21.3 实际问题与一元二次方程同步练习-2025-2026学年人教版数学九年级上册

21.3 实际问题与一元二次方程 一．选择题（共8小题） 1．九年级举行篮球赛，初赛采用单循环制（每两个班之间都进行一场比赛），据统计，比赛共进行了28场，求九年级共有多少个班．若设九年级共有x个班，根据题意列出的方程是（　　） A．x（x﹣1）＝28 B．x（x﹣1）＝56 C．2x（x﹣1）＝28 D．x（x+1）＝28 2．近年来我国新能源汽车发展迅速，据中国汽车乘联会统计，2022年我国新能源汽车销售量约为650万辆，2024年约为1150万辆，假设我国新能源汽车销售增长率保持不变，预计我国新能源汽车销售量突破2000万辆的年份是（　　） A．2025年 B．2026年 C．2027年 D．2028年 3．2025年，某地甲型流感病毒传播速度非常快，开始有3人被感染，经过两轮传播后就有192人患了甲型流感．若每轮传染的速度相同，则每轮每人传染的人数为（　　） A．5人 B．6人 C．7人 D．8人 4．某商场今年10月份的营业额为440万元，12月份的营业额达到633.6万元．设10月份到12月份营业额的月平均增长率为x，则可列方程（　　） A．440x2＝633.6 B．440+440x+440x2＝633.6 C．440（1+x）2＝633.6 D．440+440（1+x）+440（1+x）2＝633.6 5．有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有36人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，对于甲、乙、丙三人的说法，下列判断正确的是（　　） 甲：第1轮后有（x+1）个人患了流感； 乙：第2轮又增加x（x+1）个人患流感； 丙：依题意可列方程1+x+x2＝36． A．甲错，丙对 B．甲对，乙错 C．甲对，丙错 D．乙和丙都对 6．某公司工业机器人在今年5月产值达到2500万元，预计7月产值将增至9100万元．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为x，可列出的方程为（　　） A．2500（1+x）2＝9100 B．2500（1﹣x）2＝9100 C．2500（1﹣2x）＝9100 D．2500（1+2x）2＝9100 7．流感是一种传染性极强的疾病，如果有一人患病，经过两轮传染后有64人患病，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，下列等式正确的是（　　） A．x2+x（1+x）＝64 B．1+x+x2＝64 C．（1+x）2＝64 D．x（1+x）＝64 8．我国新能源汽车产销量连续10年位居全球第一．2024年，在政策利好、供给丰富、价格降低和基础设施持续改善等多重因素共同作用下，新能源汽车产销量持续增长．假设2022年某品牌新能源汽车全年销量为200万辆，2024年该品牌新能源汽车全年销量为288万辆，设该品牌新能源汽车销量的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（　　） A．200（1+2x）＝288 B．200（1+2x）2＝288 C．200（1+x）2＝288 D．200（1+x2）＝288 二．填空题（共8小题） 9．数学趣题解答：阿拉伯数学著作《算术之钥》书中，记载着一道颇受阿拉伯人喜爱的数学题：“一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3个石榴，以此类推，后进果园的人都比前面那个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了，如果平均分配，每个人可以得到10个石榴，问这群人共有　 　 人．” 10．如图，小区物业规划在一个长60m，宽22m的矩形场地ABCD上，修建一个小型停车场，阴影部分为停车位所在区域，两侧是宽x m的道路，中间是宽2x m的道路．如果阴影部分的总面积是600m2，那么x满足的方程是　 　 ． 11．江苏省教育厅推出名师空中课堂在线教学平台，为学生提供免费辅导．据统计，某地区第一周名师空中课堂受益学生19万人次，第三周名师空中课堂受益学生26万人次，设从第一周到第三周受益学生人次的平均增长率为x，则可列方程为　 　 ． 12．生物兴趣小组的同学，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共赠送了240件，则全组共有 　 　 名同学． 13．如图，是一个长为30m，宽为20m的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为　 　 米． 14．近年来，我国大力推行药品集中带量采购制度，很多常用药的价格显著下降．某种药品经过两次降价，每盒的价格由原来的160元降至40元，设该药品平均每次降价的百分率为x，则根据题意可列出方程　 　 ． 15．某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，则八年级班级的个数为 　 　 ． 16．由于某品种葡萄的市场需求量不断增加，某葡萄种植基地连年扩大该品种葡萄的种植量，2022年的产量为20万斤，2024年的产量为28.8万斤，若设每年的平均增长率为x，则可以列方程为　 　 ． 三．解答题（共8小题） 17．某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米8000元的价格出售，由于国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价后，决定以每平方米6480元的价格销售． （1）求平均每次下调的百分率； （2）房产销售经理向开发商建议：先下调5%，再下调15%，这样更有吸引力．请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？ 18．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品．若每件商品的售价为x元，则可卖出（350﹣10x）件，但物价局限定每件商品的售价不能超过进价的120%．若该商店计划从这批商品中获取400元利润（不计其他成本），问需要卖出多少件商品，此时的售价是多少？ 19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm，点P从点C开始沿射线CA方向以1cm/s的速度运动；同时，点Q也从点C开始沿射线CB方向以3cm/s的速度运动． （1）几秒后△PCQ的面积为3cm2？此时PQ的长是多少？（结果用最简二次根式表示） （2）几秒后以A、B、P、Q为顶点的四边形的面积为22cm2？ 20．如图，在△ABC中，∠B＝90°，BC＝8cm，AC＝10cm，动点A从点A出发以1cm/s的速度沿AB边运动，同时动点Q从点B出发以2cm/s的速度沿BC边运动．设运动时间为t秒． （1）若△PBQ的面积等于8cm2，求t的值； （2）若PQ的长等于cm，求t的值． 21．如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用27m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为96m2？ 22．某单位于“三八”妇女节期间组织女职工到金宝乐园观光旅游．下面是领队与旅行社导游就收费标准的一段对话． 领队：组团去金宝乐园旅游每人收费是多少？ 导游：如果人数不超过25人，人均旅游费用为100元． 领队：超过25人怎样优惠呢？ 导游：如果超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不得低于70元．该单位按旅行社的收费标准组团游览金宝乐园结束后，共支付给旅行社2700元． 请你根据上述信息，求该单位这次到金宝乐园观光旅游的共有多少人． 23．已知：如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点后，另外一点也随之停止运动． （1）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？ （2）在（1）中，△PQB的面积能否等于7cm2？请说明理由． 24．如图，在矩形ABCD中，AB＝10cm，AD＝8cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点终点B运动，同时点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点终点C运动，它们到达终点后停止运动． （1）几秒后，点P、D的距离是点P、Q的距离的2倍； （2）几秒后，△DPQ的面积是24cm2． 21.3 实际问题与一元二次方程 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．九年级举行篮球赛，初赛采用单循环制（每两个班之间都进行一场比赛），据统计，比赛共进行了28场，求九年级共有多少个班．若设九年级共有x个班，根据题意列出的方程是（　　） A．x（x﹣1）＝28 B．x（x﹣1）＝56 C．2x（x﹣1）＝28 D．x（x+1）＝28 【答案】B 【分析】赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），x个班比赛总场数＝x（x﹣1）÷2，列方程即可． 【解答】解：设九年级共有x个班，则每个班都要赛（x﹣1）场， 由题意得：x（x﹣1）＝28， ∴x（x﹣1）＝56， 故选：B． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 2．近年来我国新能源汽车发展迅速，据中国汽车乘联会统计，2022年我国新能源汽车销售量约为650万辆，2024年约为1150万辆，假设我国新能源汽车销售增长率保持不变，预计我国新能源汽车销售量突破2000万辆的年份是（　　） A．2025年 B．2026年 C．2027年 D．2028年 【答案】B 【分析】设2022年至2024年我国新能源汽车销售增长率为x，根据2022年我国新能源汽车销售量约为650万辆，2024年约为1150万辆，列出一元二次方程，解之取符合题意的值，即可解决问题． 【解答】解：设2022年至2024年我国新能源汽车销售增长率为x，则2025年我国新能源汽车销售量约为1150（1+x）万辆，2026年我国新能源汽车销售量约为1150（1+x）2万辆， 依题意得：650（1+x）2＝1150， 解得：x1≈0.33＝33%，x2≈﹣2.33（不合题意，舍去）， 即2022年至2024年我国新能源汽车销售增长率约为33%， ∴1150（1+x）≈1150（1+33%）＝1529.5， 1150（1+x）2≈1150（1+33%）2＝2034.235， 即预计我国新能源汽车销售量突破2000万辆的年份是2026年， 故选：B． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 3．2025年，某地甲型流感病毒传播速度非常快，开始有3人被感染，经过两轮传播后就有192人患了甲型流感．若每轮传染的速度相同，则每轮每人传染的人数为（　　） A．5人 B．6人 C．7人 D．8人 【答案】C 【分析】设1个人传染x人，第一轮共传染（x+1）人，第二轮共传染（x+1）2人，由此列方程解答，再进一步求问题的答案． 【解答】解：设每个人传染x人，根据题意列方程得， 3（x+1）2＝192， 整理得，3x2+6x﹣189＝0， 解得x1＝7，x2＝﹣9（不合题意，舍去）， 综上所述，只有选项C正确，符合题意， 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到关系式． 4．某商场今年10月份的营业额为440万元，12月份的营业额达到633.6万元．设10月份到12月份营业额的月平均增长率为x，则可列方程（　　） A．440x2＝633.6 B．440+440x+440x2＝633.6 C．440（1+x）2＝633.6 D．440+440（1+x）+440（1+x）2＝633.6 【答案】C 【分析】设10月份到12月份营业额的月平均增长率为x，则可列方程440（1+x）2＝633.6，解答即可． 【解答】解：可列方程440（1+x）2＝633.6， 故选：C． 【点评】本题考查了根据实际问题列出一元二次方程，理解题意是关键． 5．有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有36人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，对于甲、乙、丙三人的说法，下列判断正确的是（　　） 甲：第1轮后有（x+1）个人患了流感； 乙：第2轮又增加x（x+1）个人患流感； 丙：依题意可列方程1+x+x2＝36． A．甲错，丙对 B．甲对，乙错 C．甲对，丙错 D．乙和丙都对 【答案】C 【分析】若设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第1轮传染中有x人被传染，第2轮传染中有x（1+x）人被传染，进而可得出1轮后有（x+1）个人患了流感，第2轮又增加x（x+1）个人患流感，可列方程1+x+x（x+1）＝36． 【解答】解：若设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第1轮传染中有x人被传染，第2轮传染中有x（1+x）人被传染， ∴1轮后有（x+1）个人患了流感，第2轮又增加x（x+1）个人患流感， ∴根据题意得可列出方程1+x+x（x+1）＝36， ∴甲和乙对，丙错． 故选：C． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 6．某公司工业机器人在今年5月产值达到2500万元，预计7月产值将增至9100万元．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为x，可列出的方程为（　　） A．2500（1+x）2＝9100 B．2500（1﹣x）2＝9100 C．2500（1﹣2x）＝9100 D．2500（1+2x）2＝9100 【答案】A 【分析】设该公司6，7两个月产值的月均增长率为x，由题意列出方程即可． 【解答】解：设该公司6，7两个月产值的月均增长率为x，工业机器人在今年5月产值达到2500万元，预计7月产值将增至9100万元．则： 2500（1+x）2＝9100， 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 7．流感是一种传染性极强的疾病，如果有一人患病，经过两轮传染后有64人患病，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，下列等式正确的是（　　） A．x2+x（1+x）＝64 B．1+x+x2＝64 C．（1+x）2＝64 D．x（1+x）＝64 【答案】C 【分析】根据题意设出未知数，用含x的式子表示出两轮传染后患病人数，列出方程即可求解． 【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮后有（1+x）人患流感，第二轮后有（1+x）+x（1+x）＝（1+x）2人患流感， 由题意得（1+x）2＝64． 故选：C． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键要明确在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程． 8．我国新能源汽车产销量连续10年位居全球第一．2024年，在政策利好、供给丰富、价格降低和基础设施持续改善等多重因素共同作用下，新能源汽车产销量持续增长．假设2022年某品牌新能源汽车全年销量为200万辆，2024年该品牌新能源汽车全年销量为288万辆，设该品牌新能源汽车销量的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（　　） A．200（1+2x）＝288 B．200（1+2x）2＝288 C．200（1+x）2＝288 D．200（1+x2）＝288 【答案】C 【分析】根据平均变化率的等量关系a（1±x）2＝b，增长为加，降低为减，列出方程即可． 【解答】解：由题意知，200（1+x）2＝288， 故选：C． 【点评】本题考查一元二次方程的实际应用，理解题意是关键． 二．填空题（共8小题） 9．数学趣题解答：阿拉伯数学著作《算术之钥》书中，记载着一道颇受阿拉伯人喜爱的数学题：“一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3个石榴，以此类推，后进果园的人都比前面那个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了，如果平均分配，每个人可以得到10个石榴，问这群人共有　19　 人．” 【答案】19． 【分析】设这群人共有x人，则共摘了个石榴，根据“如果平均分配，每个人可以得到10个石榴”，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设这群人共有x人，则共摘了个石榴， 根据题意得：10x， 整理得：x2﹣19x＝0， 解得：x1＝0（不符合题意，舍去），x2＝19， ∴这群人共有19人． 故答案为：19． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 10．如图，小区物业规划在一个长60m，宽22m的矩形场地ABCD上，修建一个小型停车场，阴影部分为停车位所在区域，两侧是宽x m的道路，中间是宽2x m的道路．如果阴影部分的总面积是600m2，那么x满足的方程是　（60﹣2x）（22﹣2x）＝600　 ． 【答案】（60﹣2x）（22﹣2x）＝600． 【分析】根据矩形场地的长、宽及道路的宽度，可得出停车位所在区域可合成长为（60﹣2x）m，宽为（22﹣2x）m的矩形，再结合阴影部分（停车位所在区域）的总面积是600m2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：∵矩形场地ABCD的长为60m，宽为22m，且两侧是宽x m的道路，中间是宽2x m的道路， ∴停车位所在区域可合成长为（60﹣2x）m，宽为（22﹣2x）m的矩形． 根据题意得：（60﹣2x）（22﹣2x）＝600． 故答案为：（60﹣2x）（22﹣2x）＝600． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 11．江苏省教育厅推出名师空中课堂在线教学平台，为学生提供免费辅导．据统计，某地区第一周名师空中课堂受益学生19万人次，第三周名师空中课堂受益学生26万人次，设从第一周到第三周受益学生人次的平均增长率为x，则可列方程为　19（1+x）2＝26　 ． 【答案】19（1+x）2＝26． 【分析】利用第三周名师空中课堂受益学生人次＝第一周名师空中课堂受益学生人次×（1+从第一周到第三周受益学生人次的平均增长率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：19（1+x）2＝26． 故答案为：19（1+x）2＝26． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 12．生物兴趣小组的同学，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共赠送了240件，则全组共有 　16　 名同学． 【答案】16． 【分析】设全组共有x名同学，则每人送出（x﹣1）件，根据全组共赠送了240件可以列出相应的方程，从而可以解答本题． 【解答】解：设全组共有x名同学，则x（x﹣1）＝240， ∴x2﹣x﹣240＝0，即（x﹣16）（x+15）＝0， 解得x＝16或x＝﹣15（舍弃）， 故答案为：16． 【点评】本题考查一元二次方程的实际应用，涉及传播问题的变式、因式分解法解一元二次方程等知识，读懂题意，掌握解一元二次方程的方法是解决问题的关键． 13．如图，是一个长为30m，宽为20m的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为　1　 米． 【答案】见试题解答内容 【分析】设小道进出口的宽度为x米，然后利用其种植花草的面积为532平方米列出方程求解即可． 【解答】解：设小道进出口的宽度为x米，依题意得（30﹣2x）（20﹣x）＝532， 整理，得x2﹣35x+34＝0． 解得，x1＝1，x2＝34． ∵34＞30（不合题意，舍去）， ∴x＝1． 答：小道进出口的宽度应为1米． 故答案为：1． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据种植花草的面积为532m2找到正确的等量关系并列出方程． 14．近年来，我国大力推行药品集中带量采购制度，很多常用药的价格显著下降．某种药品经过两次降价，每盒的价格由原来的160元降至40元，设该药品平均每次降价的百分率为x，则根据题意可列出方程　160（1﹣x）2＝40　 ． 【答案】160（1﹣x）2＝40． 【分析】根据某种药品经过两次降价，每盒的价格由原来的160元降至40元，列出方程即可． 【解答】解：根据题意可列出方程为：160（1﹣x）2＝40． 故答案为：160（1﹣x）2＝40． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，熟练掌握题目中的等量关系是解题的关键． 15．某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，则八年级班级的个数为 　6　 ． 【答案】6． 【分析】设八年级有x个班，利用比赛的总场次数＝八年级的班级数×（八年级的班级数﹣1）÷2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出八年级共有6个班． 【解答】解：设八年级有x个班， 依题意得：x（x﹣1）＝15， 整理得：x2﹣x﹣30＝0， 解得：x1＝6，x2＝﹣5（不合题意，舍去）． 故答案为：6． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 16．由于某品种葡萄的市场需求量不断增加，某葡萄种植基地连年扩大该品种葡萄的种植量，2022年的产量为20万斤，2024年的产量为28.8万斤，若设每年的平均增长率为x，则可以列方程为　20（1+x）2＝28.8　 ． 【答案】20（1+x）2＝28.8． 【分析】根据已知可知2023年的产量为20（1+x）万斤，在2023年的基础上，可得2024年的产量为20（1+x）2万斤，根据2024这年的产量为28.8万斤可列方程． 【解答】解：设每年的平均增长率为x，根据题意可得， 20（1+x）2＝28.8． 故答案为：20（1+x）2＝28.8． 【点评】本题考查从实际问题抽象出一元二次方程，找出等量关系是解答本题的关键． 三．解答题（共8小题） 17．某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米8000元的价格出售，由于国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价后，决定以每平方米6480元的价格销售． （1）求平均每次下调的百分率； （2）房产销售经理向开发商建议：先下调5%，再下调15%，这样更有吸引力．请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）设出平均每次下调的百分率为x，利用原每平方米销售价格×（1﹣每次下调的百分率）2＝经过两次下调每平方米销售价格列方程解答即可； （2）求出先下调5%，再下调15%，是原来价格的百分率，与开发商的方案比较，即可求解． 【解答】解：（1）设平均每次下调的百分率是x，根据题意列方程得， 8000（1﹣x）2＝6480， 解得：x1＝10%，x2＝190%（不合题意，舍去）； 答：平均每次下调的百分率为10%． （2）∵先下调5%，再下调15%，这样最后的单价是： 8000×（1﹣5%）×（1﹣15%）＝6392＜6480元， ∴房产销售经理的方案对购房者更优惠． 【点评】此题考查一元二次方程的应用，其中的基本数量关系：原每平方米销售价格×（1﹣每次下调的百分率）2＝经过两次下调每平方米销售价格． 18．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品．若每件商品的售价为x元，则可卖出（350﹣10x）件，但物价局限定每件商品的售价不能超过进价的120%．若该商店计划从这批商品中获取400元利润（不计其他成本），问需要卖出多少件商品，此时的售价是多少？ 【答案】见试题解答内容 【分析】由销售问题的数量关系总利润＝单件利润×数量建立方程求出其解即可． 【解答】解：根据题意，得 （x﹣21）（350﹣10x）＝400 整理，得x2﹣56x+775＝0 解得x1＝25，x2＝31 因为21×120%＝25.2，即售价不能超过25.2元，所以x＝31不合题意，应舍去． 故x＝25，从而卖出350﹣10×25＝100件， 答：需要卖出100件商品，每件售价是25元． 【点评】本题考查了销售问题的数量关系总利润＝单件利润×数量的运用，列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时由销售问题的数量关系建立方程是关键． 19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm，点P从点C开始沿射线CA方向以1cm/s的速度运动；同时，点Q也从点C开始沿射线CB方向以3cm/s的速度运动． （1）几秒后△PCQ的面积为3cm2？此时PQ的长是多少？（结果用最简二次根式表示） （2）几秒后以A、B、P、Q为顶点的四边形的面积为22cm2？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）设出运动所求的时间，可将PC和CQ的长表示出来，代入三角形面积公式，列出等式，可将时间求出； （2）需要对点P的不同位置进行分类讨论：①当P在线段AC上，Q在线段BC上时，0＜t＜2S四边形APQB＝S△ABC﹣S△PQC，得， ②当P在线段AC上，Q在线段BC延长线上时，2＜t＜8，S四边形APBQ＝S△AQC﹣S△PBC； ③当P在线段AC的延长线上，Q在线段BC延长线上时，t＞8，S四边形ABQP＝S△PQC﹣S△ABC． 【解答】解：（1）设t秒后△PCQ的面积为3平方厘米， 则有PC＝t cm，CQ＝3t cm， 依题意，得：t×3t＝3， t2＝2， 解得，（舍去）， 由勾股定理，得：PQ． 答：秒后△PCQ的面积为3平方厘米，此时PQ的长是； （2）①当P在线段AC上，Q在线段BC上时，0＜t＜2 S四边形APQB＝S△ABC﹣S△PQC ， 解得， ②当P在线段AC上，Q在线段BC延长线上时，2＜t＜8， S四边形APBQ＝S△AQC﹣S△PBC 9t＝22， 解得； ③当P在线段AC的延长线上，Q在线段BC延长线上时，t＞8， S四边形ABQP＝S△PQC﹣S△ABC （不符合题意，舍去），（或者得，，都不符合题意，舍去）， 综上：或． 答，经过秒或秒，以A、B、P、Q为顶点的四边形的面积为22cm2 【点评】本题考查了一元二次方程的应用．此题是根据三角形的面积公式列出一元二次方程，进行求解． 20．如图，在△ABC中，∠B＝90°，BC＝8cm，AC＝10cm，动点A从点A出发以1cm/s的速度沿AB边运动，同时动点Q从点B出发以2cm/s的速度沿BC边运动．设运动时间为t秒． （1）若△PBQ的面积等于8cm2，求t的值； （2）若PQ的长等于cm，求t的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由题意，利用勾股定理求得AB＝6，可设P、Q经过t秒，使△PBQ的面积为8cm2，则PB＝6﹣t，BQ＝2t，根据三角形面积的计算公式，S△PBQBQ•PB，列出方程，解答出即可； （2）可设P、Q两点运动t秒时，则PB＝6﹣t，BQ＝2t，根据勾股定理，可得PQ2＝BP2+BQ2，代入整理即可求出． 【解答】解：（1）AB6， 设P、Q经过t秒时，△PBQ的面积为8cm2， 则PB＝6﹣t，BQ＝2t， ∵∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm， ∴，（6﹣t）2t＝8， 解得，t1＝2，t2＝4， ∴当P、Q经过2或4秒时，△PBQ的面积为8cm2； （2）设P、Q两点运动t秒时，PQ的长等于cm， 则29＝（6﹣t）2+（2t）2， 解得：t1＝1，t2， 答：当t为1或时，PQ的长等于cm． 【点评】此题考查一元二次方程的实际运用，勾股定理的实际运用，利用三角形的面积和勾股定理建立方程是解决问题的关键． 21．如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用27m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为96m2？ 【答案】见试题解答内容 【分析】设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm可以得出平行于墙的一边的长为（27﹣2x+1）m．根据矩形的面积公式建立方程求出其解就可以了． 【解答】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm可以得出平行于墙的一边的长为 （27﹣2x+1）m，由题意得 x（27﹣2x+1）＝96， 解得：x1＝6，x2＝8， 当x＝6时，27﹣2x+1＝16＞12（舍去），当x＝8时，27﹣2x+1＝12． 答：所围矩形猪舍的长为12m、宽为8m． 【点评】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用及一元二次方程的解法的运用，解答时寻找题目的等量关系是关键． 22．某单位于“三八”妇女节期间组织女职工到金宝乐园观光旅游．下面是领队与旅行社导游就收费标准的一段对话． 领队：组团去金宝乐园旅游每人收费是多少？ 导游：如果人数不超过25人，人均旅游费用为100元． 领队：超过25人怎样优惠呢？ 导游：如果超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不得低于70元．该单位按旅行社的收费标准组团游览金宝乐园结束后，共支付给旅行社2700元． 请你根据上述信息，求该单位这次到金宝乐园观光旅游的共有多少人． 【答案】见试题解答内容 【分析】本题要先判断出人数的大致范围，判断是否超过25人，根据对话中给出的条件来套用合适的等量关系：人均旅游费×人数＝2700元，即可列出方程求解． 【解答】解：设该单位这次参加旅游的共有x人， ∵100×25＜2700， ∴x＞25． 依题意得[100﹣2（x﹣25）]x＝2700， 整理得x2﹣75x+1350＝0， 解得x1＝30，x2＝45． 当x＝30时，100﹣2（x﹣25）＝90＞70，符合题意． 当x＝45时，100﹣2（x﹣25）＝60＜70，不符合题意，舍去． ∴x＝30． 答：该单位这次参加旅游的共有30人． 【点评】本题要弄清题意，可根据题意列出方程，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解． 23．已知：如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点后，另外一点也随之停止运动． （1）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？ （2）在（1）中，△PQB的面积能否等于7cm2？请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）经过x秒钟，△PBQ的面积等于4cm2，根据点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，表示出BP和BQ的长可列方程求解； （2）看△PBQ的面积能否等于7cm2，只需令2x（5﹣x）＝7，化简该方程后，判断该方程的Δ与0的关系，大于或等于0则可以，否则不可以． 【解答】解：（1）设经过x秒以后△PBQ面积为4cm2，根据题意得（5﹣x）×2x＝4， 整理得：x2﹣5x+4＝0， 解得：x＝1或x＝4（舍去）． 答：1秒后△PBQ的面积等于4cm2； （2）仿（1）得（5﹣x）2x＝7． 整理，得x2﹣5x+7＝0，因为b2﹣4ac＝25﹣28＜0， 所以，此方程无解． 所以△PBQ的面积不可能等于7cm2． 【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意，找出等量关系列出方程求解，判断某个三角形的面积是否等于一个值，只需根据题意列出方程，判断该方程是否有解，若有解则存在，否则不存在． 24．如图，在矩形ABCD中，AB＝10cm，AD＝8cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点终点B运动，同时点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点终点C运动，它们到达终点后停止运动． （1）几秒后，点P、D的距离是点P、Q的距离的2倍； （2）几秒后，△DPQ的面积是24cm2． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）设t秒后点P、D的距离是点P、Q距离的2倍，根据勾股定理可得PD2＝4 PQ2，分别利用当0＜t≤5时，当5＜t≤8时，然后再代入相应数据求出； （2）设x秒后△DPQ的面积是24cm2，利用矩形面积﹣△DPQ的面积＝周围三个三角形面积和列方程即可． 【解答】解：（1）设t秒后点P、D的距离是点P、Q距离的2倍， ∴PD＝2PQ， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠B＝90°， ∴PD2＝AP2+AD2，PQ2＝BP2+BQ2， ∵PD2＝4 PQ2， 当0＜t≤5时， ∴82+（2t）2＝4[（10﹣2t）2+t2]， 解得：t1＝3，t2＝7（不合题意舍去）； 当5＜t≤8时， PD2， ∵PD＝2PQ， ∴PQ， 综上所述：3秒或秒后，点P、D的距离是点P、Q的距离的2倍； （2）当0＜t≤5时， 设x秒后△DPQ的面积是24cm2， 则8×2x（10﹣2x）•x（8﹣x）×10＝80﹣24， 整理得x2﹣8x+16＝0 解得x1＝x2＝4， 当5＜t≤8时， 设t秒后△DPQ的面积是24cm2， 则10x＝24， 解得：x（不合题意舍去）， 综上所述，4秒后，△DPQ的面积是24cm2． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程． 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