专题03 平面向量的直角坐标及其运算（讲义）- 山东省2026年春季高考一轮复习《数学知识点清单》（原卷版+解析版）

编写说明：山东省2026年春季高考一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及山东历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含11个模块共42个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是山东省2026年春季高考一轮复习《数学知识点清单》的模块6数列的第3个专题：平面向量的直角坐标及其运算。本专题涵盖含有平面向量的直角坐标运算、平面向量平行和垂直的坐标表示等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 山东省2026年春季高考 一轮复习 《数学知识点清单》 专题03 平面向量的直角坐标及其运算（讲义） 知识点 平面向量的直角坐标及其运算 1．平面向量的直角坐标 （1）在平面直角坐标系中分别取轴，轴正方向上的单位向量，以原点O为起点作向量，点P的坐标为，则向量可以表示成. 对于以点A为起点的向量，记点A和点B的坐标为和，则向量可以表示成 因此，对于平面直角坐标系中的任意一个向量，都存在一对有序实数对使得.我们把有序实数对称为向量的坐标.方便起见，常把向量用它的坐标表示，即 （2）已知两个向量： ①相等向量的坐标表示：. ②相反向量的坐标表示：. 2．平面向量的坐标运算 若向量，则 （1） （2） （3） （4）； （5） 3．平面向量平行的坐标表示 对于任意向量，有 4．平面向量垂直的坐标表示 对于非零向量和，有. 若向量，则有 1．（2021山东真题）已知向量，，若，则实数（   ） A． B． C． D． 2．（2022山东真题）已知点，若，则（   ） A． B． C． D． 3．（2023山东真题）已知正方形ABCD的边长为1，E，F分别是BC，CD的中点，则（   ） A． B． C． D． 4．（2023山东真题）已知向量，，若，则实数（   ） A． B． C． D． 5．（2024济南模拟）已知向量，若，则实数k的值为 1．若点，则向量（    ） A． B． C． D． 2．已知向量，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，若，则（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 5．已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 6．已知向量，，若，则实数（    ） A． B． C． D． 7．已知向量，若与垂直，则实数（    ） A． B． C．3 D．4 8．已知向量，若的方向相同，则（ ） A． B． C． D． 9．已知命题p：，命题q：向量共线，则p是q的（ ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 10．已知向量，若，则（ ） A． B． C． D． 11．已知向量，若，则实数 . 12．已知向量，且，则 . 13．设向量，且，则实数 14．已知向量，若向量，则 . 15．已知向量，若，则向量与的夹角为 ． 16．已知向量，若与垂直，则实数 . 17．在直角三角形ABC中，，M是BC的中点，则 . 18．已知向量，求： （1） （2） （3） 19．已知向量，若A，B，C三点共线，求实数满足的关系 20．已知向量.若，求的值 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：山东省2026年春季高考一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及山东历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含11个模块共42个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是山东省2026年春季高考一轮复习《数学知识点清单》的模块6数列的第3个专题：平面向量的直角坐标及其运算。本专题涵盖含有平面向量的直角坐标运算、平面向量平行和垂直的坐标表示等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 山东省2026年春季高考 一轮复习 《数学知识点清单》 专题03 平面向量的直角坐标及其运算（讲义） 知识点 平面向量的直角坐标及其运算 1．平面向量的直角坐标 （1）在平面直角坐标系中分别取轴，轴正方向上的单位向量，以原点O为起点作向量，点P的坐标为，则向量可以表示成. 对于以点A为起点的向量，记点A和点B的坐标为和，则向量可以表示成 因此，对于平面直角坐标系中的任意一个向量，都存在一对有序实数对使得.我们把有序实数对称为向量的坐标.方便起见，常把向量用它的坐标表示，即 （2）已知两个向量： ①相等向量的坐标表示：. ②相反向量的坐标表示：. 2．平面向量的坐标运算 若向量，则 （1） （2） （3） （4）； （5） 3．平面向量平行的坐标表示 对于任意向量，有 4．平面向量垂直的坐标表示 对于非零向量和，有. 若向量，则有 1．（2021山东真题）已知向量，，若，则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据向量的运算法则知， 故选：A 2．（2022山东真题）已知点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 所以 故选：A 3．（2023山东真题）已知正方形ABCD的边长为1，E，F分别是BC，CD的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴建立平面直角坐标系， 则，，所以，所以. 故选：C 4．（2023山东真题）已知向量，，若，则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由向量平行知，则 故选：D 5．（2024济南模拟）已知向量，若，则实数k的值为 【答案】 【解析】由题意知， 因为，所以，解得 故答案为： 1．若点，则向量（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 故选：C 2．已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以 故选：C 3．已知，若，则（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【解析】，所以，解得或 故选：D 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以，所以. 故选：A 5．已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知， ， 则， 因为 ，所以 故选：B 6．已知向量，，若，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，，，所以，解得 故选：C 7．已知向量，若与垂直，则实数（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【解析】因为与垂直，，所以，解得 故选：B 8．已知向量，若的方向相同，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为的方向相同，所以，则 当时，，此时的方向相反，舍去； 当时，，此时的方向相同，符合，则 故选：C 9．已知命题p：，命题q：向量共线，则p是q的（ ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【解析】若向量共线， 则，解得或， 所以p是q的充分不必要条件 故选：A 10．已知向量，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为向量，且， 所以，解得， 所以，所以 故选：D 11．已知向量，若，则实数 . 【答案】 【解析】，因为，所以 故答案为： 12．已知向量，且，则 . 【答案】 【解析】因为向量， 又因为，则， 解得. 故答案为： 13．设向量，且，则实数 【答案】 【解析】由题意得，又因为， 故，即，解得 故答案为： 14．已知向量，若向量，则 . 【答案】 【解析】向量，所以， 又，所以，解得， 所以 故答案为： 15．已知向量，若，则向量与的夹角为 ． 【答案】 【解析】因为，所以， 所以，解得，即， 因此， 设向量与的夹角为， 所以， 因为，所以 故答案为： 16．已知向量，若与垂直，则实数 . 【答案】 【解析】因为与垂直，，所以，解得 故答案为： 17．在直角三角形ABC中，，M是BC的中点，则 . 【答案】 【解析】方法一：， 所以 方法二：以A为原点，以AC所在的直线为x轴，以AB所在的直线为y轴， 则， 因为M是BC的中点， 所以， 则 故答案为： 18．已知向量，求： （1） （2） （3） 【答案】见解析 【解析】（1）因为，所以. （2）因为，所以，所以 （3）由已知可得，所以 19．已知向量，若A，B，C三点共线，求实数满足的关系 【答案】 【解析】因为A，B，C三点共线， 所以， 因为，， 所以，即 20．已知向量.若，求的值 【答案】 【解析】因为， 所以， 若则，与矛盾，故， 于是，又，所以 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $