ACB=∠PDA= 60°.∴.∠BPD=∠DCE=120°..·DB=DE,∴.∠DBC= ∠DEC..·DP∥BC,∴.∠PDB=∠CBD,∴.∠PDB= ∠DEC.在△BPD和△DCE中，∠PDB=∠CED,∠BPD= ∠DCE,DB=ED,∴.△BPD≌△DCE(AAS),∴.PD=CE, ∴.AD=CE: (2)(1)中结论仍成立，即AD=CE.理由如下：过点D作 DP∥BC,交AB的延长线于点P.:△ABC是等边三角 形，∴.△APD也是等边三角形，.AP=PD=AD,∠APD= ∠ABC=∠ACB=∠PDA=6O°..·DB=DE,∴.∠DBC= ∠DEC.DP∥BC,.∠PDB=∠CBD,∴.∠PDB= ∠CED,在△BPD和△DCE中，∠PDB=LCED,∠P= ∠DCE,DB=ED,∴.△BPD≌△DCE(AAS),∴.PD=CE, .∴.AD=CE. 4.解：方法1（截长法）：在CD上取点E,使DE=BD,连结 AE,.'AB+BD=DC,AD⊥BC,.CE=AB=AE.∴.∠B= ∠AED=∠C+∠CAE=2∠C..∠BAC=120°，∴.∠B+∠C =2∠C+∠C=60°...∠C=20°. 方法2（补短法）：延长DB至点F,使BF=AB,连结AF, 则AB+BD=DF=CD.∴.AF=AC,∠C=∠F= 2∠ABC. BAC=I20°，LABC+LC=LABC+)LABC=60 ∠ABC=40°，∴.∠C=20°. 5.解：延长AC至点E,使CE=BC,连结BE.BD为边AC 上的中线，AD=CD=之AC:BC=之4C,A0=CD BC.BC=CE,∴.∠E=∠CBE,AC=DE.:∠BCA=∠E+ ∠CBE=2∠E,∠BCA=2∠A,∴.∠A=∠E,∴.AB=BE.在 (AC=ED △BAC和△BED中， ∠A=∠E..△BAC≌△BED AB=EB (SAS),..BD=BC..BC=CD,..BD=BC=CD,..ABCD 为等边三角形 逆命题和逆定理 1.D 2.A【解析】过点D作DF⊥AC于点F..BC=10,CD=6, .BD=BC-CD=10-6=4.在△ABC中，∠B=90°，AD平 分∠BAC,∴点D到AC的距离DF=BD=4.故选A. 3.D【解析】由作图可得：AD平分∠BAC,DE⊥AC,,'∠B =90°，∴.BD=DE,故甲正确；.∠BAC+∠ACB=∠CDE+ 上·ZBH·数学第19页 ∠ACD=90°，.∠CDE=∠CAB,故乙正确；在Rt△ABD 布△AD中，0AA0≌△AD(m, .AB=AE,∴.AC=AE+CE=AB+CE,故丙正确.故选D. 4.B5.B 6.10【解析】.△ABC的周长为18，∴.AC+BC+AB=18., DE为线段AB的垂直平分线，AE=4,∴.AB=2AE=8,DA =DB,∴.AC+BC=10,∴.△BCD的周长=BD+CD+BC=AD +CD+BC=AC+BC=10. 7.42【解析】过0作OE⊥AB于E,OF⊥AC于F,连结 OA,OB,OC分别平分LABC和∠ACB,OD⊥BC,∴.OE =OD,OD=OF,即OE=OF=OD=4,∴.△ABC的面积是： SAAOB+SAAOC+SAOBC= 2×MBx0E+子*AGXOF+号xBCX 2 OD=1 F2×4x(AB+AC+BC)= 2×4x21=42 1 8.解：.AB=AC,·.∠ABC=∠C,又.DE是AB的垂直平分 线，AD=BD,.∠A=∠DBA, (3分) .AD=BC,∴.BC=BD.∴.∠C=∠BDC..'∠BDC=∠A+ ∠DBA=2∠A,.∠C=∠ABC=2∠A..∠A+∠C+ ∠ABC=5∠A=180°..∴.∠A=36°. （8分) 9.(1)证明：.DE⊥AB,DF⊥AC,DE=DF,.AD平分 ∠BAC,∴.∠BAD=∠CAD, （2分)》 .:DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠AED=∠AFD=90°，在△AED I∠EAD=∠FAD 和△AFD中， ∠AED=∠AFD,.△AED≌△AFD AD=AD (AAS),∴.AE=AF,.DE=DF,∴.点A和点D在EF的垂 直平分线上，.AD垂直平分EF; (6分) (2)解：AB=7,AC=5,SaMc=Sa4m+Sa4Cm=2×7DE +)x5DF,又sDE=DF,DE=4 (10分) 10.(1)证明：①在四边形ABCD中，∠MAN+∠DCB=180° .∠CDA+∠CBA=360°-180°=180°.CB⊥AN,. ∠CBA=90°，.∠CDA=90°.AC平分∠MAN,.CD= CB: (3分) ②在Rt△ADC和Rt△ABC中，{C,R△ADC兰 Rt△ABC(HL),.AD=AB=5,.AB+AD=10;(6分) (2)(1)中的结论②仍然成立； (7分) 证明：过点C分别作AM与AN的垂线，垂足分别为E, F,.∠CED=∠CFB=90°，AC平分∠MAN,.CE= CF,AF=AE=5..·∠MAN+∠ECF=180°，∠MAN+ ∠DCB=180°，∴.∠ECF=∠DCB..∴.∠ECF-∠DCF= ∠DCB-∠DCF,即∠ECD=∠FCB.在△CED和△CFB I∠CED=∠CFB 中，{CE=CF ,∴.△CED≌△CFB(ASA),∴.DE= ∠ECD=∠FCB BF...AB+AD=AF+BF+AD=AF+DE+AD=AF+AE=10: (9分) (3)(1)中的结论②不成立，AB-AD=10. (11分) 专题构造全等三角形的常用辅助线 1.B【解析】在AC上截取CE=CB,连结DE,:∠ACB的 平分线CD交AB于点D,.∴.∠BCD=∠ECD.在△CBD与 (CB=CE △CED中，{∠BCD=∠ECD.∴.△CBD≌△CED(SAS), CD=CD ∴.BD=ED,∠B=∠CED,,·∠B=2∠A,∠CED=∠A+ ∠ADE,∴.∠CED=2∠A,∠A=∠EDA,∴.AE=ED,∴.AE= BD,∴.BD=AC-CE=AC-BC=16-9=7.故选B. 2.解：PE=PF仍成立. 理由如下：过P点作PM⊥OA于点M,PN⊥OB于点N, 追梦之旅铺路卷·八年级 :OC是∠AOB的角平分线，PM=PN,:∠PM0= ∠PNO=∠MON=90°，∴.∠MPN=90°，.·∠MPE+∠EPN =90°，∠EPN+∠NPF=90°，..∠MPE=∠NPF,在 '∠PME=∠PNF △PME和△PWF中， PM=PN ,∴.△PME兰 ,∠MPE=∠NPF △PNF(ASA),∴.PE=PF. 3.解：(1)BC=CD+AB:理由如下：延长BE交CD延长线于 F.∠A+∠D=180°，.AB∥CD,.∠ABC+∠DCB= 18O,BE平分LABC,CE平分LBCD,∠EBC=2 1 LABC,∠BCB=3∠BCD∠BBG+LBCB=2LABC +∠BCD)=90°，.∠BEC=180°-（∠EBC+∠ECB)= 180°-90°=90°，.CE⊥BF.CE平分∠BCD,.∠BCE I∠BCE=∠FCE =∠FCE.在△BCE与△FCE中， EC=EC (∠BEC=∠FEC △BCE≌△FCE(ASA),BC=FC,BE=FE.:AB∥CD, (LABE=∠F ∴.∠ABE=∠F.在△ABE与△DFE中，{BE=FE (∠AEB=∠DEF ∴.△ABE≌△DFE(ASA),.AB=DF,∴.BC=CF=CD+ DF=CD+AB,即BC=CD+AB: (2)BE⊥CE;理由如下：∠A+∠D=180°，.AB∥CD, ∠ABC+∠DCB=180°..·BE平分∠ABC,CE平分 ∠BCD,.∠EBC=∠ABC,∠ECB= 1 2 ∠BCD, 2 LBBC+∠ECB=)（LABC+LBCD)=90°，心LBEC 180°-（∠EBC+∠ECB)=180°-90°=90°，.·.BE⊥CE. 4.解：(1)延长FD到点G,使DG=BE,连结AG.·∠B+ ∠ADC=180°，∠ADC+∠ADG=180°，∴.∠B=∠ADG.在 (AB=AD △ABE和△ADG中， {∠B=∠ADG,∴△ABE≌△ADG BE=DG (SAS),∴.AE=AG,∠BAE=∠DAG..∠BAD=∠BAE+ ∠EAD,∠EAG=∠EAD+∠DAG,∴.∠BAD=∠EAG.. 1 ∠EAF= LBAD,∠EMF=2∠EAG,LEAF= 路 (AE=AG ∠GAF.在△AEF和△AGF中，{∠EAF=∠GAF,.∴.△AEF 手 AF=AF ≌△AGF(SAS),EF=FG.GF=GD+DF=DF+BE,. 案 EF=BE+DF: (2)在DC延长线上取一点G,使得DG=BE,连结AG.: ∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABE=180°，.∴.∠ADC= (AB=AD ∠ABE.在△ABE和△ADG中，{∠ABE=LADG, BE=DG △ABE≌△ADG(SAS),.AG=AE,∠DAG=∠BAE..·EF =BE+DF,.EF=DG+DF=GF.在△AEF和△AGF中， (AE=AG AF=AF,.△AEF≌△AGF(SSS),.∠FAE=∠FAG. EF=GF LFAE+∠FAG+LGAE=360°，∴.2∠FAE+(∠GAB+ LBAE)=360°，∴.2∠FAE+(∠GAB+∠DAG)=360°，即 2LFAE+LDAB=360°LEAF=180°)LDAB 5.>【解析】延长ED至点G,使DG=ED,连结CG,FG, AD是△ABC的中线，E,F分别在边AB,AC上，∴.BD= CD,又DE⊥DF,DG=ED,.FD是EG的垂直平分线， .FG=EF,又LEDB=∠GDC∴.△EBD≌△GCD 上·ZBH·数学第20页 (SAS),..GC=BE,GC+CF>FG,..BE+CF>EF. 6.解：(1)C (2)证明：延长AE到F,使EF=AE,连结DF,.AE是 △ABD的中线.BE=ED.在△ABE与△FDE中， (BE=DE ∠AEB=∠FED,∴.△ABE≌△FDE(SAS),∴.AB=DF AE-FE ∠BAE=∠EFD.∠ADB是△ADC的外角，.∠DAC+ ∠ACD=∠ADB=∠BAD,·∠BAE+∠EAD=∠BAD: ∠BAE=∠EFD,∴.∠EFD+∠EAD=∠DAC+∠ACD, ∠ADF=∠ADC.AB=DC,∴.DF=DC.在△ADF与 (AD=AD △ADC中，{∠ADF=∠ADC,.△ADF≌△ADC(SAS), FD=CD .∠C=∠AFD=∠BAE,即∠C=∠BAE 第13章勾股定理 勾股定理及其逆定理 1.A 2.C【解析】a2-4a+4+√-3=(a-2)2+√-3=0，.a-2 =0,b-3=0,.a=2,b=3,当c为直角边时，c= √62-a=5;当c为斜边时，c=√+a=√13，综上所 述，c的长度为√5或√13.故选C. 3.D 4.A【解析】A(6,0),B(-4,0),.A0=6,B0=4,.AB =10.,:以，点A为圆心，以AB长为半径画孤，∴.AB=AC= 10,由勾股定理得：0C=√AC-0A2=8.交y轴正半轴 于点C,点C的坐标为(0,8).故选A 5.A 【方法点拔】由图可得，4个直角三角形的面积= 2 abx4= 17-5=12,即可得到ab=6. 6.C【解析】在Rt△ACB中，由勾股定理得BC=√52-3 =4.连结AE,从作法可知，DE是AB的垂直平分线，根据 垂直平分线的性质得出AE=BE,DE⊥AB.在Rt△ACE 中，由勾股定理得AC2+CE=AE2,即32+(4-AE)2=AE2, 舞得AE名在△A0E中，A0=方0 2,由勾股定 路 理得0e4(停)r=(传 8故选C. E(8)2,解得DB15 7.∠A≥90° 手 8.12【解析】过点D作D0⊥AB于点O,.·AD平分 ∠CAB,∠C=90°，.CD=D0=6.在Rt△D0B中，OB= 案 √BD2-D0=8.在Rt△ADC和Rt△AD0中，DC=D0, AD=AD,∴.Rt△ADC≌Rt△AD0,∴.A0=AC.设AC=AO= x,在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2,即x2+162=(x+8)2,解 得x=12,即AC=12. 9.1310.(11,60,61) 11.解：(1)连结BD,∠A=90°，.BD=√AB2+AD=5; (4分) (2)52+122=132,∴.BD2+BC2=CD2,∴.△BCD是直角 三角形，.∠CBD=90°， (6分) 四边形ABCD的面积=之AB·AD+之BC·BD= 24 3+2×12x5=36 (8分) 12.解：(1)：∠ABC=90°，BC=6cm,AC=10cm,.AB= √AC2-BC2=√100-36=8(cm); (3分) (2)当P向左移动时，PB=2t,若AP=AC=10cm,则：BP =√Ap2-AB=6(cm),2t=6,t=3; (5分) 若PC=AC=10cm,则BP=4cm,2t=4,解得：t=2: (6分) 追梦之旅铺路卷·八年级 若AP=PC,则PC=6+2t,AP=6+2t,(2t)2+82=(6+ 2,解得=名 (7分) 当P向右移动时，BP=2t,则CP=2t-6,当AC=CP时， 2t-6=10,解得：t=8.答：当t为3,2,8或时，△ACP 6 为等腰三角形. (8分) 13.解：(1)SAMc=；S ab c2 2iSAA0G=2ACC=2 (3分) (2)S8ccm=（a+b):(a+b)a22 2 2+2+ab; (6分) (3)由图可知，S特影形8cn=SaAc+S△acD+S△Mcc,由(1) =2+2+2,0+62+2ab=2ab+c3, (2)可知：？+g+6 ab abc .a2+b2=c2. (9分) 勾股定理的应用 1.B【解析】由勾股定理，得捷径AC=√82+6=10(m), 多走了8+6-10=4(m).故选B. 2.D 3.A【解析】过点C作CF⊥AB于点F,根据题意得：AB= AC=5,CF=DE=3,由勾股定理可得AF2+CF2=AC2,. AF=√AC2-CF2=√52-32=4（米），.BF=AB-AF=5-4 =1(米)，此时木马上升的高度为1米.故选A. 4.A【解析】在Rt△ABC中，∠CAB=90°，BC=17m,AC= 8m,AB=√17-82=15(m),此人以1m/s的速度收 绳，7s后船移动到点D的位置，∴.CD=17-1×7=10(m), 在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD=√CD-AC= /10-82=6(m).∴.BD=15-6=9(m),即船向岸边移动 了9m,故选A. 5.A【解析】依题意，AC=24cm,BC=7cm,在Rt△ABC中， AB=√AC+BC=25cm,:AB=AD=25cm,DE=20cm,在 Rt△ADE中，AE=√AD2-DE=√252-202=15cm,故 选A. 6.7.5 7.2.2【解析】在Rt△ACB中，∠ACB=90°，BC=0.7 米，AC=2.4米，.AB2=0.7+2.42=6.25.在Rt△A'BD 中，∠A'DB=90°，A'D=2米，.BD2+22=AB2=6.25, .BD2=2.25.BD>0,.BD=1.5米，.CD=BC+BD= 0.7+1.5=2.2(米). 8.10 9.12【解析】在题图1中，过点0作OC⊥AB于点C.0A =0B=20cm,0C=12cm.∴AC=√0A2-0C=16cm..AB =2AC=32Cm.在题图2中，0A=0B,∠A0B=60°， △A0B是等边三角形，∴.AB=OA=OB=20cm.故扩大 了12cm. 10.解：(1)AC的长是攀梯A到泳道1的最近距离，（2分) 在△ABC中，.BC2+AC2=92+122=225=AB2,.·.∠BCA =90°，即AC⊥1.∴.AC的长为攀梯A到泳道1的最近距 离； (5分) (2)AC⊥L,∴.∠ACD=90°，.DA=VAC+CD= √12+22=√148（米）.答：DA的长度为√148米. (9分) 11.解：(1)根据勾股定理得CD=√BC2-BD2=18米， (3分) ∴.CE=CD+AB=18+1.68=19.68(米)； (5分) (2)连结BM,·MD=18-8=10(米)，.BM=√BD2+DM7 =26米，30-26=4（米），.他往回收线4米 (9分) 第14章数据的收集与表示 1.B 2.C【解析】C.每名学生的身高情况是总体的一个个体 上·ZBH·数学第21页第12章全等三角形 命题、定义、定理与证明、全等三角形的判定 测试时间：40分钟测试分数：60分 一、选择题（每小题3分，共15分） 5.如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了 1.下列命题中，真命题有( 一部分，很快他就根据所学知识画出一个与 ①实数和数轴上的点是一一对应的 书上完全一样的三角形，那么这两个三角形 ②无限小数都是无理数 完全一样的依据是() ③任何偶数都是8的倍数 A.ASA B.SAS C.AAS D.SSS ④三角形的一个外角大于任何一个和它不 二、填空题（每小题3分，共15分） 相邻的内角 6.把命题“等角的补角相等”改写成“如果 A.1个 B.2个 …,那么…”的形式是 C.3个 D.4个 2.根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的 是( ) 7.新考法·开放性试题如图，C是AB的中点， A.∠C=90°，AB=6 CD=BE,请添加一个条件 ,使△ACD B.AB=4,BC=3,∠A=30° ≌△CBE C.∠A=60°，∠B=45°，AB=4 D.AB=3.BC=4.CA=8 3.如图，AD⊥BC,垂足为D,BF⊥AC,垂足为 F,AD与BF交于点E,AD=BD=5,DC=2, 则AE的长为() 第7题图 第8题图 A.2 8.如图，在△PAB中，∠A=∠B,M、N、K分别 B.5 是PA、PB、AB上的点，且AM=BK,BN=AK, C.3 若∠MKN=42°，则∠P= D.7 9.(淄博二模)如图，点D在△ABC内部，BD平 4.[教材练习T3变式]在测量一个小口圆形 分∠ABC,且AD⊥BD,连结CD.若△BCD的 容器的壁厚时，小明用“X型转动钳”按如 面积为2，则△ABC的面积为 图方法进行测量，其中OA=OD,OB=OC,测 得AB=5厘米，EF=7厘米，圆形容器的壁 厚是() A.1厘米B.2厘米C.5厘米D.7厘米 第9题图 第10题图 10.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12, BC=6,PQ=AB,P、Q两点分别在AC和过 点A且垂直于AC的射线AX上运动，要使 第4题图 第5题图 △ABC和△QPA全等，则AP= 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级上·ZBH·数学第11页 三、解答题（共30分） 和BC上，PB=PD,DE⊥AC于点E,求证： 11.(10分)如图，已知BC∥EF,BC=EF,AF= △BPO≌△PDE. DC,求证：ABDE.请补充完整下面证明的 (1)理清思路，完成解答 过程 本题证明的思路可用下列框图表示： 证明：.AF=DC(已知) PB=PD(已知)] △BPO≌△PDE LBOP=LPED BO.⊥AC,DELAC(已知)☐ ∴.AF+FC=DC+ 3=4∠3=PB0-∠21==45-巴知 ∠4=∠2-∠C LPBD=∠2 .∴.AC=DF( 根据上述思路，请你完整地书写本题的证 .BC∥EF(已知) 明过程； ∴.∠BCA=∠ (两直线平行，内错角相 (2)特殊位置，证明结论 等) 若PB平分∠ABO,其余条件不变.求证： 又.BC=EF(已知) AP=CD. ∴.△ABC≌△DEF( ·.∠A=∠（全等三角形的对应角相 等) ∴.ABDE(内错角相等，两直线平行) B 12.生活情境·制作风筝(10分)风筝在古代 备用图 又称纸鸢，如图1是小军制作的燕子纸鸢， 燕子纸鸢的骨架图如图2所示，AB=AE, AC=AD,∠BAD=∠EAC,∠C=50°，求∠D 的大小. 图2 13.学习情境·过程性学习(10分)一节数学 课后，老师布置了一道课后练习题： 如图，已知在Rt△ABC中，AB=BC,∠ABC =90°，B0⊥AC于点O,点P、D分别在AO 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级上·ZBH·数学第12页 等腰三角形 测试时间：40分钟测试分数：55分 一、选择题（每小题3分，共21分） 6.如图，△ABC的两个内角的平分线B0,C0 1.数学思想·分类讨论如果等腰三角形一内 相交于点O,过点O作MN∥BC分别交AB, 角的度数是80°，则这个等腰三角形顶角的 AC于点M,N,若△AMN的周长为15，BC= 度数是( 8,则△ABC的周长为( A.100° B.80° A.15 B.19 C.50°或80° D.20°或80° C.23 D.31 2.如图，在△ABC中，AC=BC,∠C=36°，AD B.M 平分∠BAC,则图中等腰三角形的个数 B, B 是() A.1个 B.2个 OAA2 A3 A M C.3个 D.4个 第6题图 第7题图 7.如图，已知∠M0N=30°，点A1,A2,A3,…在 射线ON上，点B1,B2,B3,…在射线OM上， △AB1A2,△42B2A3,△A3BA4,…均为等边 第2题图 第3题图 三角形，若0A1=2,则△A6BA,的边长 为() 3.如图，在△ABC中，∠A=45°，∠B=60°，点 A.16 B.32 C.64 D.128 D在边AB上，且BD=BC,连结CD,则 二、填空题（每题3分，共9分） ∠ACD的大小为() 8.[教材习题8变式]木工师傅将一把含45° A.30°B.25° C.15° D.10° 角的三角尺和一个重锤如图放置，就能检查 4.生活情境·平板放置将一平板保护套展开 根横梁是否水平，能解释这一现象的数学 放置在水平桌面上，其侧面示意图如图所 知识是 示，若∠BAC=∠BCA,AB=10cm,则BC的 长为() A.10 cm B.11 cm C P O B C.12 cm D.13 cm 第8题图 第10题图 9.一个等腰三角形的三边长分别为12，a+2, 3a-6,则这个等腰三角形的周长 为 第4题图 第5题图 10.如图，∠AOB=60°，C是B0延长线上一 5.一题多解如图，衣架框内部可以近似看成 点，OC=12cm,动点P从点C出发沿CB 一个等腰三角形，记为等腰三角形ABC,其 以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出 中AB=AC,D是BC的中点，∠ABC=30°，则 发沿OA以1cm/s的速度移动，如果点P、 ∠CAD的度数为() Q同时出发，用t(s)表示移动的时间，当t A.150°B.120° C.60° D.30° s时，△POQ是等腰三角形 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级上·ZBH·数学第13页 三、解答题（共25分） 13.(9分)（黑龙江三模）已知△ABC为等边 11.(8分)如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB= 三角形，点D在边BC上，点F在射线AB 90°，AC=CB,F是AB边上的中点，点D、E 上，以DF为一边作等边三角形DEF,连 分别在AC、BC边上运动，且始终保持AD 结BE. =CE,连结DE、DF、EF、CF (1)当点F与点A重合时，如图1，线段 (1)求证：△ADF≌△CEF; BE,BD,BF之间的数量关系是 ； (2)试证明△DFE是等腰直角三角形 (2)点F在AB边上时，如图2，当点F在 AB边的延长线上时，如图3，猜想线段BF, BD,BE之间存在怎样的数量关系？写出 你的猜想，并对图3的猜想给予证明. A(F D B E 图1 图2 图3 12.(8分)如图，已知△ABC,AB=AC,点D在 线段BC上，点E在线段AC上，设∠BAD= a,∠CDE=B. (1)如果∠B=60°，α=20°，B=10°，那么 △ADE是什么特殊三角形？请说明理由； (2)猜想α与B之间有什么关系时，使得 AD=AE,并进行证明. 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级上·ZBH·数学第14页 专题构造等腰三角形的常用方法 类型1角平分线+垂线→等腰三角形 类型2利用平行线构造等腰三角形 模型构建：如图，在△ABC中，AD平分 模型构建：①作腰的平行线构造等腰三角形. ∠BAC,CD⊥AD,延长CD交AB于点E,则 如图1、图2.若AB=AC,DE∥AC,则△BDE为 等腰三角形.②作底边的平行线构造等腰三 △ACE是等腰三角形 角形，如图3、图4，若AB=AC,DE∥BC,则 △ADE为等腰三角形， B 1.如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB, BD⊥CD,∠A=∠ABD,若BD=1,BC=3,则 图1 图2 图3 图4 AC的长为( 3.已知，△ABC为等边三角形，点D为AC上 A.5 的一个动点，点E为BC延长线上一点，且 B.4 BD=DE. C.3 (1)如图1，若点D在边AC上，猜想线段AD D.2 与CE之间的关系，并说明理由； 2.如图，在△ABC中，∠ABC=3∠C,AD平分 (2)如图2，若点D在AC的延长线上，(1) ∠BAC,BE⊥AD于点E. 中的结论是否成立，请说明理由， 求证：BE=(AC-AB). 图1 图2 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级上·ZBH·数学第15页 类型3利用截长补短法构造等腰三角形 5.有这样一道问题：如图1，在△ABC中， ∠BCA=2∠A,BD为边AC上的中线，且BC 模型构建：①角平分线+截长：如图1，当∠1= ∠2，∠B=2∠C,则AC=AB+BD;②角平分线 =2AC.求证：△BCD为等边三角形， +补短：如图2，当∠1=∠2，∠ABC=2∠C,则 小聪同学的解决办法是：延长AC至点E,使 AC=AB+BD. CE=BC,如图2，利用二倍角的条件构造等 腰三角形进而解决问题， 【解决问题】 请你利用小聪的办法解决此问题， 图1 图2 4.如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AD⊥BC 于点D,且AB+BD=DC,求∠C的度数.（用 图1 图2 两种方法解答) 类型4倍角关系→等腰三角形 模型构建：在△ABC中，∠ABC=2∠C. 方法一：如图1，外构等腰三角形，作DB=AB. 方法二：如图2，内构等腰三角形，作AD=AB. 方法三：如图3，作BE平分∠ABC D1- D 图1 图2 B 图3 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级上·ZBH·数学第16页 逆命题和逆定理 测试时间：40分钟测试分数：50分 一、选择题（每小题3分，共15分） 5.如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，BC=3, 1.下列命题的逆命题是真命题的是( 连结AC,AC⊥CD,垂足为C,并且∠ACB= A.对顶角相等 ∠D,点E是AD边上一动点，则CE的最小 B.全等三角形对应角相等 值是() C.两个全等三角形的面积相等 A.1.5 B.3 C.3.5 D.4 D.两直线平行，内错角相等 二、填空题（每小题3分，共6分） 2.如图，在△ABC中，∠B=90°，AD平分 6.如图，在△ABC中，DE为线段AB的垂直平 ∠BAC,BC=10,CD=6,则点D到AC的距 离为() 分线.若△ABC的周长为18，线段AE的长 A.4 B.6 C.8 D.10 度为4，则△BCD的周长为 B D 第2题图 第3题图 第6题图 第7题图 3.如图所示，在△ABC中，∠B=90°，依据尺规 7.如图，已知△ABC的周长是21，OB,0C分别 作图痕迹，三位同学有如下三种说法，对三 平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于D,且OD 位同学说法的判断正确的是( =4,△ABC的面积是 甲：BD=DE; 三、解答题（共29分） 乙：∠CDE=∠CAB; 8.(8分)如图，在△ABC中，AB=AC>BC,作 丙：AB+EC=AC. AB边的垂直平分线DE,交AB于点E,交 A.只有甲对 B.只有乙对 AC于点D,连结BD;若AD=BC,求∠A的度 C.只有丙对 D.三人说得都对 数 4.如图，A、B、C分别为某经济开发区中的三 地，每两地之间都修建了一条笔直的公路， 现在要在A、B、C三地之间建一个加油站， 要求加油站到三条公路的距离相等，则加油 站应建在() A.AC、BC两边高线的交点处 B.∠A、∠B两内角平分线的交点处 C.AC、BC两边中线的交点处 D.AC、BC两边垂直平分线的交点处 第4题图 第5题图 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级上·ZBH·数学第17页 9.(10分)如图，在△ABC中，D是BC上的一 【拓展】(3)如图3，当点D在射线AM的反 点，连结AD,作DE⊥AB,DF⊥AC,且DE 向延长线上时，(1)中的结论②是否仍然 =DF. 成立？若成立，请直接回答；若不成立，请 (1)试说明AD垂直平分EF; 直接写出AB与AD满足的新的结论， (2)若AB=7,AC=5,SAARG=24,求DE 的长 B A B 图1 图2 D B N 图3 10.(11分)已知∠MAN,AP平分∠MAN,定点 C在射线AP上，∠DCB与射线AN交于点 B,与直线AM交于点D,且∠MAN+∠DCB =180°，当CB⊥AW时，AB的长为5. 【证明】(1)如图1，当点D在射线AM上， 且CB⊥AN时. 求证：①CD=CB; ②AB+AD=10; 【探究】(2)如图2，当点D在射线AM上， 且CB与AN不垂直时，(1)中的结论②是 否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成 立，请说明理由； 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级上·ZBH·数学第18页 专题 构造全等三角形的常用辅助线 方法1利用“角平分线”构造全等三角形 方法2利用“截长补短法”构造全等三角形 方法指导：因为角平分线本身已经具备全等 方法指导：截长补短法的具体做法：在某一条 三角形的三个条件中的两个（角相等和公共 线段上截取一条线段与特定线段相等，或将 边相等)，故在处理角平分线问题时，常作以 某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用 下辅助线构造全等三角形： 全等三角形的性质加以说明.当条件中出现 (1)在角的两边截取两条相等的线段； 角平分线时，又体现了方法1中的构造全等 (2)过角平分线上的一，点作角两边的垂线段 三角形.这种方法适用于证明线段的和、差、 倍、分等关系. 1.如图，△ABC中，∠B=2∠A,∠ACB的平分 3.如图，∠A+∠D=180°，BE平分∠ABC,CE 线CD交AB于点D,已知AC=16,BC=9,则 平分∠BCD,点E在AD上， BD的长为( (1)探讨线段AB、CD和BC之间的等量关 A.6 B.7 系，并说明理由； C.8 D.9 (2)探讨线段BE与CE之间的位置关系， 2.如图，∠A0B=90°，0C是∠A0B的角平分 并说明理由。 线.把直角三角尺的直角顶点落在OC的任 意一点P上，使三角尺的两条直角边分别 与OA、OB相交于点E、F.如图①，若PE⊥ OA,PF⊥OB,我们依据“角平分线上的点到 角的两边距离相等”有结论：PE=PF.把三 角尺绕点P旋转一定角度（如图②），那么 PE=PF是否仍成立？请说明理由 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级上·ZBH·数学第19页 4.（1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,6.【阅读理解】 ∠B+∠D=180°，E、F分别是BC、CD上的 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问 题：如图1，△ABC中，若AB=8,AC=6,求 点，∠EAF=2∠BAD,试探究图中线段BE、 BC边上的中线AD的取值范围.小明在组 EF、FD之间的数量关系， 内经过合作交流，得到了如下的解决方法： (2)如图2，已知在四边形ABCD中，∠ABC 延长AD到点E,使DE=AD,请根据小明的 +∠ADC=180°，AB=AD,若点E在CB的延 方法思考： 长线上，点F在CD的延长线上，仍然满足 (1)求得AD的取值范围是 (1)中的结论，请求出∠EAF与∠DAB的数 A.6<AD<8 B.6≤AD≤8 量关系 C.1<AD<7 D.1≤AD≤7 【方法感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样， 可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散 的已知条件和所求证的结论集合到同一个 三角形中. 图1 图2 【问题解决】 (2)如图2，已知：CD=AB,∠BDA=∠BAD, AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAE. H D 图1 图2 方法3利用“倍长中线法”构造全等三角形 方法指导：将中线延长一倍，然后利用“SAS” 判定三角形全等 5.如图，AD是△ABC的中 线，E,F分别在边AB,AC 上(E,F不与端点重 合)，且DE⊥DF,则BE+B D CF EF.(选填“>”“<”或“=”) 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级上·ZBH·数学第20页