4.1认识三角形（2） 教学设计2025-2026学年湘教版（2024）八年级数学上册

4.1认识三角形（2） 教学设计 课题 4.1认识三角形（2） 单元 第4单元 学科 数学 年级 八年级上册 教材分析 本课时是在小学学习三角形内角和等于180°的基础上进一步探索和证明三角形的内角和和外角,并应用三角形的内角和和外角解决问题，为后面学习多边形的内角和和外角和奠定基础.本课时利用平行线的理论知识来证明三角形的内角和,让学生实现从小学阶段的直观思维到初中阶段的逻辑思维的转变,教学时应注意强调逻辑证明的重要性；通过反向延长三角形的各边得到三角形的外角，然后结合三角形内角和定理并通过邻补角之间的关系对三角形内角和定理的推论进行论证。 核心素养 能力培养 1.经历得到和验证三角形内角和定理的过程，形成几何直观和推理能力； 2.利用三角形内角和定理推出外角一个重要的结论，培养学生推理能力； 3.通过观察、操作、讨论等活动，培养学生的动手实践能力和语言表达能力，提高数学应用意识. 教学目标 1.学会利用拼合的方法探究三角形的内角和，并证明. 2.掌握三角形内角和定理并利用它解决求角的问题. 3.了解三角形外角的概念,理解三角形外角的性质，初步学会数学说理. 4.学会运用三角形内角和定理及外角的性质解决角的度数的相关问题. 教学重点 三角形内角和定理及推论，三角形的外角及其性质. 教学难点 合理地应用三角形内角和定理及推论，三角形外角性质进行简单的推理、证明和计算. 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 复习回顾 （新知导入） 这是我们已经学习过的三角形，同学们还记得三角形共有多少个内角吗？它的内角和是多少呢？ 三角形共有3个内角，内角和为180°. 有什么办法可以验证三角形内角和是 180°呢？ 学生回忆思考回答。 用旧知回顾的方式设置导入，培养学生的数学知识整体性思维，加强本节课与前面所学的联系，由浅入深增强学生的学习积极性. 新知探究 在小学，通过对一个三角形进行折叠、剪拼等操作（如图），得到三角形的内角和是180°. 探究： 任意三角形的内角和都是180°吗？为什么？ 证明：如图，任画一个△ABC，将它的边AB所在直线平移，使其经过点C，得到直线A'B'. 因为直线在平移下的像是与它平行的直线， 所以A'B' ∥ AB， 则∠A'CD = ∠B，∠ACA'= ∠A. 又∠BCA + ∠ACA'+ ∠A'CD = 180°， 所以∠BCA + ∠A + ∠B = 180°. 由此得到： 三角形的内角和等于180°. 还有其他方法得出此结论吗？ 证明：过 D 作 DE∥AC，DF∥AB. ∴∠C = ∠EDB，∠B = ∠FDC (两直线平行，同位角相等)， ∠A +∠AED = 180°， ∠EDF +∠AED = 180° (两直线平行，同旁内角相补). ∴∠A = ∠EDF. ∵∠EDB +∠EDF +∠FDC = 180°， ∴∠C +∠A +∠B = 180°. 三角形内角和定理： 三角形的内角和等于180°. 如图，∠A +∠B+∠C=180°. 例3 在△ABC 中，∠A 的度数是∠B 的 3 倍，∠C 比∠B 大 15°，求∠A，∠B，∠C的度数. 解：设∠B = x°，则∠A =（3x）°，∠C =（x + 15）°，从而 3x + x +（x + 15）= 180， 解得x = 33. 所以3x = 99，x + 15 = 48. 答：∠A，∠B，∠C的度数分别为99°，33°，48. 说一说: 一个三角形的三个内角中，最多有几个直角？最多有几个钝角？ 由于三角形的内角和等于180°，因此，一个 三角形中最多有一个直角或一个钝角. 三角形按角分类: 三个角都是锐角的三角形叫作锐角三角形，有一个角是直角的三角形叫作直角三角形，有一个角是钝角的三角形叫作钝角三角形. 直角三角形可用符号“Rt△”来表示， 例如，直角三角形 ABC 可以记作“Rt△ABC”. 在直角三角形中，夹直角的两边叫作直角边，直角的对边叫作斜边. 在图中，AC与BC都是直角边，AB是斜边. 特别地，两条直角边相等的直角三角形叫作等腰直角三角形. 如图，把△ABC的边 BC延长，可得∠ACD. 三角形的外角: 把三角形的一边与另一边的延长线所成的角叫作三角形的外角. 例如，上图中的 ∠ACD就是 △ABC的一个外角. 思考: 如图，∠ACD 是△ABC的一个外角，则∠ACD 与内角 ∠A，∠B之间有什么关系？ ∠ACD = ∠A + ∠B. 证明：因为∠ACD + ∠ACB = 180°， ∠A + ∠B + ∠ACB = 180°， 所以 ∠ACD - ∠A - ∠B = 0（等量减等量，差相等）. 于是∠ACD = ∠A + ∠B. 由此得到：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 三角形的一个外角跟与它相邻的内角之间有什么关系？ 如图，△ABC的外角∠BCD与其相邻的内角∠ACB有什么关系？ ∠BCD与∠ACB互补. 三角形的一个外角跟与它相邻的内角互补. 三角形内角和定理的推论： 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 应用格式： 因为∠ACD 是△ABC 的一个外角， 所以∠ACD =∠A +∠B. 议一议: （1） 三角形的外角具有哪些特征？ （2） 三角形的一个外角与三角形三个内角之间有怎样的大小关系？ （1）三角形外角的特征： ① 角的顶点是三角形的顶点； ② 角的一边是三角形的一边； ③ 另一边是三角形中一边的延长线. （2）①三角形的一个外角与它相邻的内角互补． ② 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． ③ 三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角． 例4 如图，已知AD是△ABC的角平分线，∠ADB = 98°，∠C = 70°，求∠B的度数. 解： 因为∠ADB = ∠C + ∠CAD， 所以∠CAD = ∠ADB - ∠C = 98°- 70°= 28°. 又∠BAD = ∠CAD， 所以∠BAD = 28°. 因此，∠B = 180°- ∠ADB - ∠BAD = 54°. 学生在老师的引导下，利用添加辅助线的形式证明三角形内角和180度定理。 学生在老师的引导下利用三角形内角和定理列出方程并解答. 学生小组讨 论并回答. 学生在教师的引导下认识外角，探究外角的性质。 学生小组讨论，思考回答。 学生在老师的引导下利用三角形内角和定理的推论解答. 通过证明三角形内角和定理，让学生主动思考探究，提高推理论证能力。 让学生学会应用三角形内角和定理进行有关三角形角的计算，检验对三角形内角和定理的掌握程度. 通过说一说，让学生交流讨论，从而认识三角形按角分类，提高课堂活跃性及合作交流能力。 探究外角的性质，通过证明，加深对定理的理解。 通过探究，得到三角形内角和定理的推论，提升推理能力，感受知识之间的关联性。 应用三角形内角和定理的推论进行有关三角形角的计算，检验对三角形内角和定理推论的掌握程度. 课堂练习 1.填空： （1） 在△ABC中，∠A = 60°，∠B = ∠C，则∠B = 60° ； （2） 在△ABC中，∠A - ∠B = 50°，∠C - ∠B = 40°，则∠B = 30° . 2.如图，AD是△ABC的角平分线，∠B=36°，∠C=76°，求∠DAC的度数. 解：∵三角形内角和等于180° 即∠BAC+∠ABC+∠ACB=180° 又∵∠B=36°，∠C=76° ∴∠BAC=180°-36°-76°=68° 由于AD是△ABC的角平分线 ∴∠DAC=∠BAC=34° 3.如图，∠CAD 是 △ABC 的一个外角，且 ∠CAD = 100°，∠B = 30°，求∠C的度数. 解：因为∠B+∠C=∠CAD， 所以∠C=∠CAD-∠B， 所以∠C=100°-30°=70°. 学生计算解答，小组交流谈论，派代表板书答案。 通过练习巩固，及时发现学生掌握新知识的情况，巩固并学习新知识。 课堂小结 1.三角形内角和定理： 三角形的内角和等于180°. 2.三角形按角分类: 锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 3.三角形的外角： 把三角形的一边与另一边的延长线所成的角叫作三角形的外角. 4.三角形内角和定理的推论： 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 学生回顾总结教师系统归纳。 帮助学生归纳总结，巩固所学知识。 作业布置 必做题：教材习题4.1--学而时习之 4题、5题 选做题：教材习题4.1--温故而知新 8题、9题、10题、11题 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $