第12章 全等三角形 追梦基础训练卷(二)-【追梦之旅·铺路卷】2025-2026学年新教材八年级上册数学（华东师大版2024）

②.·△ADC≌△CEB,∴.CE=AD,CD=BE,∴.DE=CE+ CD=AD+BE: (5分) (2)证明：AD⊥MN,BE⊥MN,.∠ADC=∠CEB= ∠ACB=90°，.∠CAD+∠ACD=90°，∠BCE+∠ACD= 90°，..∠CAD=∠BCE,在△ADC和△CEB中」 I∠CAD=∠BCE ∠ADC=∠CEB,∴.△ADC≌△CEB(AAS),∴.CE=AD: AC=BC CD=BE..'.DE=CE-CD=AD-BE: (8分) (3)解：当MN旋转到题图3的位置时，AD,DE,BE所满 足的等量关系是：DE=BE-AD. (10分) 【解析】：AD⊥MN,BE⊥MN,∴.∠ADC=∠CEB= LACB=90°，∴.∠CAD=∠BCE,在△ADC和△CEB I∠CAD=∠BCE 大 中，LADC=LCEB,.△ADC≌△CEB(AAS),.CE= AC=BC AD,CD=BE,..DE=CD-CE=BE-AD. 案 第12章追梦基础训练卷（二） 答案12345678910 速查DDBCD BAAC C 1.D2.D 3.B【解析】当腰长为6时，6+6<13，不符合三角形三边 关系；当腰长为13时，6+13>13，符合三角形三边关系， 故周长为13+13+6=32.故选B. 【方法点拨】当等腰三角形的腰或底边没有明确说明时 要进行分情况讨论，并且要验证每种情况下三边长是否 符合三角形的三边关系，以免出现错解. 4.C【解析】.AB=AC,∴.∠B=∠C,∴.∠BAC=2∠BAD= 70,4C=7×(180°-70)=50故选0 5.D 6.B【解析】AB=AC,∠A=30°，∴.∠C=∠ABC=75°.： AB的垂直平分线I交AC于点D,DA=DB,.∠A= ∠ABD=30°，.∴.∠CBD=∠ABC-∠ABD=45°.故选B. 7.A【解析】作DF⊥BC于点F,'BD是△ABC的角平分 线，DE⊥AB,DF⊥BC,∴.DF=DE=2,△ABC的面积为 82AB·0B+C.Df=87x5x2+28Gx2=8, 解得BC=3.故选A. 8.A【解析】：∠A=36°，AB=AC,.△ABC是等腰三角 形，LABC=LBCD)(180°-∠A)=72.:BD、CE分 别是∠ABC,∠BCD的平分线，.∠EBC=∠ABE= LABC=36,∠BCB=∠EC1=3∠BCD=36, 1 ∠EBC=∠ECB,.△BCE是等腰三角形；∠ABD=∠A =36°，.△ABD是等腰三角形；同理△CDE和△BCD是 等腰三角形，综上，图中的等腰三角形有5个.故选A. 9.C【解析】设∠A=x,:AD=BD,∴∠ABD=∠A=x, ∠BDC=2x..BD=BC,·.∠BCD=∠BDC=2x..AB= AC,.∠BCD=∠ABC=2x,∴.∠DBC=∠A=x..在 △BDC中，∠DBC+∠BDC+∠BCD=180°，即x+2x+2x= 180°，.x=36°，即∠A=36°，故选C. 10.C【解析】由已知可得，存在三种 A 情况，如图所示，∴·∠AOB=60°，P 是∠AOB的平分线OC上一点， ∠P0E=30°，点E在E,的位置时， ∠E,OP=∠EP0=30°，∴.∠OE,P =120°；，点E在E,的位置时， B ∠0E2P=∠0PE2=75°，即∠0E2P=75°；点E在E,的 位置时，∠E,0P=∠PE,0=30°，即∠0E,P=30°；由上 可得∠0EP的度数可能是120°，75°或30°.故选C. 11.如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等 追梦之旅铺路卷·入年级 12.50°【解析】设顶角的度数为x°，则底角的度数为(x+ 15)°.根据题意得x+2(x+15)=180,解得x=50. 13.40【解析】过，点P作PE⊥BC于点E,则∠BEP= ∠CEP=90°，.·AD⊥AB,AB∥CD,.∠BAP=∠CDP= 90°，'：BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB,AD=8cm, BC=10cm,:AP=PE,PE=DP,AP=PE=PD-AD= 1 ×8=4(cm),BP=BP,∴.△EBP≌△ABP(HL), 2 SAERP=SAABP,同理可得：△ECP≌△DCP,SARCP=SADCP, .Swc2ScxBC PE=10X4=40(cm). 2 14.4 15.90°9【解析】在△ABC中，AB=AC,∠A=60°， △ABC是等边三角形，∴，∠ACB=∠A=60°，EC=CD, ∴.∠D=∠CED,:∠ACB=∠D+LCED,∴.∠D=∠CED E7∠ACB=×60°=30°，∴∠AEF=∠CED=30,在 △AEF中，∠AFE=180°-（∠A+∠AEF)=180°-(60°+ 30°)=90°：过点C作CH⊥DE于点H,.∠CHE=90°， EC=CD,∴.DH=EH,DE=2EH,在△AEF和△CEH I∠AFE=∠CHE 中，LAEF=LCEH∴.△AEF≌△CEH(AAS),.EH= （AE=EC EF=3,∴.DE=2EH=6,∴.DF=EF+DE=3+6=9. 16.证明：.DE⊥AC,DF⊥AB,.∠BFD=∠CED=90°..D 是BC的中点，∴.BD=CD, (4分) 在Rt△BDF和Rt△CDE中，BD=CD,DF=DE, Rt△BDF≌Rt△CDE(HL),∴.∠B=∠C,∴.AB=AC,. △ABC是等腰三角形 (8分) 17.解：如图所示； (8分) B D 18.解：.·AD平分∠BAC,∴.∠BAD=∠CAD..DE∥AC,. ∠CAD=∠ADE,∴.∠BAD=∠ADE,∴AE=DE.（4分) AD⊥DB,.∠ADB=90°，.∠EAD+∠ABD=90°， ∠ADE+∠BDE=∠ADB=90°，∴.∠ABD=∠BDE,.BE -DE.AR-5,2.DE=BE=AE=2AB-25. (9分) 19.解：选择小明的方法完成证明，理由如下：.AB=AC,. ∠B=∠C,,'AD=AE,∴.∠ADE=∠AED,.180°-∠ADE =180°-∠AED,∴.∠ADB=∠AEC, (4分) I∠B=∠C 在△ABD和△ACE中， ∠ADB=∠AEC,∴.△ABD≌ AB=AC △ACE(AAS),.∴.BD=CE. (10分) 20.(1)证明：BD⊥AC,点D是AC边的中点，∴.BD垂直 平分AC,∴.AB=CB, （2分) .EF⊥AB,∴.∠ABC+∠E=90°，.∠E=30°，.∴.∠ABC =60°，.△ABC是等边三角形； (5分) (2)解：AD=CE, (6分) 理由如下：△ABC是等边三角形，.∠ACB=60°， ∠ACB=∠E+∠CDE,∠E=30°，∴∠CDE=30°=∠E, .CD=CE,:点D是AC边的中点，.AD=CD,AD= CE. (10分) 21.(1)解：∠BAC=90°，AB=AC,.∠B=∠ACB=45°.： AB=BD,AC=CE,LBAD=LBDA=7×(180°-45)= 67.59,∠E=LCAE=号LACB=22.5,LDAE= ∠BDA-∠E=45°： (4分) 上·ZBH·数学第5页 (2)LDAE=2∠BAC, (5分) 证明：设LBAC=x,:AB=AC,LB=)(180°-).y AB=BD,LBM0=∠BD1=2(180-乙B),∠CMD =∠BAC-∠BAD=x- 2(180°-LB)=x-90°+1 1 AC=CE,∴.∠CAE= 2∠ACB= 2∠B,.∠DAE= 2<B+ LCAD+LCAE=x-90°+ +2∠B=x-90+LB, （(180-)=分，即∠DAE= 1 ∠DAE=x-90°+ 2∠BAC (10分) 22.解：【教材呈现】AC=BCPA=PB (2分) 证明：：MN⊥AB,.∠PCA=∠PCB=90°，在△PCA和 (AC=BC △PCB中， ∠PCA=∠PCB,∴.△PCA≌△PCB(SAS), PC=PC .PA=PB: (5分) 【学以致用】∠CAD=∠CBD,理由：CD是线段AB的 垂直平分线，.AC=BC,AD=BD,.∠CAB=∠CBA, ∠DAB=∠DBA,∴.∠CAB-∠DAB=∠CBA-∠DBA,即 ∠CAD=∠CBD. (10分) 23.解：(1)= (3分) 【解析】ED=EC,.∠D=∠ECD.△ABC是等边 三角形，.∠ACB=∠ABC=60°.：点E为AB的中点， ∠ECD=2LACB=30°，AE=BE,.∠D=30. ∠ABC=∠D+∠DEB,.∠DEB=∠ABC-∠D=30°， ∠DEB=∠D,.DB=BE,∴.AE=DB; (2)= (4分) 则∠AEF=∠ABC,∠AFE=∠ACB,∠FEC=∠ECD..· △ABC是等边三角形，.AB=AC,∠A=∠ABC=∠ACB =60°，∴.∠AEF=∠AFE=∠A=60°，∠DBE=120°， △AEF为等边三角形，∠EFC=120°，.AE=EF.ED= EC,∴.∠D=∠ECD,∴.∠D=∠FEC,在△DBE和△EFC (∠DBE=∠EFC=120° 中，{LD=LFEC ,.△DBE≌△EFC(AAS), ED=EC ,DB=EF,∴.AE=DB; (7分) (3)6 (10分) 【解析】如图，由题意可得，点E在线 段AB的延长线上，过点E作EF∥D BC,交AC的延长线于点F,同(2) 得：△AEF是等边三角形，△DBE≌ △EFC(AAS),∴.AE=EF=4,DB= EF=4..BC=2,.'.CD=BC+DB=6. 第12章追梦综合演练卷 答案12345678910 速查CC B C DD B D CC 1.C 2.C【解析】当三角形为钝角三角形时，底角= 2×(90 50°)=20°；当三角形为锐角三角形时，底角=)×[1800 -(90°-50°)]=70°.故选C. 【方法点拨】当题中没有说明三角形的情况时要对三角 形进行分类讨论，以免漏解 追梦之旅铺路卷·入年级 3.B 4.C【解析】.：DE⊥AB,∴.∠BED=90°..·∠ACB=90°， BE=BC,BD=BD,∴.Rt△BCD≌Rt△BED(HL),∴，CD= DE,∴.AD+DE=AD+CD=AC=5cm.故选C. 5.D6.D 7.B【解析】，·DE垂直平分AB,∴.BE=AE,∴.△BCE的周 长为BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC=14,.AC=8,. BC=6.故选B. 8.D【解析】三角形角平分线交于点O,.△AB0, △BC0,△CAO的边AB,BC,AC上的高相等，SAABO: S△B0SA40=4:5:6.故选D. 9.C【解析】.∠E=∠F,∠B=∠C,AE=AF,∴.△ABE≌ △ACF,∴.∠BAE=∠CAF,即∠EAM+∠MAN=∠MAN+ ∠FAN,.∴.∠EAM=∠FAN,①正确；又.：∠E=∠F,AE= 大 AF,.△AEM≌△AFN,∴.EM=FN,AM=AN,∠AME= ∠ANF,②正确：..∠AMB=∠ANC,又.·∠CAN=∠BAM, AN=AM,∴.△ACN≌△ABM,③正确；根据已知条件无法 得出CD=DN,④不正确.综上，正确的有3个.故选C. 案 10.C【解析】连结AD,MA.:△ABC是等腰三角形，点D 是BC边的中点，AD1BC,SaAc=2BC·AD=2× 1 6×AD=18,解得AD=6..:EF是线段AC的垂直平分 线，∴点A关于直线EF的对称点为点C,MA=MC, MC+DM=MA+DM≥AD,.AD的长为CM+MD的最小 值，.△CDM周长的最小值=(CM+MD)+CD=AD+ C=6+2×6=9故选C 1 【方法点拨】本题考查的是线段垂直平分线的性质与最 短路径问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解题的 关键. 11.3【解析】.AD=AC,BD=BC,AB=AB,∴.△ABC≌ △ABD,进一步可证△AOC≌△AOD,△BOC≌△BOD, .共有3对全等三角形 12.假 13.105°【解析】根据题意得MN垂直平分BC,则CD= BD,∴.∠DCB=∠B=25°，∴.∠CDA=∠DCB+∠B=25 +25°=50°..·CD=AC,.∠A=∠CDA=50°，.∴.∠ACB= 180°-∠A-∠B=105°. 14.3【解析】小CD⊥AB,.∠A+∠ACD=90°.∠ACB= 90°，.∠A+∠B=90°，.∠B=∠ACD..EF⊥AC,. ACB=∠FEC=90°..·BC=CE,.∴.△ACB≌△FEC (ASA),∴.AC=EF.:BC=2cm,EF=5cm,∴.AE=AC- EC=EF-BC=5-2=3(cm). 15.18或70 16.证明：∠1=∠2，.∠1+∠DAC=∠2+∠DAC,即 ∠BAC=∠DAE. （3分) 在△ABC和△ADE中，AB=AD,∠BAC=∠DAE,AC= AE,∴.△ABC≌△ADE(SAS),∴.BC=DE. (8分) 【解题技巧】找等角的常用方法：①公共角相等：②对顶 角相等；③等角加（或减）等角，其和（或差）仍相等（例如 本题)；④同角或等角的余角相等；⑤由角平分线的定义 得出角相等：⑥由垂直的定义得出角相等：⑦由平行线的 性质得到角相等. 17.(1)证明：：∠BCE=∠ACD=90°，即∠BCA+∠ACE= ∠ACE+∠ECD,.∴.∠BCA=∠ECD.在△ABC和△DEC 中，∠BCA=∠ECD,∠BAC=∠D,BC=CE,∴.△ABC≌ △DEC(AAS),∴.AC=CD; (4分) (2)解：.∠ACD=90°，AC=CD,∴.∠CAD=∠D=45 1 :AB=AC,LACB=LAEC=2×(180°-LCAD)F 67.5°，.∠DEC=180°-∠AEC=112.5°. (8分) 18.解：(1)DM垂直平分AC,EN垂直平分BC,∴.AM= CM,BN=CN..'CACMN =CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB 上·ZBH·数学第6页铺路卷 ZBH·八年级数学E +为期中、期末铺路”为中考、未来铺路 第12章追梦基础训练卷（二） 等腰三角形、逆命题和逆定理 测试时间：100分钟 测试分数：120分 得分： 一、选择题（每小题3分，共30分） 题号 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1.下列命题的逆命题是真命题的是( ) A.如果a>b,那么ac>bc B.如果a=b=0,那么ab=0 C.如果a>b,那么a2>b2 D.如果Ial=Ib1,那么a=b 2.如图，在△ABC中，AB=AC,D是BC中点，下列结论中不正确的 是( A.∠B=∠C B.AD平分∠BAC 渠 C.AD⊥BC D.AB=2BD 报 y 痴 产 第2题图 第4题图 第6题图 3.等腰三角形的一条边长为6，另一条边长为13，则它的周 T 长为( 业 A.25 B.32 C.25或32 D.19 4.在△ABC中，AB=AC,D为BC的中点，∠BAD=35°，则∠C的度 数为( 腳 A.35° B.45° C.55° D.60° 9 5.三角形内有一点到三角形三个顶点的距离相等，这一点 是( A.三角形三条中线的交点 B.三角形三条角平分线的交点 C.三角形三条高线的交点 D.三角形三边垂直平分线的交点 6.如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=30°，AB的垂直平分线I交AC 于点D,则∠CBD的度数为() 赵 州 A.30° B.45° C.509 D.75° 7.如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E,△ABC的面积 为8，AB=5,DE=2,则BC的长为( A.3 B.4 C.5 D.7 第7题图 第8题图 第9题图 8.如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=36°，BD,CE分别是∠ABC, ∠BCD的平分线，则图中的等腰三角形有( A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 9.如图，在△ABC中，AB=AC,点D在AC上，且BD=BC=AD,则 ∠A等于() A.30° B.40° C.36° D.45° 10.已知∠AOB=60°，P是∠AOB的平分线OC上一点，若在射线 OA上存在点E使△OPE是等腰三角形，则∠OEP的度数不可 能是( A.120° B.75 C.60° D.30° 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.请写出命题“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积 相等.”的逆命题： 12.若等腰三角形的一个底角比顶角大15°，则顶角的度数 为 13.如图，AB∥CD,BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB,AD过点P, 且与AB垂直，若AD=8cm,BC=10cm,则四边形ABCD的面 积是 cm B A D 0 B D 第13题图 第14题图 第15题图 14.如图，点0在直线1上，点A在直线1外，要在直线1上找出 点P使△APO为等腰三角形，这样的点P最多有 个 15.如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=60°，点E在边AC上，点D在边 BC的延长线上，且AE=EC=CD,连接DE并延长交AB于点F, 若EF=3,则∠AFE的度数是 ;DF的长是 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16.（8分)如图，D是△ABC的BC边的中点，DE⊥AC,DF⊥AB,垂 足分别为E,F,且DE=DF,求证：△ABC是等腰三角形 D 17.[教材练习T4变式](8分)尺规作图：已知线段a,h(a>h),求 作等腰三角形ABC,使AB=AC=a,底边BC上的高AD=h(保留 作图痕迹，不要求写出作法). h 18.(9分)在△ABC中，AD平分∠BAC,BD⊥AD,垂足为点D,过点 D作DE∥AC,交AB于点E,若AB=5,求线段DE的长. THE ROAD TO 19.学习情境·问题讨论(10分)如图，在△ABC中，AB=AC,点D, E分别是BC上两点，连结AD,AE,且AD=AE.求证：BD=CE. 针对这道题目，三位同学进行了如下讨论： 小明：“可以通过证明△ABD≌△ACE得到.” 小华：“可以通过证明△ABE≌△ACD得到.” 小聪：“我觉得可以通过等腰三角形三线合一定理添加适当的 辅助线证明.” 请你结合上述讨论，选择恰当的方法完成证明. 。11 20.(10分)如图，在△ABC中，BD是高，点D是AC边的中点，点E 在BC边的延长线上，ED的延长线交AB于点F,且EF⊥AB, 若ㄥE=30°. (1)求证：△ABC是等边三角形； (2)请判断线段AD与CE的大小关系，并说明理由， 21.(10分) (1)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点D在BC上，且 BD=AB,点E在BC的延长线上，且CE=AC,试求∠DAE的 度数； DRE (2)如果把第(1)题中“∠BAC=90°”的条件改为“∠BAC> 90”,其余条件不变，那么∠DAE与∠BAC有怎样的数量关 系？请予以证明 。12… 22.(10分)【教材呈现】下图是华师版数学八年级上册教材的部 分内容，我们都知道演绎推理的方法是研究图形属性的重要方 法，请你写出完整的证明过程， 12.4.2线段垂直平分线 我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对 称轴，如图1，直线MN是线段AB的垂直平分线，点P是MN上 任意一点，连结PA、PB.将线段AB沿直线MN对折，我们发现PA 与PB完全重合，于是有： 线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端 的距离相等. 请你结合图形把已知和求证补充完整，并写出证明过程。 已知：如图1，MN⊥AB,垂足为点C, ,点P是直线MN 上的任意一点. 求证： 证明： 图1 【学以致用】如图2，CD是线段AB的垂直平分线，则∠CAD与 ∠CBD有何关系？请说明理由. 图2 23.（10分)已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB 的延长线上，且ED=EC (1)【特殊情况，探索结论】 如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关 系，请你直接写出结论：AE DB;(填“>”“<”或“=”) (2)【特例启发，解答题目】 易错 如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的 分析 大小关系.请你直接写出结论，AE DB(填“>”“<”或 “=”);理由如下，过点E作EFBC,交AC于点F…(请你接 着完成以下解答过程)； (3)【拓展结论，设计新题】 在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的 延长线上，且ED=EC,若△ABC的边长为2，AE=4,请直接写 出CD的长为 图1 图2 备用图 些 做题 心得