专题03 平面向量的直角坐标及其运算（练习题）- 山东省2026年春季高考一轮复习《数学知识点清单》（原卷版+解析版）

编写说明：山东省2026年春季高考一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及山东历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含11个模块共42个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是山东省2026年春季高考一轮复习《数学知识点清单》的模块6数列的第3个专题：平面向量的直角坐标及其运算。本专题涵盖含有平面向量的直角坐标运算、平面向量平行和垂直的坐标表示等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 山东省2026年春季高考 一轮复习 《数学知识点清单》 专题03 平面向量的直角坐标及其运算（练习题） 一、选择题 1．已知点，若，则（   ） A． B． C． D． 2．已知向量，，若，则实数（   ） A． B． C． D． 3．已知向量，若，则实数k的值为（    ） A． B． C． D． 4．已知向量，，则（ ） A． B． C． D． 5．已知向量，，若，则实数（    ） A． B． C． D． 6．已知向量，若的方向相同，则（ ） A． B． C． D． 7．已知命题p：或，命题q：向量共线，则p是q的（ ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 8．设向量，且，则实数（ ） A． B． C． D． 二、填空题 9．平行四边形ABCD中，已知顶点，则顶点D的坐标为 10．已知.若向量与垂直，则 . 三、解答题 11．已知向量是同平面内的三个向量，其中. （1）若，且，求向量的坐标； （2）若是单位向量，，求与的夹角. 12．设O为原点，试求满足的的坐标. 一、选择题 1．已知点，向量，若，则实数的值是（   ） A． B． C． D． 2．已知向量满足且，若，则等于（ ） A． B． C． D． 3．若的三个顶点的坐标分别为，则该三角形为（ ）三角形 A．锐角 B．直角 C．钝角 D．等边 4．若，则（ ） A． B． C． D． 5．已知平面内的三点，若，则实数等于（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．已知点，点，向量，若，则实数的值为 7．已知向量，且，则等于 8．若向量满足且，则 9．已知向量 ，若与的夹角为，则实数的值是 . 10．已知，向量，则 三、解答题 11．已知向量. （1）当，求实数的值； （2）当，求向量与的夹角 12．如图所示，在梯形ABCD中，，设P，Q 分别是梯形ABCD的对角线AC，BD的中点.试用向量的方法证明 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：山东省2026年春季高考一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及山东历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含11个模块共42个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是山东省2026年春季高考一轮复习《数学知识点清单》的模块6数列的第3个专题：平面向量的直角坐标及其运算。本专题涵盖含有平面向量的直角坐标运算、平面向量平行和垂直的坐标表示等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 山东省2026年春季高考 一轮复习 《数学知识点清单》 专题03 平面向量的直角坐标及其运算（练习题） 一、选择题 1．已知点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 所以 故选：D 2．已知向量，，若，则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由向量平行知，则 故选：C 3．已知向量，若，则实数k的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知， 因为，所以，解得 故选：B 4．已知向量，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知， ， 则 故选：C 5．已知向量，，若，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，，，所以，解得 故选：D 6．已知向量，若的方向相同，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为的方向相同，所以，则 当时，，此时的方向相反，舍去； 当时，，此时的方向相同，符合，则 故选：D 7．已知命题p：或，命题q：向量共线，则p是q的（ ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】C 【解析】若向量共线， 则，解得或， 所以p是q的充要条件 故选：C 8．设向量，且，则实数（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得，又因为， 故，即，解得 故选： B 二、填空题 9．平行四边形ABCD中，已知顶点，则顶点D的坐标为 【答案】 【解析】因为， 所以，， 又因为四边形ABCD为平行四边形，所以， 所以，解得， 所以点D的坐标为． 故答案为： 10．已知.若向量与垂直，则 . 【答案】 【解析】 又因为向量与垂直， 所以，所以 故答案为： 三、解答题 11．已知向量是同平面内的三个向量，其中. （1）若，且，求向量的坐标； （2）若是单位向量，，求与的夹角. 【答案】见解析 【解析】 （1）设，由，且得， 所以或，故或. （2）因为，且， 所以，即，解得， 所以， 因为，所以 12．设O为原点，试求满足的的坐标. 【答案】见解析 【解析】设，则， 因为 ，所以，即 ① 又因为， 由，得，即 ② 由①，②联立，解得，即坐标为 一、选择题 1．已知点，向量，若，则实数的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为点，所以， 又因为，所以，所以 故选：A 2．已知向量满足且，若，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，且， 所以存在实数，使得， 又因为， 所以 故选：D 3．若的三个顶点的坐标分别为，则该三角形为（ ）三角形 A．锐角 B．直角 C．钝角 D．等边 【答案】B 【解析】， 所以，所以 故选：B 4．若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 因为，所以 故选：B 5．已知平面内的三点，若，则实数等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得， 因为， 所以，所以 故选：A 二、填空题 6．已知点，点，向量，若，则实数的值为 【答案】 【解析】，又，所以解得 故答案为： 7．已知向量，且，则等于 【答案】 【解析】∵， ∴， 故 故答案为： 8．若向量满足且，则 【答案】 【解析】由且，得， 则 故答案为： 9．已知向量 ，若与的夹角为，则实数的值是 . 【答案】 【解析】由 有，， 又因为， 所以，解得或， 当，，不合题意，所以舍去， 故 故答案为： 10．已知，向量，则 【答案】 【解析】 故答案为： 三、解答题 11．已知向量. （1）当，求实数的值； （2）当，求向量与的夹角 【答案】见解析 【解析】（1）因为向量， 所以， 由，得，即， 整理得，解得或， 所以或 （2）因为，， 所以， 由，可得，解得， 所以， 所以， 又，所以 12．如图所示，在梯形ABCD中，，设P，Q 分别是梯形ABCD的对角线AC，BD的中点.试用向量的方法证明 【答案】见解析 【解析】因为P，Q分别是梯形ABCD的对角线AC，BD的中点， 所以， 所以， 又因为，则可设 所以， 又， 所以， 所以 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $